北京市门头沟区2024-2025学年高三下学期3月一模数学试题（含答案解析）

这是一份北京市门头沟区2024-2025学年高三下学期3月一模数学试题（含答案解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分)
1. 已知集合，，则（ ）
2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）
3. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（ ）
4. “”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ）
5. 已知向量，满足，，且，的夹角为，则（ ）
6. 已知圆，直线，当变化时，若过直线上任意一点总能作圆的切线，则的最大值为（ ）
7. 已知函数，满足，且在区间上具有单调性，则的值可以是（ ）
8. 某纪念塔的一部分建筑结构可抽象为三棱锥，，底面是等腰直角三角形，，顶点到底面的距离为3，则点到平面的距离为（ ）
9. 已知函数，若既不存在最大值也不存在最小值，则下列，关系中一定成立的是（ ）
10. 已知函数，其中表示不超过的最大整数，例如，，则下列说法正确的是（ ）
二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分)
11. 的展开式中的系数为______________.（用数字作答）
12. 已知抛物线的焦点为，过点且垂直于其对称轴的直线交于点，，若，则焦点到其准线的距离为_________________.
13. 在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边与单位圆交点的横坐标为，写出一个符合题意的_______________.
14. 某城市为推动新能源汽车普及，第1年在市区公共区域建设了2万个新能源汽车充电桩，随着新能源汽车保有量快速增长，以及城市对绿色出行基础设施建设的持续投入，每年新建设的充电桩数量比上一年增加20%，按照这样的发展趋势，那么该城市第3年在市区公共区域新建设了_____________万个充电桩；从第1年起，约_____________年内，可使该城市市区公共区域的充电桩总量达到30万个（结果保留到个位）.
（参考数据：，）
15. 已知数列满足，，给出下列四个结论：
①存在，使得为常数列；
②对任意的，为递增数列；
③对任意的，既不是等差数列也不是等比数列；
④对于任意的，都有.
其中所有正确结论的序号是_______________.
三、解答题(本大题共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分)
16. 如图，在正方体中，为中点，与平面交于点.
(1)求证：为的中点；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求；
(2)再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积.
条件①：，；
条件②：，；
条件③：边上的高，.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
18. 不同AI大模型各有千秋，适配领域也各有所长.为了解某高校甲、乙两个学院学生对两款不同AI大模型是否使用，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：
假设所有学生对，两款大模型是否使用相互独立，用频率估计概率，
(1)分别估计该校甲学院学生使用款大模型的概率、该校乙学院学生使用款大模型的概率；
(2)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，乙学院全体学生中随机抽取1人，记这3人中使用款大模型的人数为，估计的数学期望；
(3)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，从该校乙学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，比较与的大小，（结论不要求证明）.
19. 已知椭圆的一个顶点为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点，，点关于轴的对称点为，求证：四边形为菱形.
20. 已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)设，讨论函数的单调性；
(3)若在定义域上单调递减，求的取值范围.
21. 已知有限数列，其中，.在中选取若干项按照一定次序排列得到的数列称为的一个子列，对某一给定正整数，若对任意的，均存在的相应子列，使得该子列的各项之和为，则称具有性质.
(1)判断：，，，，，，是否具有性质？说明理由；
(2)若，是否存在具有性质？若存在，写出一个，若不存在，说明理由；
(3)若，且存在具有性质，求的取值范围.
北京市门头沟区2024-2025学年高三下学期3月一模数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、复数、函数与导数、平面解析几何、平面向量、三角函数与解三角形、空间向量与立体几何、计数原理与概率统计、数列
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．
B．
C．5
D．10
A．0
B．
C．1
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．不存在，使得有无数个零点
B．有3个零点的充要条件是
C．存在，使得有4个零点
D．存在，使得有5个零点
甲学院
乙学院
使用
不使用
使用
不使用
款
40人
80人
60人
20人
款
70人
50人
30人
50人
题型
数量
单选题
10
填空题
5
解答题
6
难度
题数
容易
2
较易
6
适中
10
较难
3
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
并集的概念及运算；解不含参数的一元二次不等式
2
0.65
复数的除法运算；根据复数的坐标写出对应的复数
3
0.85
函数奇偶性的定义与判断；根据解析式直接判断函数的单调性
4
0.65
充要条件的证明；根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围；讨论双曲线与直线的位置关系
5
0.85
已知数量积求模；向量模的坐标表示；数量积的运算律
6
0.85
由直线与圆的位置关系求参数；求点到直线的距离
7
0.85
利用正弦函数的对称性求参数
8
0.65
锥体体积的有关计算；求点面距离
9
0.65
分段函数的性质及应用；由正弦（型）函数的值域（最值）求参数
10
0.4
根据函数零点的个数求参数范围
二、填空题
11
0.65
分步乘法计数原理及简单应用；求指定项的系数
12
0.94
根据抛物线方程求焦点或准线
13
0.85
根据图形写出角（范围）；由三角函数值求终边上的点或参数
14
0.65
等比数列的简单应用；求等比数列前n项和
15
0.65
由递推数列研究数列的有关性质；由定义判定等比数列；判断等差数列
三、解答题
16
0.85
面面角的向量求法；线面平行的性质；证明线面平行
17
0.4
正弦定理解三角形；正弦定理边角互化的应用；余弦定理解三角形
18
0.65
求离散型随机变量的均值；二项分布的方差；计算古典概型问题的概率
19
0.65
根据离心率求椭圆的标准方程；椭圆中的定值问题；根据椭圆过的点求标准方程；根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围
20
0.65
由函数在区间上的单调性求参数；函数单调性、极值与最值的综合应用；求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；利用导数求函数（含参）的单调区间
21
0.4
集合新定义；数列新定义
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,4,21
2
等式与不等式
1
3
复数
2
4
函数与导数
3,9,10,20
5
平面解析几何
4,6,12,19
6
平面向量
5
7
三角函数与解三角形
7,9,13,17
8
空间向量与立体几何
8,16
9
计数原理与概率统计
11,18
10
数列
14,15,21