四川省绵阳南山中学实验学校2024-2025学年高二下学期5月期中数学试卷（含部分解析）

这是一份四川省绵阳南山中学实验学校2024-2025学年高二下学期5月期中数学试卷（含部分解析），共12页。试卷主要包含了 考试结束后，将答题卡交回，已知函数，已知等差数列和正项等比数列满足，已知数列，若，且．，【详解】的定义域为R,等内容，欢迎下载使用。
完成时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知数列的首项为1，，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
2．已知函数，则（ ）
A．2B．-2C．1D．-1
3．某城市的汽车牌照号码由个英文字母后接个数字组成，其中个数字互不相同的牌照号码共有（ ）个
A．B．C．D．
4．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在处取得极小值
B．函数在处取得极大值
C．函数在上单调递增
D．函数的递减区间为
5．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ）
A．140种B．120种C．35种D．34种
6．在等比数列中，，是函数的极值点，则（ ）
A．3B．C．D．9
7．高二某班为了准备校园樱花文化节活动的展示牌，计划用5种不同颜色的笔书写图中A、B、C、D四个区域的文字，规定每个区域只用一种颜色的笔书写文字，相邻区域书写的文字颜色不同,则不同的书写方法数为（ ）
A．120 B．160
C．180 D．240
8．设数列的前项之积为，满足，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．到了毕业季，我校科技创新兴趣小组内的5名同学要站在一排进行拍照留念，则下列说法正确的是（ ）
A．所有不同的排法种数为120种
B．如果甲同学和乙同学必须相邻，则所有不同的排法种数为48种
C．如果甲同学不站在第一个位置，也不在最后一个位置，则所有不同的排法种数为48种
D．如果甲和丙不能相邻，则所有不同的排法种数为72种
10．设数列是以为公差的等差数列，是其前n项和，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．使>0成立的的最大值为14D．为的唯一最大值
11．已知不等式在上恒成立（当且仅当时等号成立），下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.在的展开式中，常数项是 .
13.我校新采购了5套不同的实验器材，预计分配到高一、高二、高三三个年级的实验室，要求每个年级至少分到1套实验器材，那么共有 种不同的分配方案.
14．已知等差数列的前项和为，且.在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是 .
四、解答题：(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.（13分）已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若，求函数的最大值与最小值.
16.（15分）已知等差数列和正项等比数列满足：,,
(1)求数列，的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，求.
17.（15分）已知函数.
(1)设函数，若在定义域上存在减区间，求实数的取值范围；
(2)若对任意的，且，都有，求实数的取值范围．
18.（17分）已知数列，若，且．
(1)证明数列是等比数列，并求出的通项公式；
(2)若，且数列的前项和为，求；
(3)若，且数列的前项和为，求证：.
（17分）已知函数
讨论的单调性；
若在上恒成立，求的取值范围；
讨论在上的零点个数.
绵阳南山中学实验学校高2023级高二（下）半期考试 数学试题答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．A 2．D 3.D 4．B 5．D
6．【详解】由题得，
因为，是函数的极值点，则，是方程的两根，
所以从而可得，
又因为等比数列，可得，且，所以.
故选：B.
7．C
8．【详解】当时，，所以，
当时，，可得，即，即，
即，所以是首项为3，公差为2的等差数列，
所以，所以，所以.
故选：.
多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．【答案】ABD
10．【详解】根据题意可得，即．因为，，所以，所以数列是递减数列，所以A，B正确；
对于C，因为，，故C正确；
对于D，因为，所以，又为递减数列，所以或为的最大值，故D不正确．
故选：ABC．
11．【详解】对于A，将替换为，则，所以，所以A正确；
对于B，由A可得，故，又由题设得，
故，即，故B正确；
对于C，D由已知和 A得，令得，
即，所以C，D错误；
故选：AB.
填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
15 13. 150
14 【详解】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
由S2=4S1，得：2a1+d=4a1 ⇒ d=2a1.
由a2n=2an+1，得：a1+2n-1d=2[a1+n-1d]+1.
将d=2a1代入上式：化简得： a1=1.
因此，公差d=2a1=2，通项公式为：an=1+n-1⋅2=2n-1.
在2an与2an+1之间插入n个数，构成n+2项的等差数列，其公差为：
dn=2an+1-2ann+2-1=22n+1-1-22n-1n+1=22n+1-22n-1n+1=22n-122-1n+1=3⋅22n-1n+1.
数列{dn}的单调性：设fn=3⋅22n-1n+1，则
fn+1-fn=3⋅22n+1n+2-3⋅22n-1n+1=3⋅22n-1⋅4n+1-n+2n+1n+2=3⋅22n-1⋅3n+2n+1n+2>0,
故{dn}单调递增，最小值为d1=3⋅212=3.数列{ak}的最小值：ak=2k-1，当k=1时，a1=1.
对任意，存在，使得dp≥λak.由于dp≥3且ak≥1，只需保证3≥λ⋅1，即λ≤3.
故答案为：.
四、解答题：(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.【详解】（1）由题，则切线的斜率为， （2分）
故曲线在点处的切线方程为，即为； （4分）
（2）∵，令，解得：或，
令，解得：，
∴在单调递增，在单调递减，在单调递增； （6分）
∴，， （8分）
又，，，， （12分）
所以在上的最大值为，最小值为. （13分）
16.【详解】（1）设等差数列的公差为，正项等比数列的公比为；
由，，可得， （2分）
解得或（舍），则； （4分）
所以，； （6分）
可得数列的通项公式为，的通项公式为；（8分）
（2）易知，
则，
； （11分）
两式相减可得
；（14分）
所以数列的前项和为. （15分）
【详解】(1)由函数f(x)＝12x2＋(a－2)x－2a ln x，x>0，
，可得， （2分）
函数在上存在减区间在上有解. （4分）
在上成立，解得. （7分）
(2)由函数f(x)＝12x2＋(a－2)x－2a ln x，
因为对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有，
不妨设，则等价于. （9分）
设，等价于在(0，＋∞)上是增函数， （10分）
可得，
依题意，对任意x>0有x2－2x－2a≥0恒成立， （12分）
又由，可得，即实数a的取值范围为. （15分）
【详解】（1）因为，所以，又，所以，
所以是以为首项、为公比的等比数列，所以，则. （5分）
（2）由（1）可得，
所以， （7分）
所以. （10分）
（3）由（1）可得 （12分）
（15分）
易知在上单调递增，且恒成立，所以
故得证. （17分）
19.【详解】（1）的定义域为R,
①当时，，在R上单调递减. （2分）
②当时，令，解得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.（4分）
综上：若，在R上单调递减；若，在上单调递减，
在上单调递增. （ 5分）
（2）由（1）可知，①当时，在上单调递减，所以，不满足在上恒成立. （7分）
②当时，在上单调递减，在上单调递增.
1）若，即，在上单调递增，那么，满足在上恒成立. （9分）
2）若，即，，则在上单调递减，在上单调递增.。不满足在上恒成立.
综上，的取值范围是 （11分）
（3）①当，在R上单调递减，当；当，所以有一个零点. （12分）
②当时，在上单调递减，在上单调递增.
（13分）
令所以在上单调递增，又
所以当时，，函数有一个零点.
当时，，函数无零点.
当时，，
当；当函数有两个零点.
综上：当，有一个零点；
当时，函数有两个零点；
当时，函数有一个零点；
当时，函数无零点. （17分）