2024-2025学年河北省石家庄市晋州一中高一（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年河北省石家庄市晋州一中高一（下）期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x∈N|− 3≤x≤ 3}，则必有( )
A. 3∈AB. 0⊆AC. 0∈AD. 2∈A
2.已知a，b是非零平面向量，则“a⋅bb>0，则下列说法错误的是( )
A. 1a>1bB. |a|>|b|C. a2>b2D. b+1a+1>ba
5.已知∀x∈R，不等式(m2−4)x2−(m−2)x+1m+2>0恒成立，则实数m的取值范围是( )
A. m∈[2,6]B. m∈[2,6)∪{−2}
C. m=2D. m∈[2,6)
6.下列图象中，表示定义域、值域均为[0,1]的函数是( )
A. B.
C. D.
7.下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是( )
A. y= xB. y=−1xC. y=x3D. y=sinx
8.已知函数f(x)=(3a−1)x+4a,x0，请给出满足上述三个性质的一个函数为______．
14.一天，小明从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到书后以原速的54快步赶往学校，并在从家出发后23分钟到校(小明被爸爸追上时交流时间忽略不计).两人之间相距的路程y(米)与小明从家出发到学校的步行时间x(分钟)之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为______米．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合A={x|−2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m−1}．
(1)若A∪B=A，求实数m的取值范围；
(2)当A={x∈Z|−2≤x≤5}时，求A的非空真子集的个数；
(3)若A∩B=⌀，求实数m的取值范围．
16.(本小题15分)
已知幂函数f(x)=xα的图象过点(2,4)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若不等式t≤f(x)+2x对任意的x∈R恒成立，求实数t的取值范围．
17.(本小题15分)
已知x>0，y>0，且2x+8y−xy=0，求：
(1)xy的最小值；
(2)x+y的最小值．
18.(本小题17分)
对于定义域为I的函数，如果存在区间[m,n]⊆I，同时满足下列两个条件：
①f(x)在区间[m,n]上是单调的；
②当定义域是[m,n]时，f(x)的值域也是[m,n].则称[m,n]是函数y=f(x)的一个“黄金区间”．
(1)请证明：函数y=1−1x(x>0)不存在“黄金区间”．
(2)已知函数y=x2−4x+6在R上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”．
(3)如果[m,n]是函数y=(a2+a)x−1a2x(a≠0)的一个“黄金区间”，请求出n−m的最大值．
19.(本小题17分)
已知定义域为R的函数f(x)=b−2x2x+a是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)证明：f(x)在(−∞,+∞)上为减函数；
(3)若对于任意t∈[0,1]，不等式f(t2−2t)+f(2t2−k)2m−1，解得m2m−1，解得m5或m+1≤2m−12m−14，
综上，实数m的取值范围是(−∞,2)∪(4,+∞)．
16.解：(1)幂函数f(x)=xα的图象过点(2,4)．
则2a=4，解得α=2，
故f(x)=x2；
(2)由(1)可得∀x∈R，t≤x2+2x恒成立，∴t≤(x2+2x)min，
∴令g(x)=x2+2x=(x+1)2−1，
∴g(x)min=−1，∴t≤−1，
∴实数t的取值范围为(−∞,−1]．
17.解：(1)∵x>0，y>0，2x+8y−xy=0，
∴xy=2x+8y≥2 16xy，
∴ xy≥8，∴xy≥64.当且仅当x=4y=16时取等号，
故xy的最小值为64．
(2)由2x+8y=xy，得：2y+8x=1，
又x>0，y>0，
∴x+y=(x+y)⋅(2y+8x)=10+2xy+8yx≥10+2 2xy⋅8yx=18，
当且仅当x=2y=12时取等号，
故x+y的最小值为18．
18.(1)证明：由函数y=1−1x为(0,+∞)上的增函数，
则有f(m)=mf(n)=n，
所以1−1x=x，即x2−x+1=0，无解，
所以函数y=1−1x(x>0)不存在“黄金区间”．
(2)解：记[m,n]是函数y=x2−4x+6的一个“黄金区间”(m0，
则只要Δ=(a2+a)2−4a2>0，解得a1，
由韦达定理可得，m+n=a2+aa2=a+1a，mn=1a2>0，
所以n−m= (m+n)2−4mn= (a+1a)2−4a2= −3(1a−13)2+43，
其中a>1或a0，
∴f(x1)−f(x2)>0，
∴f(x)为R上的减函数．
(3)∵不等式f(t2−2t)+f(2t2−k)