2024-2025学年福建省漳州市平和广兆中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年福建省漳州市平和广兆中学高二（下）期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.函数y=csx的图象上一点(π3,12)处的切线的斜率为( )
A. − 32B. 32C. − 22D. −12
2.在空间直角坐标系O−xyz中，点(7, 2,1)关于平面Oyz的对称点是( )
A. (−7, 2,1)B. (7,− 2,−1)C. (7,1, 2)D. (−7,1, 2)
3.物体运动方程为S=14t4−3，则t=2时瞬时速度为( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
4.若函数f(x)=lnx+ax2−1在区间(1,2)上存在单调递减区间，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,−12)B. (−∞,−12]C. (−∞,−18)D. (−∞,−18]
5.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=1，BC=BB1=2为B1C1的中点，则异面直线BD与CE所成角的余弦值为( )
A. 510
B. 3434
C. 1326
D. 25
6.如图，在四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，点M是EG和FH的交点，对空间任意一点O都有OA+OB+OC+OD=kOM，则k=( )
A. 14
B. 12
C. 2
D. 4
7.直角坐标系xOy中直线3x+y=0上的横坐标分别为−2，1的两点A、B，沿x轴将坐标平面xOy折成大小为α的二面角，若折叠后A、B两点间的距离是6，则α的大小为( )
A. π3B. 2π3C. π6D. 5π6
8.函数f(x)=x3+(a−1)x2−x+b为R上的奇函数，过点P(−12,1)作曲线y=f(x)的切线，可作切线条数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 不确定
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在四面体ABCD中，E，F分别是BC，BD上的点，且BEEC=BFFD=2，则EF−AC+AD=( )
A. 43EFB. 52EFC. 89CDD. 53CD
10.如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数ℎ(t)=−4.9t2+6.5t+10的图象，根据图象判断以下说法正确的是( )
A. 曲线ℎ(t)在t1附近增加
B. 曲线ℎ(t)在t2附近减少
C. 曲线ℎ(t)在t1附近比在t2附近增加的缓慢
D. 曲线ℎ(t)在t2附近比在t1附近增加的缓慢
11.已知函数f(x)=13x3−x2−3x+1，下列说法正确的是( )
A. y=f(x)有两个极值点B. y=f(x)的极大值点为−1
C. y=f(x)的极小值为−9D. y=f(x)的最大值为103
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(−1,1,0)，b=(1,0,m)，且ka+b与a−2b平行，则k= ______．
13.请根据图中的函数图像，将下列数值按从小到大的顺序排列：______．
①曲线在点A处切线的斜率；
②曲线在点B处切线的斜率；
③曲线在点C处切线的斜率；
④割线AB的斜率；
⑤数值0；
⑥数值1．
14.已知函数f(x)=2x+a,x≤0xlnx,x>0若方程f(x)=m(m>0)有两个不同的实数根x1，x2，且|x1−x2|≤e，则实数a的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图所示，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，|AB|=|AD|=3，|AA1|=2，点M在A1C1上，|MC1|=2|A1M|，点N在D1C上且为D1C的中点，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A−xyz如图．
(1)求C1，D1的坐标；
(2)求线段MN的长度．
16.(本小题15分)
在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4，E在线段CC1上，且CE=14CC1．
求证：A1C⊥平面DBE．
17.(本小题15分)
(1)求曲线y=ex在点A(0,1)处的切线方程．
(2)利用(1)中的切线方程求e0.0001的近似值．
18.(本小题17分)
已知a>0，函数f(x)=xlna−alnx+(x−e)2，其中e是自然对数的底数．
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)当a=e时，求函数f(x)的单调区间．
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，△PBD为等边三角形，E为PC的中点，平面EBD⊥底面ABCD.求二面角A−DE−B的余弦值．
参考答案
1.A
2.A
3.D
4.C
5.D
6.D
7.A
8.A
9.BD
10.AD
11.AB
12.−12
13.③⑤②④⑥①
14.(0,e]
15.(1)由题意可知C(3,3,0)，D(0,3,0)，
因为|DD1|=|CC1|=|AA1|=2，
则C1(3,3,2)，D1(0,3,2)；
(2)因为N为CD1的中点，由(1)可得N(32,3,1)，
而M是A1C1上的靠近点A1的三等分点，所以M(1,1,2)，
可得|MN|= (32−1)2+(3−1)2+(1−2)2= 212．
16.证明：正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4，E在线段CC1上，且CE=14CC1，
在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，DA，DC，DD1两两垂直，
以DA,DC,DD1的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系D−xyz，如图，

则D(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,4)，B1(2,2,4)，E(0,2,1)，
DE=(0,2,1)，DB=(2,2,0)，A1C=(−2,2,−4)，
∴A1C⋅DE=4−4=0，A1C⋅DB=−4+4=0，
∴A1C⊥DE，A1C⊥DB，
而DE∩DB=B，DE，DB⊂平面DBE，
∴A1C⊥平面DBE．
17.(1)由题意，y′=ex，所以y′|x=0=e0=1，
所以切线的斜率k=1，
故曲线y=ex在点A(0,1)处的切线方程为y−1=1(x−0)，即x−y+1=0；
(2)当x=0.0001时，y=0.0001+1=1.0001，
所以e0.0001的近似值为1.0001；
18.解：(1)当a=1时，f(x)=−lnx+(x−e)2，
则f′(x)=−1x+2(x−e)，f′(1)=−1+2(1−e)=1−2e，
又f(1)=−ln1+(1−e)2=(1−e)2，
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−(1−e)2=(1−2e)(x−1)，即(1−2e)x−y+e2=0．
(2)当a=e时，f(x)=x−elnx+(x−e)2，
则f′(x)=1−ex+2(x−e)=2x2+(1−2e)x−ex=(2x+1)(x−e)x,(x>0)
令f′(x)>0，得x>e；令f′(x)