湖南省长沙市第一中学2025届高三下学期模拟（二）数学试题（含答案解析）

这是一份湖南省长沙市第一中学2025届高三下学期模拟（二）数学试题（含答案解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
2. 若，则的虚部为（ ）
3. 平面上的三个力，，作用于同一点，且处于平衡状态.已知，，，则（ ）
4. 国际学生评估项目测试是世界经济合作与发展组织对各国中学生阅读、数学、科学能力评价测试．从年开始，每年进行一次测试评估．在评估研究时将测试成绩按一定规则转换成等级赋分，赋分范围是至分，如图是年的某地中学生参加阅读测试后用赋分数据绘制成的不完整频率分布直方图．根据图中数据，下面说法正确的是（ ）
5. 六名同学排成一排照相，则其中甲､乙､丙三人两两不相邻，且甲和丁相邻的概率为（ ）
6. 已知，且，则（ ）
7. 已知函数 ，若，则实数的取值范围（ ）
8. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 已知函数，则（ ）
10. 已知A，B，C是抛物线上不同的动点，F为抛物线W的焦点，直线l为抛物线W的准线，AB的中点为，则（ ）
11. 已知函数是其导函数.若存在且，满足，则（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 已知数列.的前项和为，且.若，则______.
13. 某校象棋社团开展竞赛活动，比赛中双方有一人获胜或者双方和棋则比赛结束.根据以往比赛结果，在一局比赛中，甲战胜乙的概率是，两人和棋的概率是，则乙战胜甲的概率是______；甲乙两人比赛2局，每局胜方记3分，负方记0分，和棋双方各记1分，则甲得分不少于2分的概率是______.
14. 已知正四面体的棱长为，动点P满足，用所有这样的点P构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为________.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 在中，内角的对边分别为，且满足.
(1)求；
(2)若为边上一点（异于端点），，求的取值范围.
16. 一个不透明的盒子中装有规格完全相同的3个小球，标号分别为，现采用有放回的方式摸球两次，每次摸出1个小球，记第一次摸到的小球号码为，第二次摸到的小球号码为.
(1)记“”为事件，求；
(2)完成两次摸球后，再将与前面3个球规格相同的4号球和5号球放入盒中，并进行第三次摸球，且将第三次摸到的小球号码记为，号码中出现偶数的个数记为，求的分布列及数学期望.
17. 已知圆为坐标原点，过上任意一点作圆的切线.
(1)若与椭圆相交于两点，证明：；
(2)若与椭圆相交于两点，恒有，判断是否过定点？请说明理由.
18. 已知函数．
(1)当时，求的单调性；
(2)若函数在处取得极小值，求实数的取值范围．
19. 已知四面体.
(1)若该四面体为正四面体，球与其四个面都相切，证明：该四面体与球的体积之比等于它们的表面积之比；
(2)设点是满足，过点的平面分别与直线，，交于点，，，且，，，证明：；
(3)若空间内一点满足（，，，均为实数，且全不为0），证明：.
湖南省长沙市第一中学2025届高三下学期模拟（二）数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、复数、平面向量、计数原理与概率统计、三角函数与解三角形、函数与导数、平面解析几何、数列、空间向量与立体几何
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．1
C．
D．i
A．
B．1
C．
D．2
A．该地学生成绩的中位数一定大于
B．该地学生成绩的平均数一定小于
C．该地学生成绩的极差介于至之间
D．该地学生成绩没有超过分的学生所占比例为
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．函数的最大值为1
B．函数的最小值为1
C．函数的最大值为1
D．函数的最小值为1
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．在上单调递减
D．在上有2个零点
A．当时，的最大值为32
B．当时，的最小值为22
C．当时，直线AB的斜率为
D．当时，点P到直线l的距离的最小值为14
A．
B．
C．
D．
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
较易
7
适中
9
较难
3
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
根据集合的包含关系求参数；解不含参数的一元二次不等式
2
0.85
复数代数形式的乘法运算；根据相等条件求参数；求复数的实部与虚部；复数的乘方
3
0.65
数量积的坐标表示；坐标计算向量的模
4
0.65
由频率分布直方图估计中位数；由频率分布直方图估计平均数；补全频率分布直方图；计算几个数据的极差、方差、标准差
5
0.65
相邻问题的排列问题；不相邻排列问题；计算古典概型问题的概率
6
0.85
三角函数的化简、求值——诱导公式；二倍角的余弦公式；已知正（余）弦求余（正）弦；已知弦（切）求切（弦）
7
0.65
根据指数型函数图象判断参数的范围；画出具体函数图象
8
0.85
函数与导函数图象之间的关系；由导数求函数的最值（不含参）；用导数判断或证明已知函数的单调性；求已知函数的极值
二、多选题
9
0.85
求sinx型三角函数的单调性；求函数零点或方程根的个数；求正弦（型）函数的最小正周期；求正弦（型）函数的对称轴及对称中心
10
0.4
抛物线定义的理解；抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值；与抛物线焦点弦有关的几何性质；根据韦达定理求参数
11
0.65
利用导数证明不等式；比较函数值的大小关系；用导数判断或证明已知函数的单调性；基本不等式的恒成立问题
三、填空题
12
0.85
利用等差数列的性质计算；求等差数列前n项和；等差数列前n项和的基本量计算
13
0.85
相互独立事件与互斥事件；独立事件的乘法公式
14
0.4
求空间两点的中点坐标；空间距离公式的应用
四、解答题
15
0.65
正弦定理解三角形；余弦定理解三角形；由正切（型）函数的值域（最值）求参数；正弦定理边角互化的应用
16
0.65
计算古典概型问题的概率；写出简单离散型随机变量分布列；组合数的计算；求离散型随机变量的均值
17
0.65
根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围；根据韦达定理求参数
18
0.65
函数单调性、极值与最值的综合应用；含参分类讨论求函数的单调区间；利用导数求函数的单调区间（不含参）；根据极值点求参数
19
0.4
多面体与球体内切外接问题；空间共面向量定理的推论及应用；锥体体积的有关计算；球的表面积的有关计算
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1
2
等式与不等式
1,11
3
复数
2
4
平面向量
3
5
计数原理与概率统计
4,5,13,16
6
三角函数与解三角形
6,9,15
7
函数与导数
7,8,9,11,18
8
平面解析几何
10,17
9
数列
12
10
空间向量与立体几何
14,19