2024-2025学年贵州省黔南州高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年贵州省黔南州高二（下）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若复数z满足z(1+i)=2，则|z|=( )
A. 1−iB. 2C. 1+iD. 2
2.已知集合A={x|−20)的上顶点为A，F1，F2分别为椭圆E的左、右焦点，若△AF1F2的面积为 3，且椭圆E的离心率为12，则椭圆E的标准方程为( )
A. x23+y24=1B. x28+y26=1C. x24+y23=1D. x26+y28=1
6.网上直播带货已成为电商主流模式之一，已知某一家网上官方旗舰店近五年“五一”黄金周期间的销售额如下表：
若y关于t的线性回归方程为y =12t+a ，则根据回归方程预测该店2026年“五一”黄金周的销售额是( )
A. 84万元B. 98万元C. 104万元D. 111万元
7.已知等比数列{an}，若a2，a6为方程x2+10x+12=0的两根，则a4的值为( )
A. −2 3B. ±2 3C. −5D. 6
8.已知O为坐标原点，抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，若抛物线C上一点(4,n)到其准线的距离为5，过点F且斜率为2的直线与抛物线C交于A，B两点，则△AOB的面积为( )
A. 2 5B. 5C. 2D. 1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若随机变量X～N(1,σ2)，P(X≥0)=0.8，则P(0≤X≤2)=0.6
B. 若两个变量线性相关，则相关系数r越大，线性相关程度越强
C. 若随机变量X的分布列为P(X=k)=C2kC42−kC62(k=0,1,2)，则E(X)=23
D. 若随机变量X～B(10,13)，随机变量Y=3X+2，则D(Y)=20
10.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|0且a≠1)，g(x)=xa(x>0)，若函数f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点，则实数a的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+3n，n∈N∗．
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)求数列{4anan+1}的前n项和Tn．
16.(本小题15分)
如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=2 2，M为棱DD1的中点．
(1)证明：AM⊥平面A1CD；
(2)求直线BD1与平面A1CD所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
端午节是中国传统节日之一，也是中华民族节日文化的重要组成部分.在这个节日中，粽子备受喜爱.粽子是用糯米和馅料包裹在竹叶中蒸煮成的食品，有着浓郁的文化内涵.由于地域饮食文化差异，南方与北方居民对粽子口味偏好(甜粽/咸粽)存在显著差异.为科学验证这种差异是否具有统计显著性，某研究机构用分层抽样的方法，从全国代表性的城市选取居民300人，记录其在端午节期间实际食用的粽子口味偏好(甜粽/咸粽)，并记录其居住地域(南方/北方).将调查数据整理如下表：
(1)完成2×2列联表，并根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析“居民地域(南方/北方)”与“粽子口味偏好(甜粽/咸粽)”是否有关；
(2)用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，现从南方居民中随机抽取3人，记X为其中偏好甜粽的人数，假设每个人的粽子口味偏好相互独立，求X的分布列、数学期望和方差．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．
18.(本小题17分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y= 3x，实轴长为4．
(1)求双曲线C的标准方程．
(2)若直线l：y=kx+m与双曲线C交于不同的两点A，B(点A，B均在第一象限，且点A在点B上方)，直线l与直线y=x交于点N，O为坐标原点，且∠AON=∠BON，设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2．
(i)判断k1⋅k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
(ii)若m=−1，求k的值．
19.(本小题17分)
物理学家牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法—牛顿法，具体做法如下：先在x轴找初始点(x1,0)，然后作y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线，切线与x轴交于点(x2,0)，再作y=f(x)在点(x2,f(x2))处的切线，切线与x轴交于点(x3,0)，再作y=f(x)在点(x3,f(x3))处的切线，以此类推，直到求得满足精度的方程f(x)=0的近似解xn(n≥2)为止.已知函数f(x)=x−lnx−2，在横坐标为x1的点处作f(x)的切线，切线与x轴交点的横坐标为x2，继续牛顿法的操作得到xn．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)设初始点为(2,0)，按上述算法，求方程x−lnx−2=0的一个近似根x2；(精确到0.01)
(3)若对任意xn∈(1,+∞)，xn+1>k恒成立，求整数k的最大值．
(参考值：ln2≈0.693)
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：∵z(1+i)=2，
∴|z|⋅ 12+12=2，
∴|z|= 2，
故选：B．
两边同时取模即可求出．
本题考查了复数模的问题，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：集合A={x|−20)的上顶点为A，F1，F2分别为椭圆E的左、右焦点，若△AF1F2的面积为 3，且椭圆E的离心率为12，
由题可得：△AF1F2的面积为bc= 3，离心率为ca=12．
又a2=b2+c2，a>b>0，
解得a=2，b= 3，
即椭圆E的标准方程为x24+y23=1．
故选：C．
利用面积、离心率建立a，b，c之间的等量关系，再结合a2=b2+c2进行求解即可．
本题主要考查椭圆的性质应用，考查计算能力，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：根据题意可知，t−=3，y−=75，
又线性回归方程为y =12t+a 必过点(t−,y−)，所以75=12×3+a ，解得a =39，
所以y =12t+39，2026年的年份代号为6，所以当t=6时，y =12×6+39=111，
所以根据回归方程预测该店2026年“五一”黄金周的销售额是111万元．
故选：D．
由题意求得样本中心，从而求得回归直线方程，代入数据，可得答案．
本题考查了经验回归方程，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：因为等比数列{an}，a2，a6为方程x2+10x+12=0的两根，
所以a2+a6=−100，
故a4=±2 3，
又a2，a6同为负数，由等比数列的性质可知，等比数列的隔项同号，
所以a4=−2 3．
故选：A．
由韦达定理可得a2a6，a2+a6，根据等比中项可求a4，注意符号的判定．
本题主要考查等比数列的性质应用，考查计算能力，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：因为抛物线C上一点(4,n)到其准线的距离为5，
所以p2+4=5，
解得p=2，
所以F(1,0)，
因为kAB=2，
所以直线AB的方程为y=2(x−1)，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立y=2(x−1)y2=4x，消去x并整理得y2−2y−4=0，
由韦达定理得y1+y2=2，y1y2=−4，
又|OF|=1，
所以S△AOB=12×|OF|×|y1−y2|=12×1× (y1+y2)2−4y1y2=12×1× 22−4×(−4)= 5．
故选：B．
根据抛物线C上一点(4,n)到其准线的距离为5，求出抛物线的方程，设直线AB：y=2(x−1)，联立抛物线方程求出|y1−y2|，利用分割的思想，转化为同底OF的两个三角形面积之和即可求解．
本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
9.【答案】ACD
【解析】解：对于A：因为X∼N(1,σ2)，且P(X≥0)=0.8，结合P(X≥1)=0.5，
所以P(0≤X≤2)=2[P(X≥0)−P(X≥1)]=0.6，A正确；
对于B：线性相关系数|r|越接近于1，两变量的线性相关性越强，
反之，线性相关性越弱，B错误；
对于C：因为随机变量X满足P(X=k)=C2kC42−kC62，k=0，1，2，X服从超几何分布，
且N=6，M=2，n=2，则E(X)=nMN=23，C正确；
对于D：因为随机变量X∼B(10,13)，
故D(X)=10×13×23=209，
D(Y)=D(3X+2)=9D(X)=9×209=20，故D正确．
故选：ACD．
对A，根据正态分布的性质计算；对B，根据相关系数概念理解；对C，利用数学期望的公式计算；对D，根据二项分布的方差公式计算．
本题考查了常见的二项分布、超几何分布以及正态分布等，以及概率和期望的计算等，属于中档题．
10.【答案】BC
【解析】解：由题意得f(0)=sinφ= 32，结合|φ|π3，解得0