福建省（全国名校联盟）2026届高三上学期开学摸底联合考试数学试题（原卷版+解析版）

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本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟.
2025.8
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上和本试卷上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
3. 椭圆的焦距为（ ）
A. B. C. 2D.
4. 若函数是奇函数，则（ ）
A. -1B. 0C. 1D. 3
5. 若实数满足，则的最小值是（ ）
A. B. C. 4D. 6
6. 若函数为减函数，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 记锐角的内角的对边分别为，已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
8. 设抛物线的焦点为，点在上，则的周长的最小值为（ ）
A. 8B. 10C. 12D. 16
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
10. 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则下列结论正确的是（ ）
A. 最小正周期为
B.
C. 在区间上单调递减
D. 的图象关于点对称
11. 已知信道内传输0，1数字信号需经历多个节点，且每个节点的信号传输相互独立.当第号节点发送0时，第号节点收到1的概率为，收到0的概率为；当第号节点发送1时，第号节点收到0的概率为，收到1的概率为.设当基站（记为0号节点）依次发送信号1，0时，第号节点依次接收到的信号仍是1，0的概率为，则（ ）
A. 若，则
B 若，则
C. 若，则
D. 若，则
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 写出曲线过坐标原点的切线方程：______，______.
13. 记为公比大于1的等比数列的前项和，若，，则__________.
14. 英国数学家约翰•康威发现了有趣的“康威圆定理”，如图，设的内角的对边分别为，依次延长线段至，使得，，则六点共圆，并称此圆为的“康威圆”.已知某三角形的面积为，其一条边长为2，点在该三角形的“康威圆”上运动，若是该三角形内切圆的直径，则的最小值为__________.
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 某地同城闪送为了提高服务质量，进行了服务改进，并对服务进行评分.已知服务改进前某天共有1000个订单，其好评率为；服务改进后某天共有1500个订单，其中好评订单为1350个.
（1）已知某100个好评订单评分的极差为2，数据如下表所示（其中，是正整数）
求这100个好评订单的第40百分位数；
（2）根据服务改进前后的这两天的订单数据完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断订单获得好评与服务改进是否有关.
附：，
16. 已知等差数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，若，求的值.
17. 如图，在矩形中，，将沿翻折得到四棱锥，且二面角为直角.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的正弦值.
18. 已知双曲线右焦点为，离心率为2，圆与恰有两个交点.
（1）求的方程；
（2）设为的左顶点，过且斜率存在的直线交的右支于两点，直线分别交圆的另一点于.
（i）证明：三点共线；
（ii）设直线与直线交于，证明：点在定直线上.
19. 已知函数定义在上，记导函数为.
（1）求的单调区间与最小值；
（2）若，讨论函数的极值点个数；
（3）证明：当时，.
服务评分
8.5
9
9.5
10
订单数量
32
13
11
4
好评订单
非好评订单
合计
服务改进前
1000
服务改进后
1350
1500
合计
0.1
0.05
0.01
0.001
2.706
3841
6.635
10.828