2024-2025学年四川省广元市苍溪县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年四川省广元市苍溪县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共32页。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）
1．我国古代数学的许多创新与发明都在世界上具有重要影响．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是
A．刘徽的割圆术B．中国七巧板
C．杨辉三角D．赵爽弦图
2．将一元二次方程化成一般形式是
A．B．C．D．
3．下列事件中的必然事件是
A．地球绕着太阳转
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．天空出现三个太阳
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
4．如图，将△绕点逆时针旋转得到△，点的对应点恰好落在边上，若，则旋转角的度数是
A．B．C．D．
5．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则
A．B．2C．D．4
6．如图，已知是的直径，于点，且，，则的值是
A．4B．C．D．9.6
7．若点，，在二次函数的图象上，下列数量关系正确的是
A．B．C．D．
8．我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为步，根据题意列方程正确的是
A．B．
C．D．
9．如图，在等腰△中，，于点，将一直角三角尺的直角顶点放在点处，当三角尺绕点顺时针旋转时，两条直角边分别与，交于点，（点、分别在线段、上，端点除外），连接，则线段与的大小关系式为
A．B．C．D．
10．已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中：①；②若点，，均在该二次函数图象上，则；③若为任意实数，则；④若且，则；⑤方程的两实数根为，，且，则，．其中正确的结论个数是
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）
11．方程是关于的一元二次方程，则 ．
12．抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是 ．
13．为了估计暗箱里黑球的数量（箱内只有黑球），将6个白球放进去，这些球与黑球除颜色外其他都相同，搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回；搅匀后再从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，多次重复后发现摸出黑球的频率稳定在0.6附近，那么可以估计暗箱里黑球的个数为 个．
14．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，若将△绕点顺时针旋转，得到△，则点的坐标为 ．
15．如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于、两点，拱桥最高点到的距离为8米，米，，为拱桥底部的两点，且，若点到直线的距离为10米，则的长为 米．
16．如图，正方形的顶点在原点，边，分别在轴和轴上，点坐标为，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为圆心，为半径作圆，设点横坐标为，当与正方形的边相切时，的值为 ．
三、解答题
17．（6分）按要求解下列方程：
（1）（任选一种方法）；
（2）（配方法）．
18．（8分）如图，△和△关于某一点成中心对称，其中点，，，．
（1）对称中心的坐标为 ；
（2）在直角坐标系中画出△绕点顺时针旋转得到的图形△．
①在图中画出△；
②求点经过的路径的长．
19．（8分）已知关于的方程为常数）．
（1）请你说明，无论为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若，解这个方程．
20．（9分）已知：如图，在△中，，的角平分线交边于．
（1）以边上一点为圆心，过、两点作，并标出圆心．（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）判断直线与的位置关系，并说明理由．
（3）若，，求的半径．
21．（9分）如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点．
（1）写出、、的坐标；
（2）当时，求函数值的取值范围；
（3）若点是第四象限内抛物线上一动点，连接、、，求△的面积的最大值．
22．（10分）为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 名，补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数 ；
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？
23．（10分）如图，平分，与相切于点，延长交于点，过点作，垂足为．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为2，，求的长．
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
24．（10分）在2024国际射联射击世界杯总决赛上，中国射击运动员谢瑜以244.6环的优异成绩摘得男子10米气手枪金牌，激励着千千万万的青少年坚定理想、奋力拼搏．谢瑜的家乡贵州省某地盛产核桃，某农户2022年种植核桃80公顷，他逐年扩大规模，到2024年，核桃种植面积达到了115.2公顷．
（1）求该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率；
（2）某销售核桃的干果店经市场调查发现，当核桃售价为20元时，每天能售出，售价每降低1元、每天可多售出，为了尽快减少库存，该店决定降价促销，已知核桃的平均成本价为12元，若要使该店销售核桃每天获利1750元，则售价应降低多少元？
25．（12分）【模型感知】
手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型．
（1）如图1，已知△和△都是等边三角形，连接，．求证：；
【模型应用】
（2）如图2，已知△和△都是等边三角形，将△绕点旋转一定的角度，当点在的延长线上时，请直接写出线段、、之间存在的数量关系为 ；
【类比探究】
（3）如图3，已知△和△都是等边三角形．
①当点在线段上时，过点作于点．求证：；
②当点在线段的延长线上时，请直接写出线段，与之间存在的数量关系为 ．
26．（14分）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，其顶点为．
（1）求抛物线的表达式及顶点的坐标；
（2）在轴上是否存在一点，使得的周长最小．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点在以点为圆心，1为半径的上，连结，以为边在的下方作等边三角形，连结．求的取值范围．
参考答案
一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）
1．我国古代数学的许多创新与发明都在世界上具有重要影响．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是
A．刘徽的割圆术B．中国七巧板
C．杨辉三角D．赵爽弦图
解：选项、、中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
2．将一元二次方程化成一般形式是
A．B．C．D．
解：将原方程整理得；
故选：．
3．下列事件中的必然事件是
A．地球绕着太阳转
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．天空出现三个太阳
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
解：地球绕着太阳转是必然事件，所以符合题意；
射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，所以不符合题意；
天空出现三个太阳是不可能事件，所以不符合题意；
经过有交通信号灯的路口遇到红灯是随机事件，所以不符合题意．
故选：．
4．如图，将△绕点逆时针旋转得到△，点的对应点恰好落在边上，若，则旋转角的度数是
A．B．C．D．
解：由旋转可知，
，
所以．
又因为，
所以，
所以，
即旋转角的度数是．
故选：．
5．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则
A．B．2C．D．4
解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
△，
，
．
故选：．
6．如图，已知是的直径，于点，且，，则的值是
A．4B．C．D．9.6
解：是直径，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
故选：．
7．若点，，在二次函数的图象上，下列数量关系正确的是
A．B．C．D．
解：将二次函数解析式化为顶点式：，
所以该二次函数的对称轴为直线，
点到对称轴直线的距离为，
点到对称轴直线的距离为，
点到对称轴直线的距离为，
当时，二次函数图象开口向下，在对称轴左侧随的增大而增大，在对称轴右侧随的增大而减小，且点到对称轴的距离越远，函数值越小，
比较距离大小，所以，
当时，二次函数图象开口向上，在对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧随的增大而增大，且点到对称轴的距离越远，函数值越大，
，
综上或．
故选：．
8．我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为步，根据题意列方程正确的是
A．B．
C．D．
解：设宽为步，长为步，
根据题意列方程，
故选：．
9．如图，在等腰△中，，于点，将一直角三角尺的直角顶点放在点处，当三角尺绕点顺时针旋转时，两条直角边分别与，交于点，（点、分别在线段、上，端点除外），连接，则线段与的大小关系式为
A．B．C．D．
解：等腰△中，，于点，
，，，
，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，
故选：．
10．已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中：①；②若点，，均在该二次函数图象上，则；③若为任意实数，则；④若且，则；⑤方程的两实数根为，，且，则，．其中正确的结论个数是
A．1个B．2个C．3个D．4个
解：如图，
二次函数的图象与轴的一个交点坐标为
当时，可有，故结论①正确；
，
该二次函数的图象开口向下，
函数图象上的点距离对称轴越远，函数值越小，
对称轴为，
，，，
又，
，故结论②错误；
该函数图象的对称轴，
，
，即，
，
该二次函数的图象开口向下，
当时，该函数取最大值，
为任意实数，可有，
即，故结论③正确；
若且，
即有，
函数图象的对称轴为，
，即，故结论④错误；
方程的两实数根为，，
抛物线与直线的交点的横坐标为，，
由抛物线的对称性可知该抛物线与轴的另一交点为，
即该抛物线与轴的交点为，，
该抛物线开口向下，，
，，故结论⑤正确．
综上所述，结论正确的有①③⑤，共计3个．
故选：．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．方程是关于的一元二次方程，则 ．
解：方程是关于的一元二次方程，
，且，
解得；
故答案为：．
12．抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是 ．
解：平移后所得到的抛物线是．
故答案为：．
13．为了估计暗箱里黑球的数量（箱内只有黑球），将6个白球放进去，这些球与黑球除颜色外其他都相同，搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回；搅匀后再从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，多次重复后发现摸出黑球的频率稳定在0.6附近，那么可以估计暗箱里黑球的个数为 9 个．
解：设暗箱里黑球的个数为个，
根据题意列分式方程可得，，
整理得，，
解得，
经检验，是该分式方程的解，
所以可以估计暗箱里黑球的个数为9个．
故答案为：9．
14．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，若将△绕点顺时针旋转，得到△，则点的坐标为 ．
解：作轴于点，
由旋转可得，轴，
四边形为矩形，
，，
点坐标为．
故答案为：．
15．如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于、两点，拱桥最高点到的距离为8米，米，，为拱桥底部的两点，且，若点到直线的距离为10米，则的长为 36 米．
解：如图所示，建立平面直角坐标系，轴在直线上，轴经过最高点，
设与轴交于点，
，
，
由题可知：
，，
，
，，
设该抛物线的解析式为：，
把代入解析式得：，
解得，
抛物线：，
当时，，
解得，
，，
．
故答案为：36．
16．如图，正方形的顶点在原点，边，分别在轴和轴上，点坐标为，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为圆心，为半径作圆，设点横坐标为，当与正方形的边相切时，的值为 或 ．
解：点坐标为，点是的中点，
，．
分与相切和与相切两种情况考虑：
①当与相切时，如图1所示．
点横坐标为，
．
在△中，，，，
，即，
解得：；
②当与相切时，设切点为，连接，如图2所示．
，，
．
，
四边形为矩形，
，
．
在△中，，，，
，即，
解得：，（不合题意，舍去）．
综上所述：的值为或．
故答案为：或．
三、解答题
17．（6分）按要求解下列方程：
（1）（任选一种方法）；
（2）（配方法）．
解：（1）将原方程化为一般形式得，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
，
．
18．（8分）如图，△和△关于某一点成中心对称，其中点，，，．
（1）对称中心的坐标为 ；
（2）在直角坐标系中画出△绕点顺时针旋转得到的图形△．
①在图中画出△；
②求点经过的路径的长．
解：（1）连接，交于点，
因为点的坐标为，
所以对称中心的坐标为．
故答案为：．
（2）①如图所示，
△即为所求作的三角形．
②因为，
所以点经过的路径的长为：．
19．（8分）已知关于的方程为常数）．
（1）请你说明，无论为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若，解这个方程．
解：（1）由条件可知△，
无论取何实数，总有△，
方程总有两个不相等的实数根．
（2）当，代入方程，得：，
△，
，
，．
故答案为：，．
20．（9分）已知：如图，在△中，，的角平分线交边于．
（1）以边上一点为圆心，过、两点作，并标出圆心．（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）判断直线与的位置关系，并说明理由．
（3）若，，求的半径．
解：如图，
（1）即为所求；
（2）直线与的位置关系为：相切，理由如下：
连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，是半径，
直线与相切；
（3）设的半径为，
在△中，，，，
，
解得．
答：的半径为3．
21．（9分）如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点．
（1）写出、、的坐标；
（2）当时，求函数值的取值范围；
（3）若点是第四象限内抛物线上一动点，连接、、，求△的面积的最大值．
解：（1），，；理由如下：
抛物线与轴交于点、，与轴交于点，
当时，得：，
解得：，，
当时，得：，
，，；
（2），
对称轴为直线，
当时，函数有最小值为，
，
当时，，
当时，，
当时，；
（3）点是第四象限内抛物线上一动点，如图，连接，
，，
，，
设点，
，
，
点是第四象限内抛物线上一动点，
，
当时，有最大值，最大值为．
22．（10分）为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 100 名，补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数 ；
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？
解：（1）本次被调查的学生人数为（名．
选择“足球”的人数为（名．
补全条形统计图如下：
（2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数为．
故答案为：．
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，
甲和乙同学同时被选中的概率为．
23．（10分）如图，平分，与相切于点，延长交于点，过点作，垂足为．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为2，，求的长．
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：与相切于点，
，
平分，，
，
是圆的半径，
是的切线；
（2）解：的半径为2，
，
，，
，，
，都是的切线，
设，则，
在△中，，
，
解得，
；
（3）在△中，，，
，，
，
，
，，
．
24．（10分）在2024国际射联射击世界杯总决赛上，中国射击运动员谢瑜以244.6环的优异成绩摘得男子10米气手枪金牌，激励着千千万万的青少年坚定理想、奋力拼搏．谢瑜的家乡贵州省某地盛产核桃，某农户2022年种植核桃80公顷，他逐年扩大规模，到2024年，核桃种植面积达到了115.2公顷．
（1）求该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率；
（2）某销售核桃的干果店经市场调查发现，当核桃售价为20元时，每天能售出，售价每降低1元、每天可多售出，为了尽快减少库存，该店决定降价促销，已知核桃的平均成本价为12元，若要使该店销售核桃每天获利1750元，则售价应降低多少元？
解：（1）设该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率为．
由题意列一元二次方程得，，
整理得，，
解得，（舍去）．
答：该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率为；
（2）设售价应降低元．
由题意列一元二次方程得，，
整理得
解得，．
要尽快减少库存，
．
答：售价应降低3元．
25．（12分）【模型感知】
手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型．
（1）如图1，已知△和△都是等边三角形，连接，．求证：；
【模型应用】
（2）如图2，已知△和△都是等边三角形，将△绕点旋转一定的角度，当点在的延长线上时，请直接写出线段、、之间存在的数量关系为 ；
【类比探究】
（3）如图3，已知△和△都是等边三角形．
①当点在线段上时，过点作于点．求证：；
②当点在线段的延长线上时，请直接写出线段，与之间存在的数量关系为 ．
【解答】（1）证明：△和△都是等边三角形，
，，，
，
，
在△和△中，
，
△△，
；
（2）解：线段、、之间存在的数量关系为；理由如下：
△和△都是等边三角形，
，，，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，
，
故答案为：；
（3）①证明：△和△是等边三角形，
，，，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
，
，
，
，
，
，
；
②解：线段，与之间存在的数量关系为；理由如下：
如图，当点在线段的延长线上时，
△和△是等边三角形，
，，，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
，
，
．
，
，
，
故答案为：．
26．（14分）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，其顶点为．
（1）求抛物线的表达式及顶点的坐标；
（2）在轴上是否存在一点，使得的周长最小．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点在以点为圆心，1为半径的上，连结，以为边在的下方作等边三角形，连结．求的取值范围．
解：（1）把，代入得：
，
解得，
抛物线的表达式为；
，
抛物线顶点的坐标为，；
（2）在轴上存在一点，使得的周长最小，理由如下：
作，关于轴的对称点，，连接交轴于，如图：
在中，令得，
解得或，
，
，
的周长最小，只需最小，
，
，
，，共线时，最小，最小值为的长，此时的周长也最小；
由，，得直线解析式为，
令得，
的坐标为；
（3）以为边，在下方作等边三角形，连接，，，如图：
由，，是等边三角形，可得的坐标为，
，是等边三角形，
，，，
，
，
，
的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
，
，
当在线段上时，最小，此时；
当在线段上时，最大，此时；
的范围时．