北京市石景山区2025届高三下一模考试数学试题（含答案解析）

这是一份北京市石景山区2025届高三下一模考试数学试题（含答案解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分)
1. 已知全集，集合，则（ ）
2. 在复平面内，复数对应的点坐标为，则实数（ ）
3. 在的二项展开式中,x的系数为( )
4. 在中，若，则（ ）
5. 已知x，，且，则（ ）
6. 已知抛物线的焦点为，点在上，若，则（ ）
7. 等比数列中，，设甲：，乙：，则甲是乙的（ ）
8. 经研究表明，糖块的溶解过程可以用指数型函数（a，k为常数）来描述，其中S（单位：克）代表t分钟末未溶解糖块的质量．现将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，在第5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克，则（ ）
9. 已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段中点，则的最小值为（ ）
10. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点（不包含端点），给出下列三个命题：
①对任意点Q，都有；
②存在点Q，使得平面；
③过点Q且与垂直的平面截正方体所得截面面积的最大值为．
其中正确的命题个数是（ ）
二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分)
11. 若，则___________.
12. 如图，角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为，则的值为______
13. 设，，，则______．
14. 已知双曲线，若，则双曲线的渐近线方程为______；若双曲线上存在四个点A，B，C，D使得四边形为正方形，则m的一个取值为______．
15. 高斯取整函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，．有如下四个结论：
①若，则；
②函数与函数无公共点；
③；
④所有满足的点组成区域的面积为．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题(本大题共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分)
16. 已知函数（其中，，）．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选出两个作为已知，使得函数唯一确定．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在上的最大值和最小值．
条件①：；
条件②：是的对称中心；
条件③：可以由函数平移得到．
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答．按第一个解答计分．
17. 某市在高中阶段举办“环保知识竞赛”，全体高中生参与了此次活动．现从参赛学生中随机抽取了男、女各30名学生，将他们的成绩（单位：分）按，，，，五个分数段进行分组，统计如下：
(1)在抽取的60名学生中，从成绩在80分及以上的学生中随机抽取2人，求恰好男、女生各1人，且2人分数段不同的概率；
(2)从该市参赛的男生中随机抽取4人，设成绩在80分及以上的人数为X，用频率估计概率，求X的分布列和数学期望；
(3)试确定a，b的值，使得抽取的女生成绩方差最小．（结论不要求证明）
18. 如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，N为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)点M在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点M到平面的距离．
19. 已知椭圆过点，短轴长为4．
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与椭圆交于不同的两点，．设直线与直线相交于点．试问点是否在某定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．
20. 已知函数．
(1)若，
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）证明：函数在区间上有且只有一个零点．
(2)若实数使得对恒成立，求的取值范围．
21. 已知有穷数列：，，…，经过一次M变换后得到数列：，，…，，．
其中，表示a，b中的最小者．记数列A的所有项之和为．
(1)若：1，3，2，4，写出数列并求；
(2)若：，，…，是1，2，3，…，n的一个排列，例如，当时，4，1，3，2可以为1，2，3，4的一个排列．
（i）当时，求的最小值；
（ii）若经过一次M变换后得到数列，求的最小值．
北京市石景山区2025届高三一模考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、复数、计数原理与概率统计、三角函数与解三角形、函数与导数、平面解析几何、数列、空间向量与立体几何、平面向量
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．
B．
C．
D．
A．1
B．
C．2
D．
A．10
B．-10
C．40
D．-40
A．
B．
C．1
D．2
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．
B．
C．
D．
A．1
B．2
C．3
D．4
A．0
B．1
C．2
D．3
成绩
男生人数
3
6
11
8
2
女生人数
a
b
12
4
2
题型
数量
单选题
10
填空题
5
解答题
6
难度
题数
容易
1
较易
9
适中
7
较难
4
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
补集的概念及运算
2
0.85
复数的除法运算；根据复数对应坐标的特点求参数
3
0.85
求指定项的系数
4
0.85
正弦定理解三角形
5
0.85
比较余弦值的大小；比较对数式的大小；比较指数幂的大小
6
0.85
根据抛物线方程求焦点或准线；抛物线的焦半径公式；抛物线定义的理解
7
0.65
充要条件的证明；等比数列通项公式的基本量计算
8
0.85
利用给定函数模型解决实际问题；指数式与对数式的互化
9
0.65
圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）；圆的弦长与中点弦；求点到直线的距离
10
0.4
由平面的基本性质作截面图形；空间位置关系的向量证明
二、填空题
11
0.94
求分段函数解析式或求函数的值；指数幂的运算；对数的运算
12
0.85
由终边或终边上的点求三角函数值；诱导公式五、六
13
0.85
垂直关系的向量表示；坐标计算向量的模
14
0.65
已知方程求双曲线的渐近线
15
0.4
求函数值；函数新定义
三、解答题
16
0.65
求含sinx(型)函数的值域和最值；由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）；相位变换及解析式特征
17
0.65
计算古典概型问题的概率；用方差、标准差说明数据的波动程度；写出简单离散型随机变量分布列；二项分布的均值
18
0.65
证明线面平行；已知线面角求其他量；面面角的向量求法；点到平面距离的向量求法
19
0.65
根据a、b、c求椭圆标准方程；椭圆中的定直线
20
0.4
利用导数研究不等式恒成立问题；利用导数研究函数的零点；求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；由导数求函数的最值（不含参）
21
0.4
数列新定义
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,7
2
复数
2
3
计数原理与概率统计
3,17
4
三角函数与解三角形
4,5,12,16
5
函数与导数
5,8,11,15,20
6
平面解析几何
6,9,14,19
7
数列
7,21
8
空间向量与立体几何
10,18
9
平面向量
13