湖南省长沙市第一中学2025届高三下学期高考模拟考试（二）数学试题（含答案解析）

这是一份湖南省长沙市第一中学2025届高三下学期高考模拟考试（二）数学试题（含答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分)
1. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现点数为偶数的概率为（ ）
2. 已知等比数列的各项均为正数且公比大于1，前项积为，且，则使得的的最小值为（ ）
3. 已知角的终边在射线上，则（ ）
4. 已知集合，则（ ）
5. 若函数至少有一个零点，则的取值范围为（ ）
6. 函数的部分图象大致是（ ）
7. 将函数图象上的所有点经过平移和伸缩变换得到函数的图象，若点被变换成了点，且，则的所有可能值之和为（ ）
8. 已知正四棱锥的棱长均为2，下列说法不正确的是（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 已知双曲线和，其中，且，则（ ）
10. 如图所示，棱长为3的正方体中，P为线段上的动点(不含端点)，则下列结论正确的是（ ）
11. 已知，则（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 若等差数列满足，，则__________．
13. 记内角对边分别为.已知，则______.
14. 对于任意的不等式且恒成立，则的取值范围是_____________．
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 11 分，共 55 分)
15. 某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示：
并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：
单位：人
(1)求出样本相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关（当时，即可认为线性相关）；
(2)依据的独立性检验，分析村民的性别与参与管理的意愿是否有关；
(3)以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为，求的分布列及数学期望.
参考公式：，其中.
临界值表：
参考数据：.
16. 如图，在直三棱柱中，．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
17. 已知函数．
(1)求的图象在点处的切线方程；
(2)求函数的极值；
(3)证明：对任意的，有；
18. 如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是一个椭圆的长轴和短轴，则称它们为“共轴”曲线．若双曲线与椭圆是“共轴”曲线，且椭圆，（、分别为曲线、的离心率）．已知点，点为双曲线上任意一点．
(1)求双曲线的方程；
(2)延长线段到点，且，若点Q在椭圆上，试求点P的坐标；
(3)若点P在双曲线的右支上，点A、B分别为双曲线的左、右顶点，直线交双曲线的左支于点R，直线、的斜率分别为、．是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19. 如图，曲线下有一系列正三角形，设第个正三角（为坐标原点）的边长为，
(1)求的值；
(2)记为数列的前项和，探究与的关系，求的通项公式；
(3)是否存在正实数，使得不等式对一切正整数都成？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
湖南省长沙市第一中学2025届高三下学期高考模拟考试（二）数学试题
整体难度：适中
考试范围：计数原理与概率统计、数列、三角函数与解三角形、集合与常用逻辑用语、等式与不等式、函数与导数、空间向量与立体几何、平面解析几何
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．平面与平面夹角的正弦值为
B．若点满足，则的最小值为
C．在四棱锥内部有一个可任意转动的正方体，则该正方体表面积最大值为
D．点在平面内，且，则点轨迹的长度为
A．与有相同的实轴
B．与有相同的焦距
C．与有相同的渐近线
D．与有相同的离心率
A．
B．与所成的角可能是
C．是定值
D．当时，点到平面的距离为2
A．
B．
C．
D．
土地使用面积亩
1
2
3
4
5
管理时间月
8
10
13
25
24
愿意参与管理
不愿意参与管理
合计
男性村民
150
50
女性村民
50
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
8
适中
7
较难
3
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
计算古典概型问题的概率
2
0.85
由定义判定等比数列；等比数列下标和性质及应用；求等差数列前n项和
3
0.65
由终边或终边上的点求三角函数值；已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
4
0.85
交集的概念及运算；补集的概念及运算；解不含参数的一元二次不等式
5
0.85
根据函数零点的个数求参数范围；指数函数图像应用
6
0.65
函数图像的识别；函数奇偶性的定义与判断；求函数的零点
7
0.65
求图象变化前（后）的解析式；已知三角函数值求角
8
0.65
多面体与球体内切外接问题；立体几何中的轨迹问题；求点面距离；求二面角
二、多选题
9
0.85
已知方程求双曲线的渐近线；求双曲线的离心率或离心率的取值范围；求双曲线的焦距；求双曲线的实轴、虚轴
10
0.65
异面直线夹角的向量求法；点到平面距离的向量求法；空间向量的坐标运算；空间位置关系的向量证明
11
0.65
由已知条件判断所给不等式是否正确
三、填空题
12
0.85
等差数列通项公式的基本量计算；利用等差数列的性质计算
13
0.85
余弦定理解三角形；诱导公式二、三、四
14
0.4
由导数求函数的最值（不含参）；利用导数研究不等式恒成立问题
四、解答题
15
0.85
卡方的计算；二项分布的均值；相关系数的计算
16
0.85
证明线面垂直；线面角的向量求法
17
0.65
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；利用导数研究不等式恒成立问题；求已知函数的极值
18
0.4
根据离心率求双曲线的标准方程；求直线与双曲线的交点坐标；双曲线中的定值问题
19
0.4
利用an与sn关系求通项或项；数列不等式恒成立问题；判断或写出数列中的项
序号
知识点
对应题号
1
计数原理与概率统计
1,15
2
数列
2,12,19
3
三角函数与解三角形
3,7,13
4
集合与常用逻辑用语
4
5
等式与不等式
4,11
6
函数与导数
5,6,14,17
7
空间向量与立体几何
8,10,16
8
平面解析几何
8,9,18