湖南省长沙市麓山国际实验学校2025-2026学年高三上学期入学考试数学试题（Word版附解析）

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总分：150分 时量：120分钟
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的）
1. 已知集合，，则的元素个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
2. 共轭复数是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知函数的部分图象如图所示，则的值为（ ）
A. B. 2C. D.
4. 已知，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
5. 葫芦是中华民俗文化的组成部分，是一种文化载体、文化事象，更是中华吉祥文化的象征．图①为一个清代乾隆釉里红团龙纹葫芦瓶古玩，它近似为两个球融合组成的．现模仿该古玩制作了一模型，其轴截面如图②所示，已知两球的半径分别为2和3，且两球心的距离为，记两球心分别为，，P为两个球面交线上一点，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
6. 已知圆，直线，当变化时，截得圆弦长的最小值为2，则（ ）
A. B. C. D.
7. 如图所示，，是双曲线的左、右焦点，双曲线的右支上存在一点满足，与双曲线的左支的交点A平分线段，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数的定义域均为为奇函数，且，则（ ）
A. 不偶函数B. 为奇函数
C. D.
二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 如图，在正方体中，，分别是的中点，则（ ）
A. 四点，，，共面
B.
C. 平面
D. 若，则正方体外接球的表面积为
10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，对于有如下命题，其中正确的是（ ）
A. 若，则是锐角三角形
B. 若，，则的外接圆的面积等于
C. 若是锐角三角形，则
D. 若，则是等腰直角三角形
11. 过抛物线的焦点F的一条直线交抛物线于，两点，则下列结论正确的是（ ）
A. 为定值
B. 若经过点A和抛物线的顶点的直线交准线于点C，则轴
C. 存在这样的抛物线和直线AB，使得OA⊥OB（O为坐标原点）
D. 若直线AB与x轴垂直，则
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 设等比数列的前项和为．若，则__________．
13. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是______．
14. 一个被染满颜料蚂蚱从数轴上的原点开始跳动，每次跳跃有等可能的概率向左或向右跳动1个单位长度，蚂蚱所在的点会留下颜色，则蚂蚱跳动4次后染上颜色的点数个数X的期望________.
四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知等差数列的前项和是，，.
（1）求；
（2）求的最大值，并求对应的项数.
16. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．

（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的余弦值．
17. 甲､乙､丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终胜利，比赛结束.经抽签，甲､乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.
（1）求比赛四场结束且丙获胜的概率；
（2）求甲最终获胜的概率.
18. 已知椭圆的两个焦点，过点作垂直于长轴的直线交椭圆于点，此时与椭圆长轴的两端点形成的四边形的面积为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作两条互相垂直直线与椭圆分别交于点及，求四边形的面积的最小值．
19. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：时，；
（3）判断函数的零点个数.