2024-2025学年上海市崇明区七年级（下）期末数学试卷(含解析)

这是一份2024-2025学年上海市崇明区七年级（下）期末数学试卷(含解析)，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）根据不等式的性质，下列变形正确的是
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
2．（3分）下列命题中原命题和逆命题都为真命题的是
A．全等三角形对应角相等B．等腰三角形的两个底角相等
C．直角三角形中有两个锐角D．对顶角相等
3．（3分）如图，已知等腰△的一腰长为4厘米，过底边上任意一点作、的平行线，分别交、于点、，则四边形的周长为
A．4厘米B．8厘米C．12厘米D．16厘米
4．（3分）将一副三角板按如图所示摆放在两条平行线内，若，则的度数为
A．B．C．D．
5．（3分）圆柱和圆锥的底面周长比是，体积比是，圆柱与圆锥高的比为
A．B．C．D．
6．（3分）下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线都分别交于一点；④平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到这条直线的距离．正确的有 个．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共12题，每题2分，共24分）
7．（2分）有4条线段的长度分别是，，和，选择其中能组成三角形的三条线段作三角形，则可作 个不同的三角形．
8．（2分）已知是关于的一元一次不等式，则这个不等式的解集是 ．
9．（2分）将含有的直角三角板在两条平行线中按如图摆放，若，则的度数是 ．
10．（2分）我们可以用图示所示方法过直线外的一点折出直线的平行线，①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平行于同一条直线的两条直线互相平行，以上判定能作为这种方法依据的有 ．
11．（2分）一个圆柱的侧面积是，高是，它的底面半径是 ．取
12．（2分）等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为 ．
13．（2分）如图，在△中，为钝角，，都是这个三角形的高，为的中点，，若，则的度数为 ．
14．（2分）如图，、分别是△的高和角平分线，若，，则 ．
15．（2分）如图，等边三角形的边长为6，、分别为、边上的点，，连接，将△绕点逆时针旋转得到△，连接，则 ．
16．（2分）如图，△是等边三角形，平分，点是边的中点，是线段上一点，若，则的最小值为 ．
17．（2分）如图，，点位于两平行线之间且在点、的右侧，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点，设的度数是，则的度数用表示为 ．
18．（2分）如图，已知，连接，．、分别是、的角平分线（点在平行线、之间），已知．与之间的关系式为 ．
三、解答题（本大题共7题，第19题6分，第20题8分，第21题6分，第22～23题7分，第24题10分，第25题14分，共58分）
19．（6分）解一元一次不等式组：．
20．（8分）如图，在△中，平分，交于点．
（1）尺规作图：作的垂直平分线，分别交，于点，，连接，；（不写作法，保留作图痕迹，写出结论）
（2）小川判断，，以下是他的证明思路，请帮他完善．证明：平分，
① ，
是的垂直平分线，
，② ，
，③ ，
，④ ，
，．
21．（6分）一个密闭玻璃容器是由一个圆柱和一个圆锥组成的，里面装有一些水（如图1，单位：厘米，玻璃的厚度忽略不计）．
（1）容器中水的体积是多少立方厘米？
（2）如果将这个容器倒过来（如图，从水面到圆锥顶点的高度是多少厘米？
22．（7分）如图，点、为线段上两点，于，于，连接、，，．
（1）如图1，求证：△△．
（2）如图2，设与相交于点，连接、并延长相交于点，请直接写出图中所有全等的三角形．
△△除外，均用图中给出的字母表示．
23．（7分）如图，△与△的顶点重合，，，，连接、，将△绕点旋转．
（1）如图1，和的关系为 ．
（2）如图2，将△绕点转动至如图2所示示位置时，探究（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
24．（10分）学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组进行如下探究：已知．
（1）如图1，若，求的度数．
（2）如图2，当点，在两条平行线之间，且、、、四点不在同一条直线上时．求证：．
（3）如图3，若，，，，直接写出的度数．
25．（14分）（1）如图1，在等腰直角△中，，，过点作直线，且有于点，于点，猜想、与之间满足的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，在等腰直角△中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为 ．
（3）如图3，，，，连接，，且于点，与直线交于点．若，，求△的面积．
参考答案
一、选择题（共6题，每题3分，共18分）
1．（3分）根据不等式的性质，下列变形正确的是
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
解：若，那么，则不符合题意，
若，那么，则不符合题意，
若，那么，则不符合题意，
若，则，则符合题意，
故选：．
2．（3分）下列命题中原命题和逆命题都为真命题的是
A．全等三角形对应角相等B．等腰三角形的两个底角相等
C．直角三角形中有两个锐角D．对顶角相等
解：、原命题正确，是真命题；其逆命题为对应角相等的三角形全等，错误，为假命题，故不符合题意；
、原命题正确，是真命题；其逆命题为两角相等的三角形是等腰三角形，正确，为真命题，符合题意；
、原命题正确，是真命题；其逆命题为有两个锐角的三角形是直角三角形，错误，为假命题，不符合题意；
、原命题正确，是真命题；其逆命题为相等的角为对顶角，错误，为假命题，不符合题意．
故选：．
3．（3分）如图，已知等腰△的一腰长为4厘米，过底边上任意一点作、的平行线，分别交、于点、，则四边形的周长为
A．4厘米B．8厘米C．12厘米D．16厘米
解：由条件可知，，
，，
，，
，，
，，
四边形的周长为．
故选：．
4．（3分）将一副三角板按如图所示摆放在两条平行线内，若，则的度数为
A．B．C．D．
解：如图，
由题意得：，，
，
，
，
，
．
故选：．
5．（3分）圆柱和圆锥的底面周长比是，体积比是，圆柱与圆锥高的比为
A．B．C．D．
解：圆柱和圆锥的底面周长的比是，
圆柱和圆锥的底面半径的比是，
设圆锥的底面半径为，体积为，圆柱的底面半径为，体积为，
则圆柱与圆锥高的比为．
故选：．
6．（3分）下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线都分别交于一点；④平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到这条直线的距离．正确的有 个．
A．1B．2C．3D．4
解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本小题说法错误；
②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确；
③三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线所在的直线都分别交于一点，故本小题说法错误；
④平面内，不重合的两条直线的位置关系有两种种：平行和相交，故本小题说法错误；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离，故本小题说法错误；
则正确的有1个，
故选：．
二、填空题（本大题共12题，每题2分，共24分）
7．（2分）有4条线段的长度分别是，，和，选择其中能组成三角形的三条线段作三角形，则可作 3 个不同的三角形．
解：（1）当取、，三条线段时，，，故能构成三角形；
（2）当取、、三条线段时，，故不能构成三角形；
（3）当取、、三条线段时，，，故能构成三角形；
（4）当取、、三条线段时，，，故能构成三角形．
故答案为：3．
8．（2分）已知是关于的一元一次不等式，则这个不等式的解集是 ．
解：由题意知，
解得，
所以不等式为，
解得，
故答案为：．
9．（2分）将含有的直角三角板在两条平行线中按如图摆放，若，则的度数是 ．
解：如图，
，
（两直线平行，同位角相等），
（对顶角相等），
的直角三角板，
，
，
所以的度数为，
故答案为：．
10．（2分）我们可以用图示所示方法过直线外的一点折出直线的平行线，①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平行于同一条直线的两条直线互相平行，以上判定能作为这种方法依据的有 ①②③ ．
解：如图，
根据题意，可得，，
①，
（同位角相等，两直线平行）；
②，
（内错角相等，两直线平行）；
③，
（同旁内角相等，两直线平行）；
④图形中没有与，都平行的直线，
故平行于同一条直线的两条直线互相平行，不能作为判定依据，
综上所述，作为判断依据是①②③．
故答案为：①②③．
11．（2分）一个圆柱的侧面积是，高是，它的底面半径是 2 ．取
解：底面周长：（分米）
底面半径为：（分米）
答：这个圆柱的底面半径是2分米．
故答案为：2．
12．（2分）等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为 或 ．
解：①如图，等腰三角形为锐角三角形，
，，
，
即顶角的度数为．
②如图，等腰三角形为钝角三角形，
，，
，
．
故答案为或．
13．（2分）如图，在△中，为钝角，，都是这个三角形的高，为的中点，，若，则的度数为 ．
解：由条件可知，
，
，
由条件可知，
由条件可知为的中点，
，
，，
，
，
故答案为：．
14．（2分）如图，、分别是△的高和角平分线，若，，则 ．
解：在△中，，，
，
平分，
．
是△的高，
，
，
．
故答案为：．
15．（2分）如图，等边三角形的边长为6，、分别为、边上的点，，连接，将△绕点逆时针旋转得到△，连接，则 ．
解：过点作于点，如图，
等边三角形的边长为6，，
，，
△为等边三角形，
，
△绕点逆时针旋转得到△，
，，
△为等边三角形，
，
，
过点作于点，如图，
，
，
，
点、点重合，
，
．
故答案为：．
16．（2分）如图，△是等边三角形，平分，点是边的中点，是线段上一点，若，则的最小值为 6 ．
解：连接，则，
，
即的最小值为，
等边△中，平分，点是边的中点，
，，，
，
△△，
，
即的最小值为6，
故答案为：6．
17．（2分）如图，，点位于两平行线之间且在点、的右侧，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点，设的度数是，则的度数用表示为 ．
解：如图，过点作，
，
，，
，
，
和的平分线交于点，
，
同理，，
，
，
．
的度数用表示为．
故答案为：．
18．（2分）如图，已知，连接，．、分别是、的角平分线（点在平行线、之间），已知．与之间的关系式为 ．
解：，
，
是的角平分线，
，
过点作，
，
，，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
即，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7题，第19题6分，第20题8分，第21题6分，第22～23题7分，第24题10分，第25题14分，共58分）
19．（6分）解一元一次不等式组：．
解：，
解不等式①得，
解不等式②得，，
不等式组的解集为．
20．（8分）如图，在△中，平分，交于点．
（1）尺规作图：作的垂直平分线，分别交，于点，，连接，；（不写作法，保留作图痕迹，写出结论）
（2）小川判断，，以下是他的证明思路，请帮他完善．证明：平分，
① ，
是的垂直平分线，
，② ，
，③ ，
，④ ，
，．
【解答】（1）解：如图，直线即为所求．
（2）证明：平分，
，
是的垂直平分线，
，，
，，
，，
，．
故答案为：①；②；③；④．
21．（6分）一个密闭玻璃容器是由一个圆柱和一个圆锥组成的，里面装有一些水（如图1，单位：厘米，玻璃的厚度忽略不计）．
（1）容器中水的体积是多少立方厘米？
（2）如果将这个容器倒过来（如图，从水面到圆锥顶点的高度是多少厘米？
解：（1）容器中水的体积：（立方厘米），
答：容器中水的体积是301.44立方厘米．
（2）圆柱的体积：（立方厘米），
圆锥的体积：（立方厘米），
所以图2中空白部分的体积为（立方厘米），
所以从水面到圆锥顶点的高度：（厘米），
答：从水面到圆锥顶点的高度是10厘米．
22．（7分）如图，点、为线段上两点，于，于，连接、，，．
（1）如图1，求证：△△．
（2）如图2，设与相交于点，连接、并延长相交于点，请直接写出图中所有全等的三角形．
△△除外，均用图中给出的字母表示．
【解答】（1）证明：，，
，
，
，
即，
在△和△中，
，
△△；
（2）解：△△，
，，
在△和△中，
，
△△；
，
在△和△中，
，
△△；
，
，
，
在△和△中，
，
△△；
在△和△中，
，
△△，
综上所述，图中全等的三角形为△△，△△，△△，△△．
23．（7分）如图，△与△的顶点重合，，，，连接、，将△绕点旋转．
（1）如图1，和的关系为 ， ．
（2）如图2，将△绕点转动至如图2所示示位置时，探究（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
解：（1）延长交于点，如图1，
在△和△中，
，
△△，
，，
，
，
，
综上所述，和的关系为，；
故答案为：，；
（2）（1）中的结论仍然成立．
证明如下：
、分别交于、，如图2，
，
，
即，
在△和△中，
，
△△，
，，
，
，
，
综上所述，和的关系为，．
24．（10分）学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组进行如下探究：已知．
（1）如图1，若，求的度数．
（2）如图2，当点，在两条平行线之间，且、、、四点不在同一条直线上时．求证：．
（3）如图3，若，，，，直接写出的度数．
【解答】（1）解：由条件可知，
，
，
；
（2）证明：过作，过点作．
由条件可知，
，，
，
即，
，
，
；
（3）解：由上结论知，，
，
由条件可知，
，
，
．
25．（14分）（1）如图1，在等腰直角△中，，，过点作直线，且有于点，于点，猜想、与之间满足的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，在等腰直角△中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为 6 ．
（3）如图3，，，，连接，，且于点，与直线交于点．若，，求△的面积．
解：（1）、与之间满足的数量关系是：，理由如下：
如图1所示：
在△中，，，
，
，，
，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
；
（2）如图2所示：
在△中，，，
，
，，
，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
；
（3）过点作于点，过点作于点，如图3所示：
设，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
同理证明：△△，
，，
，
，，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，
，
，
，
．