北京市石景山区2025年高考数学一模试卷（含解析）

这是一份北京市石景山区2025年高考数学一模试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知全集U={−2,−1,0,1,2,3}，集合A={x∈Z|x2≤2}，则∁UA=( )
A. {−1,0,1}B. {−2,2,3}C. {−2,−1,2}D. {−2,0,3}
2.在复平面内，复数z=i−ai对应的点坐标为(1,−2)，则实数a=( )
A. 1B. −1C. 2D. −2
3.在(2x2−1x)5的二项展开式中，x的系数为( )
A. −10B. 10C. −40D. 40
4.在△ABC中，若asinB− 3sinA=0，则b=( )
A. 3B. 2 3C. 1D. 2
5.已知x，y∈R，且x>y>0，则( )
A. 1x−1y>0B. 2x−2y>0C. csx−csy02x+12,x≤0，则f(9)+f(−1)= ______．
12.如图，角α以Ox为始边，它的终边与单位圆O相交于点P，且点P的横坐标为35，则sin(π2+α)= ______．
13.设AB=(1,1),|AC|= 5,AB⋅BC=0，则|BC|= ______．
14.已知双曲线x2−my2=1，若m=1，则双曲线的渐近线方程为______；若双曲线上存在四个点A，B，C，D使得四边形ABCD为正方形，则m的一个取值为______．
15.高斯取整函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如，[−3.5]=−4，[2.1]=2.有如下四个结论：
①若x∈(0,1)，则f(−x)+12=−(f(x)+12)；
②函数f(x)=[x]与函数ℎ(x)=x−1无公共点；
③k=123f(−k7)+k=123f(k7)=−23；
④所有满足f(m)=f(n)(m,n∈[0,103])的点(m,n)组成区域的面积为289．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|b>0)过点(2, 2)，短轴长为4．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)椭圆C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线l：y=kx+4与椭圆C交于不同的两点M，N.设直线AN与直线BM相交于点G.试问点G是否在某定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．
20.(本小题15分)
已知函数f(x)=aln(x+1)+csx(a∈R)．
(Ⅰ)若a=1，
(i)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(ⅱ)证明：函数f(x)在区间(−1,0)上有且只有一个零点．
(Ⅱ)若实数a使得f(x)≤2ex−1对x∈[0,π]恒成立，求a的取值范围．
21.(本小题15分)
已知有穷数列A0：a1，a2，⋯，an(n≥3)经过一次M变换后得到数列
A1：min{a1,a2}，min{a2,a3}，…，min{an−1,an}，min{an,a1}，
其中，min{a,b}表示a，b中的最小者.记数列A的所有项之和为S(A)．
(Ⅰ)若A0：1，3，2，4，写出数列A1并求S(A1)；
(Ⅱ)若A0：a1，a2，⋯，an(n≥3)是1，2，3，…，n的一个排列，例如，当n=4时，4，1，3，2可以为1，2，3，4的一个排列．
(i)当n=5时，求S(A1)的最小值；
(ⅱ)若A1经过一次M变换后得到数列A2，求S(A2)的最小值．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：由x2≤2，得− 2≤x≤ 2，
∵x∈Z，∴A={−1,0,1}，
∵全集U={−2,−1,0,1,2,3}，
∴∁UA={−2,2,3}．
故选：B．
先用列举法表示集合A，再求补集即可．
本题考查补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：z=i−ai=(−a+i)(−i)−i2=1+ai，
则复数z在复平面内对应的点为(1,a)，
又复数z在复平面内对应的点坐标为(1,−2)，
∴a=−2．
故选：D．
根据复数代数形式的除法运算化简z，再根据复数的几何意义判断即可．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得x的系数．
【解答】
解：在(2x2−1x)5的二项展开式的通项公式为Tr+1=C5r⋅25−r⋅x10−2r⋅(−1)r⋅(x)−r=(−1)r⋅C5r⋅25−r⋅x10−3r．
令10−3r=1，可得r=3，故x的系数为(−1)3⋅25−3⋅C53=−40，
故选：C．
4.【答案】A
【解析】解：由已知得，asinB= 3sinA，
由正弦定理asinA=bsinB，所以asinB=bsinA，
所以bsinA= 3sinA，又A∈(0,π)，所以sinA>0，所以b= 3．
故选：A．
利用正弦定理计算可得．
本题主要考查利用正弦定理解三角形，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：对于A，因为x>y>0，所以1x0，y=2x在R上递增，所以2x>2y，即2x−2y>0，故B正确；
对于C，因为x>y>0，而余弦函数s=cst在(0,+∞)上不单调，
如cs2π−csπ=1−(−1)=2>0，故C错误；
对于D，因为x>y>0，由于当x>y>1时，恒有lnx>0，lny>0，故D错误．
故选：B．
利用反比例函数，指数函数，对数函数，余弦函数的性质判断即可．
本题主要考查函数的单调性的应用，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：抛物线C：y2=8x的准线方程为x=−2，
又点M(x0,y0)在C上且|MF|>4，
则|MF|=x0+2>4，
所以x0>2，
即x0∈(2,+∞)，故选项A错误，选项C正确；
又y02=8x0，
所以y02∈(16,+∞)，
所以y0∈(4,+∞)∪(−∞,−4)，故选项B、D错误．
故选：C．
首先求出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义求出x0的取值范围．
本题考查抛物线的定义与方程的应用，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：若a6=8，设公比为q，
根据等比数列通项公式a6=a2q6−2，即8=2q4，解得q4=4，则q2=2．
又因为a4=a2q4−2=a2q2=4，所以由a6=8能推出a4=4，必要性成立；
已知等比数列{an}中a2=2，若a4=4，则a4=a2q4−2，即4=2q2，解得q2=2，
再根据通项公式求a6=a4q6−4=a4q2=8，所以由a4=4能推出a6=8，充分性成立．
综上，所以甲是乙的充要条件．
故选：C．
根据等比数列的通项公式求出a4与a6的关系，再根据充分条件和必要条件的定义判断甲是乙的什么条件．
判断充分性时，看由甲能否推出乙；判断必要性时，看由乙能否推出甲．
本题主要考查等比数列的通项以及充分必要条件的判断，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：由题意可得当t=0时，S=ae0=a=7，
当t=5时，S=7e−5k=3.5=72，
则e−5k=12，
两边取自然对数，得−5k=ln12=−ln2，
即k=ln25．
故选：A．
根据题设函数，代入数据计算即可．
本题考查了函数在生活中的实际运用，考查了指数与对数的互化，属于基础题．
9.【答案】B
【解析】解：因为圆的方程为x2+y2−2y−3=0，
所以x2+(y−1)2=4，
所以圆心坐标为C(0,1)，半径r=2．
因为点Q为线段MN的中点，根据垂径定理可知CQ⊥MN，
已知|MN|=2 3，则12|MN|= 3．
在Rt△CQM中，|CQ|= r2−(12|MN|)2= 22−( 3)2=1．
所以点Q的轨迹是以C(0,1)为圆心，1为半径的圆．
已知点P在直线 3x−y−5=0上，可得圆心C(0,1)到直线 3x−y−5=0的距离为：
d=| 3×0−1−5| ( 3)2+(−1)2=3．
因为点Q的轨迹是以C(0,1)为圆心，1为半径的圆，
所以|PQ|的最小值等于圆心C到直线的距离d减去圆C的半径1，即3−1=2．
故选：B．
将圆的方程化为标准方程，从而得到圆心坐标和半径，再根据弦长求出圆心到弦MN的距离，进而确定点Q的轨迹，最后根据点到直线的距离公式求出|PQ|的最小值．
本题考查直线与圆的方程的应用，属于中档题．
10.【答案】C
【解析】解：如图，
以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则P(0,1,2)，M(2,0,1)，N(0,2,1)，
B(2,2,0)，A(2,0,0)，B1(2,2,2)，
设Q(a,0,2)，因为Q是线段D1A1上的动点(不包含端点)，所以00)，
其渐近线方程为y=± 1mx，
要使双曲线上存在四个点A，B，C，D满足四边形ABCD是正方形，
根据正方形的对称性可得正方形的对称中心在原点，且在第一象限内的顶点横纵坐标相等，
则 1m>1，解得0