2024-2025学年上海市青浦区八年级（下）期末数学试卷(含解析)

这是一份2024-2025学年上海市青浦区八年级（下）期末数学试卷(含解析)，共22页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列函数中，函数值随的增大而减小的是
A．B．C．D．
2．（4分）下列方程中，有实数根的是
A．B．C．D．
3．（4分）如图，在梯形中，，过点作交于点，下列结论不正确的是
A．B．C．D．
4．（4分）下列事件属于必然事件的是
A．蜡烛在没有氧气的瓶中燃烧
B．任意选取两个非零实数，它们的积为正
C．10只鸟关在4个笼子里，至少有一个笼子关的鸟超过3只
D．从长度为、、、的4根小木条中，任取3根为边能拼成一个三角形
5．（4分）对于某个一次函数，根据下面两位同学的对话得出的结论，正确的是
A．B．C．D．
6．（4分）在四边形中，，、交于点，下列说法错误的是
A．如果，，那么四边形是矩形
B．如果，，那么四边形是矩形
C．如果，，那么四边形是菱形
D．如果，，那么四边形是菱形
二、填空题（本大题共12题，每小题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】
7．（4分）直线的截距是 ．
8．（4分）已知函数，如果函数值，那么的取值范围是 ．
9．（4分）一次函数，如果函数值随自变量的值增大而减小，那么的取值范围是 ．
10．（4分）关于的方程有无数解，则、满足的条件是 ．
11．（4分）方程的根是 ．
12．（4分）用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是 ．
13．（4分）化简： ．
14．（4分）已知点、、、分别为菱形四边、、、的中点，如果，，那么四边形的面积为 ．
15．（4分）在一个袋子中装有除颜色外其它完全相同的3个红球和2个白球，如果从中随机摸出两个球，那么摸到的两个球颜色相同的概率是 ．
16．（4分）一列火车到某站已经晚点6分钟，如果将速度每小时加快10千米，那么继续行驶20千米便可以在下一站正点到达．如果设列车原来行驶的速度为千米时，那么根据题意，列出的方程为 ．
17．（4分）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“阶方点”．例如：点是函数图象的“阶方点”；点是函数图象的“2阶方点”．如果关于的一次函数图象的“2阶方点”有且只有一个，那么的值为 ．
18．（4分）将平行四边形（如图）绕点旋转后，点落在边上，点的对应点为点，且点、、在一直线上．如果，，那么△的周长为 ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）解方程：．
20．（10分）解方程组：．
21．（10分）如图，在边长为2的正方形中，点为边的中点，点在边上，垂直平分线段，垂足为点，求的长．
22．（10分）某超市购入一批进价为20元盒的绿色食品进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（盒与销售单价（元是一次函数关系，如表是与的几组对应值．
（1）求关于的函数解析式；
（2）如果销售该绿色食品的日利润为400元，那么销售单价定为多少元？
23．（12分）已知：如图，在平行四边形中，点、分别是边、的中点，、与对角线分别相交于点、，联结、．
（1）求证：；
（2）当时，求证：四边形是菱形．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）将直线向上平移后与反比例函数在第一象限内的图象相交于点，且△的面积为18，求平移后的直线的表达式；
（3）在（2）的条件下，点是坐标平面内一点，当四边形是等腰梯形时，请直接写出点的坐标．
25．（14分）在矩形中，，，点、分别在边、上，．将△沿直线翻折得△，联结．
（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，当时，求△的面积；
（3）当△为等腰三角形时，求线段的长．
参考答案
一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.
1．（4分）下列函数中，函数值随的增大而减小的是
A．B．C．D．
解：、反比例函数中，，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小，不符合题意；
、一次函数中，，函数值随的增大而减小，符合题意；
、二次函数中，，函数值随的增大而增大，不符合题意；
、中，的值是不变的，不符合题意．
故选：．
2．（4分）下列方程中，有实数根的是
A．B．C．D．
解：由去分母得：，
经检验，是原方程的解，故符合题意；
根的判别式△，
无实数解，故不符合题意；
，
，
无实数解，故不符合题意；
，
，
无实数解，故不符合题意；
故选：．
3．（4分）如图，在梯形中，，过点作交于点，下列结论不正确的是
A．B．C．D．
解：如图，连接，，
，，
四边形是平行四边形，
又是对角线，
，故选项正确；
，
故选项正确；
四边形是平行四边形，
，
，
故选项正确；
由已知无法得出选项中结论，
故选项错误；
故选：．
4．（4分）下列事件属于必然事件的是
A．蜡烛在没有氧气的瓶中燃烧
B．任意选取两个非零实数，它们的积为正
C．10只鸟关在4个笼子里，至少有一个笼子关的鸟超过3只
D．从长度为、、、的4根小木条中，任取3根为边能拼成一个三角形
解：、蜡烛在没有氧气的瓶中燃烧是不可能事件，故该项不正确，不符合题意；
、任意选取两个非零实数，它们的积为正是随机事件，故该项不正确，不符合题意；
、10只鸟关在4个笼子里，至少有一个笼子关的鸟超过3只是随机事件，故该项不正确，不符合题意；
、从长度为、、、的4根小木条中，任取3根为边能拼成一个三角形是必然事件，故该项正确，符合题意；
故选：．
5．（4分）对于某个一次函数，根据下面两位同学的对话得出的结论，正确的是
A．B．C．D．
解：由两位同学的对话可知，一次函数的大致图象如图所示，
由函数图象可知，
随的增大而减小，
所以．
故选项不符合题意．
因为一次函数与轴交于负半轴，
所以，
所以．
故选项不符合题意．
当时，函数值小于零，
所以．
故选项符合题意．
将点代入一次函数解析式得，
，
所以．
故选项不符合题意．
故选：．
6．（4分）在四边形中，，、交于点，下列说法错误的是
A．如果，，那么四边形是矩形
B．如果，，那么四边形是矩形
C．如果，，那么四边形是菱形
D．如果，，那么四边形是菱形
解：、，，
，
，
，
，
四边形是矩形，不符合题意；
、，，，那么四边形不一定是矩形，也可以是等腰梯形，错误，符合题意；
、，，，那么四边形是菱形，正确，不符合题意；
、，，，那么四边形是菱形，正确，不符合题意．
故选：．
二、填空题（本大题共12题，每小题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】
7．（4分）直线的截距是 ．
解：当时，，
直线的截距是．
故答案为：．
8．（4分）已知函数，如果函数值，那么的取值范围是 ．
解：当时，，
解得：，
的取值范围是．
故答案为：．
9．（4分）一次函数，如果函数值随自变量的值增大而减小，那么的取值范围是 ．
解：一次函数，函数值随自变量的值增大而减小，
，
解得．
故答案为：．
10．（4分）关于的方程有无数解，则、满足的条件是 ．
解：当时，方程有唯一解；当，时，方程无解；当时，方程有无数解；
故关于的方程有无数解，则、满足的条件是；
故答案为：．
11．（4分）方程的根是 ．
解：两边平方得：，
，
解得或，
经检验，是原方程的解，是原方程的增根，
原方程的解为，
故答案为：．
12．（4分）用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是 ．
解：设，则，
原方程可变为：，
两边都乘以得，，
故答案为：．
13．（4分）化简： ．
解：．
故答案为：．
14．（4分）已知点、、、分别为菱形四边、、、的中点，如果，，那么四边形的面积为 ．
解：四边形是菱形，，，
，，，，
，，
，，
点、、、分别为菱形四边、、、的中点，
，，，，
四边形是平行四边形，，
，
四边形是矩形，
四边形的面积，
故答案为：．
15．（4分）在一个袋子中装有除颜色外其它完全相同的3个红球和2个白球，如果从中随机摸出两个球，那么摸到的两个球颜色相同的概率是 ．
解：画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中摸出的两个球颜色相同的结果有种，
随机摸出两个球，两个球颜色相同的概率为．
故答案为：．
16．（4分）一列火车到某站已经晚点6分钟，如果将速度每小时加快10千米，那么继续行驶20千米便可以在下一站正点到达．如果设列车原来行驶的速度为千米时，那么根据题意，列出的方程为 ．
解：设火车原来行驶的速度是千米小时，
根据题意得：，
故答案为：．
17．（4分）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“阶方点”．例如：点是函数图象的“阶方点”；点是函数图象的“2阶方点”．如果关于的一次函数图象的“2阶方点”有且只有一个，那么的值为 或 ．
解：，
函数经过定点，
在以为中心，边长为4的正方形中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，
由图可知，，，
一次函数图象的“2阶方点”有且只有一个，
当直线经过点时，，
解得，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，
当直线经过点时，，
解得，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，
综上所述：的值为或．
故答案为：或．
18．（4分）将平行四边形（如图）绕点旋转后，点落在边上，点的对应点为点，且点、、在一直线上．如果，，那么△的周长为 ．
解：如图，设的对应点为，过点作于点，
由题意可得：，，
点、、在一直线上，，，
，，
，
，
，
，，
，
，
△的周长为：，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）解方程：．
解：原方程去分母得：，
整理得：，
解得：或，
经检验，是分式方程的增根，
故原方程的解为．
20．（10分）解方程组：．
解：由②得：，
或，
或，
把代入①得：，
解得，
，
；
把代入①得：，
解得，
，
；
原方程组的解为，．
21．（10分）如图，在边长为2的正方形中，点为边的中点，点在边上，垂直平分线段，垂足为点，求的长．
解：连接，，如图所示：
四边形是正方形，且边长为2，
，，
点是的中点，
，
设，则，
垂直平分线段，
，
在△中，由勾股定理得：，
在△中，由勾股定理得：，
，
，
解得：，
．
22．（10分）某超市购入一批进价为20元盒的绿色食品进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（盒与销售单价（元是一次函数关系，如表是与的几组对应值．
（1）求关于的函数解析式；
（2）如果销售该绿色食品的日利润为400元，那么销售单价定为多少元？
解：（1）设关于的函数解析式为，
将，代入得：，
解得：，
关于的函数解析式为；
（2）根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：销售单价定为30或40元．
23．（12分）已知：如图，在平行四边形中，点、分别是边、的中点，、与对角线分别相交于点、，联结、．
（1）求证：；
（2）当时，求证：四边形是菱形．
【解答】证明：（1）四边形是平行四边形，
，，
点、分别是边、的中点，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，，
，
，
，
△△，
，
；
（2）连接，
由（1）知，，，
四边形是平行四边形，
点、分别是边、的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是菱形．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）将直线向上平移后与反比例函数在第一象限内的图象相交于点，且△的面积为18，求平移后的直线的表达式；
（3）在（2）的条件下，点是坐标平面内一点，当四边形是等腰梯形时，请直接写出点的坐标．
解：（1）由条件可得：，
解得，
所以，
把点坐标代入得：，
所以反比例函数关系式是；
（2）过点作轴，交线段于点，
设平移后的直线的解析式是，
点在直线上，在直线上，
可设，则，则
，
，
，
解得：，
平移后的直线的函数关系式是；
（3）如图：当，时，
联立解得：舍去），
当时，
点点的坐标为：，
设，
，，
，
解得或，
或；
当，时，
，，
直线的解析式是，
，
直线的解析式是，
设点，
，
解得：，（舍去，此时四边形是平行四边形），
；
综上，的坐标为或或．
25．（14分）在矩形中，，，点、分别在边、上，．将△沿直线翻折得△，联结．
（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，当时，求△的面积；
（3）当△为等腰三角形时，求线段的长．
【解答】（1）证明：四边形是矩形，
，
将△沿直线翻折得△，
，，，
又，，
，
，
，，
，
，
又，
△△，
，
；
（2）解：如图，过点作于点，
，，
，
又，，
△△，
，
由折叠可知，
同（1）可得△△，
，
；
（3）解：当△为等腰三角形时，分三种情况讨论，
①当时，如图，过点作于点，则四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
在上，
设，则，
折叠，
，
，
，
在△中，，
，
此方程无解，故此情形不存在；
②当时，设，则，
折叠，
，
在△中，，
即，
解得：；
③当时，过点作于点，
，
同（1）可得△△，
，
；
综上所述，当△为等腰三角形时，线段的长为或．
销售单价（元
22
24
26
28
30
日销售量（盒
56
52
48
44
40
销售单价（元
22
24
26
28
30
日销售量（盒
56
52
48
44
40