2026届广东省深圳市罗湖区翠园中学高三上学期开学分班考试数学试题及答案

这是一份2026届广东省深圳市罗湖区翠园中学高三上学期开学分班考试数学试题及答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知，则（ ）
A．B．1C．D．5
2．已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量 ，若 ，则 （ ）
A．2B．-2C．4D．-4
4．已知双曲线的渐近线方程是，则的离心率为
A．或2B．或C．D．
5．把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．B．C．D．.
6．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f（x＋1）＝f（1－x），f(1)＝5，则f（2020）＋f（2021）＋f（2022）＝（ ）
A．5B．10C．－5D．－10
7．已知随机变量，且，则的最小值为（ ）
A．9B．3C．D．
8．已知分别为三个内角的对边，且，的面积为，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．数据2，1，6，3，4，5，4，1，3，的第25百分位数为2
B．若数据的标准差为，则的标准差为
C．二项式的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等
D．对于随机事件与，若，则事件与独立
10．已知直线经过抛物线的焦点，且与交于、两点（其中），与的准线交于点，若，则下列结论正确的为（ ）
A．B．
C．D．为中点
11．在棱长为的正方体中，为的中点，是侧面内的动点，下列说法正确的是（ ）
A．平面平面
B．若四面体的四个顶点均在球的表面上，则球的表面积为
C．当点在线段上运动时，异面直线与所成角的取值范围是
D．当直线与直线所成的角是时，点的轨迹长度为
三、填空题
12．已知正项等比数列满足，，其公比q=
13．2160有 个不同的正因数．
14．已知函数，，若恒成立，则的最小值是 ．
四、解答题
15．某地5家超市春节期间的广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下：
(1)从A，B，C，D，E这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市个数为X，求随机变量X的分布列及期望；
(2)利用最小二乘法求y关于x的线性回归方程，并预测广告支出为10万元时的销售额．
附：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．
16．如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，点在线段上，平面.
(1)证明：为的中点；
(2)若，二面角的余弦值为，求的长.
17．已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在上恰有2个零点，求的取值范围．
18．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为、，过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)（i）求的最小值；
（ii）记直线AM、BN的斜率分别为、，证明：为定值.
19．在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的积，形成一个新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“积扩充”．如：数列2，3经过第一次“积扩充”后得到数列2，6，3；第二次“积扩充”后得到数列2，12，6，18，3；…．设数列1，2，4经过第次“积扩充”后所得数列的项数记为，所有项的积记为．
(1)求和；
(2)求和．
(3)求数列的前项积．
超市
A
B
C
D
E
广告支出x
2
4
5
6
8
销售额y
30
40
60
60
70
《2026届广东省深圳市罗湖区翠园中学高三开学分班考试数学试题 》参考答案
1．A
【分析】应用复数的除法化简求复数，再求复数的模.
【详解】，故.
故选：A
2．C
【分析】求出集合，利用补集的定义可求得集合.
【详解】因为，全集，
故.
故选：C.
3．C
【分析】，解方程可得到答案
【详解】由题可知 ,所以 ,解得 .
故选：C
4．B
【分析】讨论双曲线的焦点在x轴和y轴两种情况，利用求解即可.
【详解】当双曲线的焦点在x轴上时，若渐近线方程是，则.
则离心率.
当双曲线的焦点在y轴上时，若渐近线方程是，则.
则离心率.
综上：离心率为或.
故选B.
【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率公式，注意双曲线的焦点所在的轴是x还是y轴，属于易错题.
5．B
【分析】求出把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）后的函数，求出再将图象上所有的点向右平移个单位长度后的函数.
【详解】把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）后的函数为，
再将图象上所有的点向右平移个单位长度后的函数为.
故选：B.
6．A
【分析】先判断出f(x)是周期为4 的周期函数，把待求式子转化为f（0）＋f（1）＋f（2），利用赋值法，即可求解.
【详解】因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以.
因为f（x＋1）＝f（1－x），所以f（x）＝f（2－x），
所以f（x＋2）＝-f（x），所以f（x）＝-f（x-2），
所以f（x＋2）＝f（x-2），即f（x＋4）＝f（x），所以f(x)是周期为4 的周期函数.
因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.
因为f（x＋1）＝f（1－x），令x=1得：所以f(2)＝f(0)＝0，，
所以f（2020）＋f（2021）＋f（2022）＝f（0）＋f（1）＋f（2）＝0+5+0=5.
故选：A
7．B
【分析】根据正态分布的对称性得，应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值.
【详解】根据正态分布的对称性及已知，有，可得，则，
故，
当且仅当，则时取等号，
综上，目标式的最小值为3.
故选：B
8．D
【分析】利用正弦定理，三角形内角和，两角和差公式将化简为，从而得到，解出角A，结合面积公式及余弦定理求出b.
【详解】由正弦定理：（为外接圆半径）可得：
联立可得：①.
因为，所以.
则①：，
即.
因为，所以，则，
即
又，所以，
由②，
由余弦定理可得：③，
联立②③可得：.
故选：D.
9．ABD
【分析】对于A，由百分位数的计算，先将数据由小到大排列，再根据数据个数进行计算，可得其正误；对于B，根据数据方差的计算性质，以及标准差的概念，可得其正误；对于C，根据二项式定理写出展开式，进而求出指定项的系数，可得其正误；对于D，根据对立事件以及条件概率的公式，结合独立事件的概率公式，可得其正误.
【详解】对于A，数据由小到大排列为，共个数据，由，则第25百分位数为2，故A正确；
对于B，设数据的平均数为，则数据的平均数为，
由数据的标准差，则数据的标准差为，故B正确；
对于C，由二项式的展开式为，
则第二项的二项式系数为，第四项的二项式系数为，故C错误；
对于D，由，则，即，故D正确.
故选：ABD.
10．BD
【分析】由抛物线的焦点坐标可求出的值，可判断A选项；设直线的方程为，将该直线方程与抛物线的方程联立，设，根据结合韦达定理，求出的值，求出点的纵坐标，求出，可判断B选项；求出点的纵坐标，求出、，可判断C选项；计算出、，可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为抛物线的焦点，则，可得，A错；
对于B选项，如下图所示：
若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
设直线的方程为，由A选项可知抛物线的方程为，
设点、，联立可得，，
由韦达定理可得，，
不妨设，由图可知，
，则，
所以，，解得，则，
所以，，B对；
对于C选项，由B选项可知，，
直线的方程为，联立，解得，则，
所以，，
，则，C错；
对于D选项，因为，则为的中点，D对.
故选：BD.
【点睛】方法点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
11．ACD
【分析】对于A，利用线面垂直的性得到，，由线面垂直的判定得面，再由面面垂直的判定，即可求解；对于B，建立空间直角坐标系，设四面体的外接球球心，半径为，根据条件直接求出，即可求解；对于C，设，求出与，再利用线线角的向量法，即可求解；对于D，，根据条件，利用线线角的向量法，得到，即可求解.
【详解】对于选项A，因为，又面，面，
所以，又，面，所以，
连接，同理可证，又，面，所以面，
又面，所以平面平面，故选项A正确，
对于选项B，如图建立空间直角坐标系，因为正方体棱长为，
则,
设四面体的外接球球心，半径为，
由，得到，
解得，则，则球的表面积为，所以选项B错误，
对于选项C，因为点在线段上，设，
因为，，，又，
设异面直线与所成的角为，则，
又，则，所以，
又，所以，故选项C正确，
对于选项D，易知，设，则，又，
则，
整理得到，其轨迹为平面上，以为圆心，为半径的圆，
又是侧面内的动点， 所以点的轨迹长度为，所以选项D正确，
故选：ACD.
12．2
【分析】根据等比数列的基本量关系求解即可.
【详解】由题意，，因为，故，解得.
故答案为：2
13．40
【分析】把2160进行质因数分解，然后结合分步乘法原理计算．
【详解】，它的正因数即为的幂的乘积，
因此正因数个数为，
故答案为：40.
14．
【分析】对不等式进行变形得，构造函数，原不等式等价于，利用导数研究的单调性，进而可得自变量之间的关系，再利用导数研究恒成立问题即可.
【详解】恒成立，即，即，
即，
令，则恒成立，所以单调递增，
，
令，则，
令，解得，当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
所以，故，即．则的最小值是．
故答案为：
15．(1)X的分布列见解析，期望
(2)；预测广告费支出10万元时的销售额为87万元．
【分析】（1）根据超几何分布的概率公式求解分布列，进而可求解期望，
（2）利用最小二乘法求解线性回归方程即可.
【详解】（1）从A，B，C，D，E这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市有C，D，E这3家超市，
则随机变量的可能取值为1，2，3
，，，
的分布列为：
数学期望．
（2），，
，
．
关于的线性回归方程为；
在中，取，得．
预测广告费支出10万元时的销售额为87万元．
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接交于点，连接，根据线面平行的性质得到，即可得证；
（2）取中点，连接，即可得到，建立空间直角坐标，设，求出平面、平面的法向量，利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可求出.
【详解】（1）连接交于点，连接．
因为底面为菱形，所以为的中点．
又因为平面，平面，平面平面，
所以，
所以为的中点.
（2）取中点，连接．
在菱形中，，所以，则为正三角形，
所以，又，所以．
又因为平面，如图建立空间直角坐标系．
设， 则，，，，
则，，，
则平面的一个法向量为．
设平面的一个法向量为，
则，取，
因为二面角的余弦值为，
所以，解得（负值已舍去），
所以．
17．(1)
(2)
【分析】（1）求出时的导数，然后利用导数的几何意义求出切线方程；
（2）求得，根据的符号讨论出函数的单调性，若在上恰有2个零点，则必须满足，解不等式可得结果.
【详解】（1）当，则，，
所以曲线在点处的切线的斜率为，
又因为，因此曲线在点处的切线方程为.
（2），，，
当时，，，此时在上单调递增；
当时，，，此时在上单调递减；
因此，若在上恰有2个零点，
则必须满足：，解得：，
所以实数a的取值范围为.
18．(1)；
(2)；证明见解析．
【分析】（1）依题意由椭圆定义及性质求出a，b，c的值，即可求解椭圆方程；
（2）（i）设点M的坐标为，表示出，由二次函数性质即可求解；（ii）设出直线l的方程及点M、N的坐标，并与椭圆方程联立，结合韦达定理及斜率公式即可证明．
【详解】（1）设椭圆的半焦距为，
因为的周长为8，由椭圆的定义可得：，即，
又椭圆离心率为，所以，则，
所以椭圆C的方程为：
（2）（i）由椭圆方程得，，设，
因为点M在椭圆C上，所以，即，
所以，
所以，
当，即M为椭圆上下顶点时，，
所以求的最小值为；
（ii）证明：依题意，直线l与x轴不重合，设l的方程为：，
联立，消去x得，
方程的判别式，
设，，则由韦达定理得，
则，
注意到，即，
所以，
所以
19．(1)，
(2)，
(3)
【分析】（1）根据“积扩充”的概念直接求解即可；
（2）由题意，变形为，然后利用等比数列的定义及通项公式求得；设，则，即，然后利用等比数列的定义及通项公式求得，进而得；
（3）对两边取对数得，结合等比数列求和公式利用并项求和法求得，即可得解.
【详解】（1）由题意，，，.
（2），所以，
又因为，所以，所以，
所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以，即；
设，则，即，
又因为，所以，所以，
所以数列是以6为首项，3为公比的等比数列，
所以，即，
所以.
（3）要求，
只需求，
又，
所以
，
所以，所以.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
C
B
B
A
B
D
ABD
BD
题号
11









答案
ACD









1
2
3