湖南省永州市第一中学2026届高三上学期模拟（一）数学试题（Word版附解析）

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1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求解集合，再根据交集的定义求出.
【详解】由，可得，则；
故选：D.
2. 设为虚数单位，若复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的除法化简复数即可.
【详解】.
故选：A.
3. 的展开式中的系数为
A. 10B. 20C. 40D. 80
【答案】C
【解析】
【详解】分析：写出，然后可得结果
详解：由题可得
令,则
所以
故选C.
点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题．
4. 过点且与抛物线有且仅有1个公共点的直线的条数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象可知直线符合题意，求导，根据导数的几何意义求切线，即可得结果.
【详解】如图，直线与抛物线有且仅有1个公共点，符合题意，
将求导可得，
设切点坐标为，切线斜率，
则切线方程为，
代入点可得，解得或，
可知过点的切线有2条，
综上所述：符合题意的直线有3条.
故选：D.
5. 已知，，，则“，，既是等差数列又是等比数列”是“”的（ ）
A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用推出关系去判断充要关系即可.
【详解】当时，是等差数列，不是等比数列，
当既是等差数列又是等比数列，则，
故“既是等差数列又是等比数列”是“”的充分不必要条件，
故选：A．
6. 若函数有唯一零点，且，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据偶函数的性质，结合零点的唯一性可得求解.
【详解】由于有唯一的零点，所以也有唯一的零点，
由于均为偶函数，所以为偶函数，
因此，故，
故选：C
7. 已知函数的一个零点是，将函数的图象向左平移个单位长度后所得图象的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求得，然后根据三角函数图象变换、诱导公式等知识求得正确答案.
【详解】依题意，，
所以，
，向左平移个单位长度得到.
故选：D
8. 设是定义在上的函数，对，有，且，则（ ）
A. 2B. -2C. 1D. -1
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用赋值法探讨函数的周期，再求出函数值.
【详解】函数，对，有，
取，得，而，则，
对，令，得，
即，因此，函数周期为4，
令，得，而，则，
所以.
故选：A
二、多选题
9. 已知双曲线和，其中，且，则（ ）
A. 与有相同的实轴
B. 与有相同的焦距
C. 与有相同的渐近线
D. 与有相同的离心率
【答案】BC
【解析】
【分析】根据条件，利用双曲线的性质，对各个选项逐一分析判断，即可求解.
【详解】对于选项A，双曲线的实轴在轴上，实轴长为，
双曲线的实轴在轴上，实轴长为，所以选项A错误，
对于选项B，双曲线和焦距均为，所以选项B正确，
对于选项C，双曲线的渐近线为，双曲线的渐近线为，所以选项C正确，
对于选项D，双曲线的离心率为，
双曲线的离心率为，所以选项D错误，
故选：BC.
10. 若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 角C一定为锐角B. C. D. 的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】先由倍角公式化简得即可判断A选项；由余弦定理即可判断B选项；由正弦定理即及和角公式可判断C选项；由正切和角公式及基本不等式即可判断D选项.
【详解】由可得，又，故，
，故为钝角，A错误；
又由余弦定理，，化简得，B正确；
由正弦定理，即，又，故，
即，即，C正确；
由上知，为钝角，故，，
，当且仅当，即时取等，D正确.
故选：BCD.
11. 在等腰梯形中，为中点，点为中点，将沿折起到的位置，使得平面平面，下列说法中正确的有（ ）
A. 平面
B. 点到平面距离为
C. 与平面所成角的正弦值为
D. 三棱锥外接球表面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，等腰梯形中，根据边长可得，由此即可证平面；对于B，先证平面，再利用等体积法可求点到面的距离；对于C，由线面夹角的定义可知与平面所成角的正弦值为；对于D，根据题意球心在过外接圆圆心垂线的交点处，然后求出半径及表面积.
【详解】在等腰梯形中，为中点，
，且，四边形为平行四边形，
，且，又，所以为等边三角形，
即，所以四边形和四边形均为菱形，
，，，
，翻折后，
，，
又平面，，所以平面，故A正确；
对于B，平面平面，平面平面，，
平面，平面，，
，，，
则，即，，
设点到平面的距离为，
，解得，故B错误；
对于C，与平面所成角正弦值为，故C正确；
对于D，根据题意为等边三角形，且平面平面，
设外接圆圆心，过分别作平面与平面的垂线，交点即为球心，连接，
，
，
所以三棱锥外接球表面积为，故D正确；
故选：ACD.
三、填空题
12. 若曲线的一个对称中心为，则的最小值为_________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正切函数的对称性列式求出的关系，进而求出最小值.
【详解】由曲线的一个对称中心为，得，
解得，所以的最小值为2.
故答案：2
13. 函数的最小正周期为_________.
【答案】##
【解析】
【分析】由函数周期性与诱导公式求解，
【详解】由诱导公式可知，，
当时，与不恒相等，故的最小正周期为，
故答案为：
14. 已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过F的直线与C交于P，Q两点（P在x轴上方），M为的中点.若，点M到l的距离为4，则p的值为______.
【答案】3
【解析】
【分析】方法一，当斜率为0时，不合要求，设出PQ：，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由得到，进而求出，，由点M到l的距离为4得到方程，求出；
方法二：设PQ的倾斜角为，使用焦点弦的二级结论得到方程，求出答案.
【详解】方法一：当斜率为0时，过F的直线与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去，
设PQ：，，，
由与联立，得，所以．
由，得，代入，得，
故，．
因为M为的中点，所以点的横坐标为，
因为点M到l的距离为4，所以，
即，故，解得；
方法二：设PQ的倾斜角为，则，
由得，即，
解得，则，
由点M到l的距离为4，得，即，所以．
故答案为：3
四、解答题
15. 如图，正四棱锥，，，为侧棱上的点，且．
（1）求证：；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连结交于点，连结，证明四边形是正方形，证明平面，证明；
（2）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求解.
【小问1详解】
连结交于点，连结，
因为正四棱锥，所以平面，
又平面，
所以，因为正四棱锥，
所以四边形是正方形，
所以，因为，，，平面，平面，
所以平面，又平面，
所以；
【小问2详解】
因为，，，
所以以为原点建立空间直角坐标系，
，，，，
所以，
，
所以，
因此异面直线与所成角的余弦值为.
16. 已知数列是首项为2的正项等比数列.又构成等差数列.
（1）求数列的通项公式;
（2）若数列满足.令.求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设等比数列的公比为，根据构成等差数列列式计算即可求解；
（2）利用退位相减法求得，即，再根据裂项相消法即可求解.
【小问1详解】
设等比数列的公比为，
因为构成等差数列，
所以，即，解得或（不符合题意舍去），
所以；
【小问2详解】
令，
当时，，
当时，，
显然时也满足上式，
因为，所以，
所以，
所以.
17. 已知函数．
（1）当时，求的最小值；
（2）若对总成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）0 （2）
【解析】
【分析】（1）先求出导函数，再根据导函数正负得出函数单调性进而得出最小值；
（2）先参数分类把转化为，再构造函数结合函数最值计算求参.
【小问1详解】
时，因为，所以，
所以当时，，当时，，所以在上单调递减，
在上单调递增，所以．
【小问2详解】
因为，所以等价于，
令，则，
由（1）得时，，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以．
18. 某运动员为了解自己的运动技能水平，记录了自己1000次训练情况并将成绩（满分100分）统计如下表所示.
（1）求上表中成绩的平均值及上四分位数（同一区间中的数据用该区间的中点值为代表）；
（2）该运动员用分层抽样的方式从的训练成绩中随机抽取了6次成绩，再从这6次成绩中随机选2次，设成绩落在区间的次数为X，求X的分布列及数学期望；
（3）对这1000次训练记录分析后，发现某项动作可以优化.优化成功后，原低于80分的成绩可以提高10分，原高于80分的无影响，优化失败则原成绩会降低10分，已知该运动员优化动作成功的概率为．在一次资格赛中，入围的成绩标准是80分.用样本估计总体的方法，求使得入围的可能性变大时p的取值范围.
【答案】（1）平均值为，上四分位数为；
（2）分布列见解析，数学期望为；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据平均值计算公式和上四分位数计算方法即可得到答案；
（2）写出的可能取值，再分别计算出其分布列，最后再利用数学期望公式即可；
（3）法一：利用互斥事件加法公式和全概率计算公式得到关于的表达式，从而得到不等式，解出即可；法二：根据比例法得到相关概率表达式，解出不等式即可.
【小问1详解】
依题意，平均值
，
，
上四分位数落在区间，且等于.
【小问2详解】
由样本数据可知，训练成绩在之内的频数之比为2:1，
由分层抽样的方法得，从训练成绩在中随机抽取了6次成绩，
在之内的4次，在之内的抽取了2次，
所以可取的值有：0，1，2，
，，，
分布列为：
.
【小问3详解】
法一：设事件分别表示动作优化前成绩落在区间，，，
则相互互斥，所以动作优化前，
在一次资格赛中，入围的概率，
设事件B为＂动作优化成功＂，则，
动作优化后，在一次资格赛中，入围事件为：，且事件相互互斥，
所以在一次资格赛中入围的概率
，
故，
由解得，又的取值范围是.
法二：因为入围的成绩标准是80分，所以进行某项动作优化前，该运动员在资格赛中入围的概率为：，
进行某项动作优化后，影响该运动员入围可能性变化的是落在区间或的成绩，
当且仅当动作优化成功，落在这两个区间的成绩才能符合入围标准，
所以进行优化后，该运动员在资格赛中入围的概率，
由，得，又的取值范围是.
19. 已知双曲线的右顶点到其渐近线的距离为，点在上.
（1）求的方程；
（2）过点的直线交双曲线于，两点.
（ⅰ）若与的渐近线交于点，，且（是坐标原点），求的方程；
（ⅱ）记，若点满足，求点的轨迹方程.
【答案】（1）
（2）（i）或；（ii）
【解析】
【分析】（1）先求得到双曲线右顶点为和一条渐近线方程为，结合题意，列出方程组，求得的值，即可求得双曲线的方程；
（2）（ⅰ）设直线的方程为，联立方程组，得到，求得，得到，再联立方程组，求得的坐标，得到，结合，求得，即可得到直线的方程；
（ⅱ）设，由，得到，再由表示出，化简可得到点的轨迹方.
【小问1详解】
解：由双曲线，可得右顶点为，其中一条渐近线方程为，
因双曲线经过点，可得，
又因为右顶点到渐近线的距离为，可得，
联立方程组，解得，所以双曲线的方程为.
【小问2详解】
解：（ⅰ）由双曲线，可得渐近线方程为，即，
设直线的方程为，且，
联立方程组，整理得，
则且，解得，
可得，
则，
即，所以，
联立方程组，解得，
所以，
因为，可得，解得，
所以直线的方程为，即或.
（ⅱ）设，
由，可得，可得，
又由，可得，
所以，
又，
所以，
所以点的轨迹方程为.
成绩区间

频数
100
200
300
240
160
0
1
2