北京市丰台区2024-2025学年高三下学期一模数学试题（含答案解析）

这是一份北京市丰台区2024-2025学年高三下学期一模数学试题（含答案解析），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分)
1. 已知集合，，则（ ）
2. 在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则（ ）
3. 展开式中的常数项为（ ）
4. 已知，，则下列不等式恒成立的是（ ）
5. 已知抛物线C：的焦点为F，点M在C上.若M的横坐标为1，且，则p的值为（ ）
6. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
7. 已知是公差不为0的等差数列，其前n项和为，则“，”是“”的（ ）
8. 在平行四边形中，E为边上的动点，O为外接圆的圆心，，且，则的最大值为（ ）
9. 图1是出土于陕西西安的金筐宝钿团花纹金杯.它杯口外侈，器壁内弧，腹部内收，圈足外撇，肩部有“6”字形把手.金杯采用复杂的金筐宝钿工艺，器腹以如意云头纹分割，内焊团花，边缘排满小金珠，是唐代金银器精品.图2是某校陶艺社团的同学仿照金筐宝钿团花纹金杯制作的一只团花纹陶艺杯，其主体部分（忽略杯底部分）外轮廓可近似看作双曲线C的一部分.经测量，该陶艺杯主体部分上底直径（即杯口直径）约，下底直径约，腹部最细处直径约，主体部分高约，则下列各数中与双曲线C的离心率最接近的是（ ）（参考数据：，）

10. 如图，正方体的棱长为2，为的中点，为线段上的动点，给出下列四个结论：
①存在唯一的点，使得，，，四点共面；
②的最小值为；
③存在点，使得；
④有且仅有一个点，使得平面截正方体所得截面的面积为.
其中所有正确结论的个数为（ ）
二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分)
11. 已知直线与圆有且仅有一个公共点，则______.
12. 已知函数，当时，______；若在上单调递增，则实数a的取值范围是______.
13. 已知，，是公比不为1的等比数列，将，，调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组，，的值依次为______.
14. 已知函数的部分图象如图所示，其中M，N是直线与曲线的两个相邻交点.若，则______，______.
15. 已知函数.给出下列四个结论：
①当时，在区间上单调递增；
②对任意实数a，都没有最小值；
③当时，设的零点从大到小依次为，，，，则对任意正整数i，都有；
④对任意实数a，m，存在实数，当时，恒有.
其中所有正确结论的序号为______.
三、解答题(本大题共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分)
16. 在中，．
(1)求；
(2)若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求a．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
17. 如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，.

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
18. 京广高速铁路是世界上运营里程最长的高速铁路之一，也是中国客运量最大、运输最为繁忙的高速铁路之一.某日从北京西到广州南的部分G字头高铁车次情况如下表：
注：以下高铁车次均能准点到达
(1)某乘客从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，求这趟列车的运行时长不超过10小时的概率；
(2)甲、乙、丙3人分别从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，其中甲必须上午出发，乙必须下午出发，丙的出发时间没有限制，且甲、乙、丙3人的选择互不影响.
（i）记随机变量X为甲、乙、丙选取的列车中运行时长不超过10小时的个数，求X的分布列和数学期望；
（ii）甲、乙、丙3人中，谁选取的列车运行时长最短的概率最大？（结论不要求证明）
19. 已知椭圆，以的两个焦点与短轴的一个端点为顶点的三角形是等腰直角三角形，且面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于不同的两点.过作直线的垂线，垂足为.求证：直线过定点.
20. 已知函数，直线l是曲线在点处的切线.
(1)当，（为自然对数的底数）时，求l的方程；
(2)若存在l经过点，求实数a的取值范围；
(3)当时，设点，，B为l与y轴的交点，表示的面积.求的最小值.
21. 已知无穷递增数列各项均为正整数，记数列为数列的自身子数列.
(1)若，写出数列的自身子数列的前4项；
(2)证明：；
(3)若数列与是公差分别为，的等差数列.
（i）证明：；
（ii）当，时，求数列的通项公式.
北京市丰台区2024-2025学年高三下学期一模数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、不等式选讲、复数、计数原理与概率统计、等式与不等式、函数与导数、平面解析几何、空间向量与立体几何、数列、平面向量、三角函数与解三角形
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．
B．
C．
D．
A．5
B．
C．3
D．
A．160
B．60
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．1
C．2
D．4
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．3
B．4
C．6
D．8
A．
B．2
C．
D．3
A．1
B．2
C．3
D．4
题型
数量
单选题
10
填空题
5
解答题
6
难度
题数
容易
1
较易
4
适中
12
较难
2
困难
2
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
补集的概念及运算；公式法解绝对值不等式
2
0.65
求复数的模；复数代数形式的乘法运算
3
0.85
求指定项的系数
4
0.65
由不等式的性质比较数（式）大小；比较指数幂的大小；由已知条件判断所给不等式是否正确
5
0.94
抛物线的焦半径公式
6
0.65
线面关系有关命题的判断；空间位置关系的向量证明
7
0.65
求等差数列前n项和；二次函数法求等差数列前n项和的最值；判断命题的充分不必要条件
8
0.65
向量加法法则的几何应用；用基底表示向量；向量加法的法则；数量积的运算律
9
0.65
根据双曲线过的点求标准方程；求双曲线的离心率或离心率的取值范围；根据a、b、c求双曲线的标准方程
10
0.4
判断正方体的截面形状；空间中的点（线）共面问题；证明线面垂直
二、填空题
11
0.85
求点到直线的距离；由直线与圆的位置关系求参数
12
0.85
求分段函数解析式或求函数的值；由函数在区间上的单调性求参数；根据分段函数的单调性求参数
13
0.65
等差中项的应用；写出等比数列的通项公式；等比数列通项公式的基本量计算
14
0.65
由图象确定正（余）弦型函数解析式；三角函数图象的综合应用
15
0.15
用导数判断或证明已知函数的单调性；函数单调性、极值与最值的综合应用
三、解答题
16
0.65
正弦定理解三角形；三角形面积公式及其应用；用和、差角的正弦公式化简、求值；余弦定理解三角形
17
0.65
证明线面垂直；线面角的向量求法；面面垂直证线面垂直
18
0.65
计算古典概型问题的概率；求离散型随机变量的均值；写出简单离散型随机变量分布列；独立事件的乘法公式
19
0.4
椭圆中的直线过定点问题；根据韦达定理求参数；根据a、b、c求椭圆标准方程
20
0.65
由导数求函数的最值（不含参）；利用导数研究函数的零点；求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
21
0.15
数列新定义；数列不等式恒成立问题；利用定义求等差数列通项公式
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,7
2
不等式选讲
1
3
复数
2
4
计数原理与概率统计
3,18
5
等式与不等式
4
6
函数与导数
4,12,15,20
7
平面解析几何
5,9,11,19
8
空间向量与立体几何
6,10,17
9
数列
7,13,21
10
平面向量
8
11
三角函数与解三角形
14,16