四川省广元市苍溪县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份四川省广元市苍溪县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列运动项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A．B．C．D．
3．下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．太阳从东边升起B．打开电视，CCTV1正在播放《典籍里的中国》
C．过不在同一直线上的三个点确定一个圆D．在一个装有白球和红球的袋子里摸出黑球
4．如图，A，B，C是上的三个点，若，则的度数为（）
A．B．C．D．
5．若是一元二次方程的一个根，则q的值为（）
A．B．2C．D．5
6．如果小球在如图所示的图案上（去掉颜色的图案是中心对称图形也是轴对称图形）自由地滚动，并随机停留在某处，那么小球最终停留在灰色图案上的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，将绕点A逆时针旋转得到，点、分别为点、的对应顶点，若，且于点，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
8．“指尖上的非遗——麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．如图是在一幅长，宽的麻柳刺绣的四周镶嵌宽度相同的边框，制成的一幅矩形挂图，且整个挂图的面积是．设边框的宽度为，则列出的方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致为（ ）

A． B．
C． D．
10．如图，在中，，，，的半径为1，点P是边上的动点，过点即P作的一条切线（点Q为切点），则切线长的最小值是（ ）
A．B．3C．D．4
二、填空题
11．若函数是反比例函数，则的值等于 ．
12．已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
13．已知，两点都在抛物线上，那么 ．
14．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为3，则的值为 ．

15．如图，以点O为圆心，AB为直径的半圆过点C，若C为的中点，，则阴影部分的面积是 ．
16．如图，将绕点顺时针旋转，使点落在边上的点处，点落在点处，与相交于点，若，，，则的长为 ．

三、解答题
17．解方程：．
18．已知反比例函数的图象位于第二、四象限．
(1)求k的取值范围；
(2)若点是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值的大小．
19．赏红叶泡温泉玩转冰雪，这个冬天快来乐游广元．今年广元市某景点9月接待游客10万人，11月接待游客14.4万人．求该景点9月至11月接待游客的月平均增长率．
20．苍溪县“骑手驿站”建成使用，为严寒中的劳动者们带来丝丝暖意，让他们有更多的安全感、获得感、幸福感．刘军是苍溪县某区一名快递员，在他负责送货的区域附近有A，B，C，D四个“骑手驿站”，他主要在“骑手驿站”接热水、吃午饭．设他到这四个“骑手驿站”的可能性相等．
(1)他选择D“骑手驿站”接热水的概率是________；
(2)请用列表或画树状图法表示他选择同一“骑手驿站”接热水、吃午饭的概率．
21．如图，的顶点都在边长为1的正方形组成的网格格点上，．
(1)将绕点O顺时针旋转得到，做出旋转后的；
(2)在旋转过程中，点B经过的路径为弧，求弧的长．
22．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点，与坐标轴交于A、B两点，连接（O是坐标原点）．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求的面积；
23．如图， 在 中，是直径，是弦，平分且与交于点， 过作交的延长线于点．
(1)求证： 是的切线；
(2)若 ， 求的直径．
24．某商家出售的一种商品成本价为元/千克，市场调查发现，该商品每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数．设这种商品每天的销售利润为w元．
(1)求w关于x的函数解析式；
(2)该商品售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大销售利润是多少？
25．把两个等腰直角三角形和按图①所示的位置摆放，将绕点C逆时针旋转（）到图②所示位置，连接，．
(1)特例问题：如图①，与的数量关系是_____________，与的位置关系是_____________；
(2)探索解决：如图②，（1）中与的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
(3)拓展应用：如图③，点D在内部，若，，，求线段的长．
26．如图，抛物线与x轴相交于两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上是否存在一点M，使的周长值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在抛物线上有一点P，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，若是等腰直角三角形，求点P的坐标．
参考答案：
1．B
【分析】根据“根据沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的平面图形叫做轴对称图形；绕某一点旋转，旋转后的图形能与原图形重合，那么这个图形是中心对称图形”进行判断即可．
【详解】解：A. 既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故不符合题意；
B. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
C. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
D. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B．
2．C
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，即反比例函数中，为定值依此判断即可．
【详解】解：反比例函数中，，
A、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意；
B、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意；
C、，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项符合题意；
D、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了事件的分类，在随机试验中，可能出现也可能不出现的事件称为随机事件．
【详解】解：太阳从东边升起，属于必然事件，故A不符合题意；
打开电视，CCTV1正在播放《典籍里的中国》，属于随机事件，故B符合题意；
过不在同一直线上的三个点确定一个圆，属于必然事件，故C不符合题意；
在一个装有白球和红球的袋子里摸出黑球，属于不可能事件，故D不符合题意；
故选：B
4．C
【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的关系是解题的关键．
根据同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求的大小．
【详解】解：∵，
故选：C．
5．D
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
根据一元二次方程的解的定义把代入方程得到关于的一次方程，然后解一次方程即可．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，
故选：D．
6．C
【分析】本题考查了几何概率，根据几何概率的求法可知，小球最终停在阴影区域的概率等于阴影区域的面积与总面积的比值；理解“几何概率相应的面积与总面积之比”是解题的关键．
【详解】解：去掉颜色的图案是中心对称图形也是轴对称图形，
灰色图案的面积是圆面积的，
小球最终停留在灰色图案上的概率是；
故选：C．
7．B
【分析】本题考查了旋转的性质和直角三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．由旋转的性质可得，，由直角三角形的性质可得，即可求解．
【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，
，，
，
，
．
故选：B．
8．C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，列出正确的方程是解答本题的关键．
根据题意，设边框的宽度为，则长为，宽为，列出方程为：，由此得到答案．
【详解】解：根据题意，
设边框的宽度为，
则整个挂图的长为，宽为，
列出方程为：，
故选：．
9．C
【分析】本题考查了二次函数系数与图象的关系以及一次函数与二次函数的图象的综合判断，通过分析二次函数图象得到的符号是解题关键．
【详解】解：根据已知二次函数图象，抛物线开口向下，则可知，
由抛物线对称轴在y轴右侧，则对称轴为直线，
∴，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，
故应选：C
10．A
【分析】连接根据切线得到，结合垂线段最短找到P点即可得到答案．
【详解】解：连接，过作，此时即为最小的，半径不变当最小时也最小，
∵，，
∴，
∴，
由勾股定理可得，，
解得：，
∴，
∴，
∵是的一条切线，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理，圆外一点到圆的最短距离，切线的性质，含30度角的直角三角形，正确作出辅助线是关键．
11．
【分析】根据反比例函数的定义，即可解答．
【详解】解：∵函数是反比例函数，
∴，解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，解题的关键是掌握反比例函数的三种表达式：．
12．9
【分析】根据根的判别式的意义得到△，然后解关于的方程即可．
【详解】解：根据题意得△，
解得．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．
13．3
【分析】根据题意可得点P和点Q关于抛物线的对称轴对称，求出函数的对称轴即可进行解答．
【详解】解：根据题意可得：抛物线的对称轴为直线：，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：3．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据题意，找到P、Q两点关于对称轴对称求解．
14．
【分析】由的面积为3，可得，再结合图象经过二、四象限，从而可确定的值．
【详解】解：的面积为3，
图象经过二、四象限
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数中的几何意义，解题关键是要明确双曲线上任意一点引两坐标轴的垂线，所得三角形的面积为．
15．
【分析】本题考查了垂径定理，扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：已知扇形的圆心角是，半径是，那么这个扇形的面积．
求出，求出阴影部分的面积，再根据扇形的面积公式求出答案即可．
【详解】解：∵是的直径，为的中点，
∴阴影部分的面积，
故答案为．
16．
【分析】如图，过点作于点，证明，得到，，再证明，得到，由及旋转可得到，由勾股定理得到，即可求出长．
【详解】如图，过点作于点，

由旋转可知：，，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
,
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，通过题意构造辅助线是解题的关键．
17．，
【分析】先将方程化成一般式，再运用公式法求解即可．
【详解】解：，
整理得：，
这里，，，
∴，
∴，
解得：，．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法是解题的关键．
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了反比例函数增减性与比例系数的关系，比较反比例函数函数值的大小，解题的关键在于熟知反比例函数图象增减性以及经过的象限与比例系数的关系．
（1）反比例函数图象经过第二、四象限，那么比例系数小于0，据此求解即可；
（2）根据题意可得在每个象限内，y随x增大而增大，根据点的坐标可知点A和点B都在第二象限，由此可得答案．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴，
∴；
（2）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴在每个象限内，y随x增大而增大，
∵点是该反比例函数图象上的两点，，
∴点A和点B都在第二象限，
∴．
19．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设该景点9月至11月接待游客的月平均增长率为x，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：设该景点9月至11月接待游客的月平均增长率为x．
由题意，得．
解得，（不符合题意，舍去）．
答：该景点9月至11月接待游客的月平均增长率为．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了概率公式计算概率，画树状图法求概率．
（1）根据概率公式计算即可．
（2）画树状图法，进而根据概率公式计算即可．
【详解】（1）有A，B，C，D四个“骑手驿站”，
故选择D“骑手驿站”接热水的概率是，
故答案为：．
（2）画树状图如下：
由树状图，知共有16种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相等，其中他选择同一“骑手驿站”接热水、吃午饭的结果有4种，
所以P（他选择同一“骑手驿站”接热水、吃午饭）．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查旋转的性质，弧长公式，勾股定理．
（1）根据题意先分别求出旋转后的点坐标，再依次连接各点即可得到本题答案；
（2）先利用勾股定理求出的长，再利用弧长公式即可得到本题答案．
【详解】（1）解：∵，将绕点O顺时针旋转得到，
∴，如图，即为所求作∶
；
（2）解：∵，
∴，
由图可知：的长为．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象交点问题．
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据反比例函数的解析式求出点坐标，利用分割法求三角形的面积即可．
【详解】（1）解：把代入，得：，
∴；
（2）∵，
∴当时，，
∴，
过点作轴，过点作轴，
则：，，
∴，
∴．
23．(1)证明见解析
(2)10
【分析】（1）连接 ，由题意可得，可证，根据切线的判定可证得结论；
（2）过点 作， 垂足为可证明四边形是矩形，可得，再根据勾股定理可求长，即可求的直径．
【详解】（1）如图， 连接 ，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）如图， 过点 作， 垂足为
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
在 Rt 中，，
，
，
，
的直径是 10 ．
【点睛】本题考查切线的判定，勾股定理，垂径定理，角平分线的性质，矩形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．
24．(1)
(2)该商品售价定为每千克元时，每天的销售利润最大，最大销售利润是元
【分析】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，
（1）根据利润等于每千克的利润乘以销售量，即可求解；
（2）根据第（1）问中与的函数关系式即可求得利润最大值.
【详解】（1）解：由题意，得.
所以w关于x的函数解析式是.
（2）解：.
因为，所以w有最大值.
当时，w的值最大，为450.
答：该商品售价定为每千克35元时，每天的销售利润最大，最大销售利润是450元.
25．(1)；
(2)成立，理由见解析
(3)3
【分析】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理．
（1）由和是等腰直角三角形可得，，，从而根据线段的差得到，由得到；
（2）利用“”证明，得到，，延长交于点F，交于点G． 根据三角形的内角和定理可得，得到；
（3）将绕点C逆时针旋转到，连接．由旋转的性质，得，，，根据等腰可得，从而得到，根据勾股定理在中，求得，在中，求得．
【详解】（1）∵和是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，即．
∵，
∴
∵点D，E分别在，上，
∴．
故答案为：；
（2）成立．
证明：由旋转的性质，得．
∵和是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴，．
延长交于点F，交于点G．
∵，
∴．
（3）将绕点C逆时针旋转到，连接．

由旋转的性质，得，，，
，．
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴在中，．
26．(1)
(2)存在，
(3)点P的坐标为或
【分析】（1）把A，B两点坐标代入抛物线的解析式，构建方程组求出b，c的值即可；．
（2）点B是点A关于抛物线对称轴的对称点，在抛物线的对称轴上有一点M，要使的值最小，则点M就是与抛物线对称轴的交点，利用待定系数法求出直线的解析式，把抛物线对称轴代入即可得到点M的坐标；
（3）设，得，由两点间距离公式得，由列方程求解即可
【详解】（1）将分别代入，得
解得
所以抛物线的解析式为．
（2）存在．
因为点A，B关于对称轴对称，连接交对称轴于点M，此时的值最小，即的周长值最小．
令，得，所以．
设直线的函数解析式为．
将代入，得
解得
所以直线的函数解析式为．
因为抛物线的对称轴为，
当时，，
所以．
（3）因为轴于点Q，所以．
因为是等腰直角三角形，所以．
因为点P在抛物线上，所以设，则．
所以．
所以，即或．
整理，得或．
当时，解得或（舍去），此时；
当时，解得或（舍去），此时．
综上，点P的坐标为或
【点睛】本题主要考查利用运用待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质，二次函数的对称轴上点的坐标以及二次函数的性质，二次函数图象上的坐标特征等知识，解题的关键是利用待定系数法得到关于b、c的方程，解方程即可解决问题．