山西省运城市2024_2025学年高二数学下学期期末考试含解析

这是一份山西省运城市2024_2025学年高二数学下学期期末考试含解析，共17页。试卷主要包含了答题时使用0，保持卡面清洁，不折叠，不破损， 在的展开式中，含项的系数为， 命题p， 已知函数， 下列命题为真命题的是等内容，欢迎下载使用。
本试题满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上.
注意事项：
1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.
2.答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.
4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则集合元素个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【详解】，.
故选：C.
2. 随机变量.若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】因为，且，
则，
所以.
故选：D.
3. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】由，定义域为，
而，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故A错误；
当时，，，则，故BC错误，
当时，，，则，D符合题意.
故选：D.
4. 设函数，则（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【详解】由题意，所以.
故选：B.
5. 在的展开式中，含项的系数为（ ）
A. B. C. 0D. 2
【答案】C
【详解】因为，
展开式的通项公式，，
所以的展开式中含的项为.
故选：C.
6. 已知函数定义域是R，且是偶函数，对任意，，且，都有成立，且，则的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【详解】因为对任意，，且，都有成立，
所以函数在上单调递增，
又是偶函数，则函数关于直线对称，
则函数在上单调递减，结合，
画出函数的大致图象：

由图象可知，时，；时，；时，，
所以的解集是.
故选：A.
7. 命题p：幂函数在上单调递减.命题q：当时，恒成立.若p，q均为真命题，则p是q的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】命题p：幂函数在上单调递减，
则，即；
命题q：当时，恒成立，
因为，
当且仅当，即时等号成立，则.
所以p是q的充分不必要条件.
故选：A.
8. 已知函数（e为自然对数的底数），则函数的零点个数为（ ）
A 5B. 6C. 7D. 8.
【答案】B
【详解】设，由，得，
作出，的图象，如图所示：
由图可知，与有3个交点，
设这3个交点的横坐标从小到大依次为，且，
结合图象可知，有1个解，有3个解，有2个解，
因此有6个解，即函数的零点个数为6.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C 若，则D. 若，则
【答案】BD
【详解】对于A，，此时无意义，
对于B，若，则，即，故B正确；
对于C，若，则，故C错误；
对于D，若，则，故D正确.
故选：BD.
10. 从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活.其中旱涝频繁发生、世界性与区域性温度的异常给蝗灾发生创造了机会.已知蝗虫的产卵量y与温度x的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设，通过实验得到部分数据及其变换后的一组数据如下表：
由上表可得经验回归方程，则（ ）
A.
B. 模型中
C. 计算得，则在温度时，产卵量y的残差为44.89
D. 当时，蝗虫的产卵量y大约为
【答案】ACD
【详解】对于A，由表格数据知：，，
因为数对满足，得，故A正确；
对于B，，即，∴，∴，故B错误；
对于C，在温度时，，残差为，故C正确；
对于D，当时，蝗虫的产卵量y大约为，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知定义在R上的偶函数和奇函数满足，则（ ）
A. 的图象关于直线对称B. 是以4周期的周期函数
C. 的图象关于点对称D.
【答案】BC
【详解】对于C，由得，
因为为奇函数，所以，故，
①＋②，得，
所以的图象关于点对称，且，故C正确；
对于D， 因为是偶函数，所以，
所以，故，
所以的周期为4，
在中，令，得，
所以，
结合的周期性得，，，
所以，故D错误；
对于A，①－②，得，
所以
，
所以的图象关于对称，而不是关于直线对称，故A错误；
对于B，由得，
因为是奇函数，所以，
所以是以4为周期的周期函数，故B正确.
故选：BC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为______.
【答案】
【详解】由题意，解得.
故答案为：.
13. 若函数是偶函数，则______.
【答案】##0.5
【详解】由题意，函数是偶函数，可得，
即，
可得，解得.
故答案为：.
14. 已知函数，，，若存在实数，对任意的实数，使得成立，则实数a的取值范围为______.
【答案】
【详解】设在时的值域为，，在时的值域为，
由题意总满足，
显然在上单调递增，，
所以，又，
所以对任意的实数，恒成立，
而显然当时，有，
故只需考虑当时，恒成立，
显然当时，满足，
所以当时，恒成立，
所以时，恒成立，
所以时，恒成立，
所以时，恒成立，
所以，
因为在上单调递增，所以在上单调递增，
所以时，，
时，，等号成立当且仅当，而，
所以时，，
故所求为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设命题，使得不等式恒成立；命题使得不等式成立.
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）①写出命题q的否定；
②若命题q为假命题，求实数x的取值范围.
【答案】（1）
（2）①，不等式成立；②
【小问1详解】
若p为真命题，即，使得不等式成立，
则对于，即可.
由于函数在区间上单调递增，
所以时，，则.
【小问2详解】
①q的否定为：，不等式成立
②若q为假命题，则“，不等式成立”为真命题，
那么对于，即可.
由于，，
∴，解得
16. 随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融入我们的日常生活.在教育领域，AI的赋能潜力巨大.目前，比较常用的PPT生成工具有：夸克，豆包，kimi，迅捷PPT.某校为丰富老师的教学，组织成立四个项目小组分别研究这四大工具的使用优点和缺点，学校计划采取自愿报名的形式录取各项目组成员，由于报名人数超过项目组计划数，将从报名的老师中采用随机抽取的方法确定最终成员.下表记录了四个组的计划人数和报名人数.
张老师报名参加这四个组，记为他最终被录取的项目组个数，已知张老师至少获得一个项目组录用的概率为，获得4个项目组录用的概率为.
（1）求；
（2）求a的值及张老师最终被录取的项目组个数的数学期望.
【答案】（1）
（2），2.3
【小问1详解】
解法1：由于事件“张老师至少获得一个项目组录用”与事件“”是对立的，
所以张老师没有获得项目组录用的概率是
；
解法2：依题意知，；
∴；
【小问2详解】
解法1：设张老师被夸克，豆包，kimi，迅捷PPT各项目组录用依次记作事件A，B，C，D.由题意可知，；
又，解得，
的所有可能取值为0，1，2，3，4；
则
，
，
，
所以的分布列为：
.
解法2：设张老师被夸克，豆包，kimi，迅捷PPT各项目组录用依次记作事件A，B，C，D.由题意可知，
；
又，解得，
设张老师报名夸克，豆包，kimi这3个项目组，最终被录取的项目组个数X，由于其被录取的概率均为，所以X服从二项分布，故；
张老师被迅捷PPT项目组录取的概率为，最终被迅捷PPT项目组录取的数为Y，则Y也服从二项分布，，
从而，
故.
17. 定义在R上的奇函数有最小正周期为4，且满足，当时，.
（1）求在上的解析式；
（2）若方程在上有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
当时，，则，
因为为奇函数，则；
因为为R上的奇函数，则，
由己知得，
则，
又因为函数有最小正周期4 所以；
【小问2详解】
设，，且，
则，
因，则，，
则，即，则在上单调递增，
则；
利用奇函数性质可得，在上也单调递增，且，
画出图象如图所示，
由图象可知，
或或时，与的图象有交点，
即方程在上有解，故.
18. 2025年被称为中国“体重管理年”，国家卫生健康委员会联合多部门发布了《2025年全民健康体重管理行动计划》，旨在通过政策引导、科学宣教和社区支持，帮助民众树立进健康生活方式，实现长期体重管理.结合健康中国建设工作实际和健康中国行动推进情况，决定将健康体重管理行动、健康乡村建设行动和中医药健康促进行动纳入健康中国行动，助力公众摆脱肥胖困扰，迈向健康生活.为了解居民体育锻炼情况，某区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表.
（1）若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据所给数据填写下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联；
（2）从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为X，Y，取随机变量，求的值；
（3）已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为，，.求小明星期天选择跑步的概率.
参考公式：，.
附：
【答案】（1）表格见解析，认为体育锻炼频率的高低与年龄有关
（2）
（3）
【小问1详解】
由题得列联表如下：
零假设：体育锻炼频率的高低与年龄无关，
，
根据小概率值的独立性检验推断不成立，
即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.
【小问2详解】
由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在，内的人数分别为1，2，
依题意，的所有可能情况为，；，；，，
；；；
所以.
【小问3详解】
记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球，分别为事件A，B，C，
星期天选择跑步为事件D，则，，，
，，，
所以
所以小明星期天选择跑步的概率为.
19. 经研究，函数为奇函数的充要条件是函数图象的对称中心为点，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数；由得函数关于点成中心对称图形的充要条件是.
（1）已知函数，且，求的值；
（2）证明：函数图象的对称中心为；
（3）求函数的对称中心及的值.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）对称中心为，
【小问1详解】
令，易知其定义域为R，关于原点对称，
又，所以为奇函数，
则函数的图象关于点对称，
则，则，
又，所以.
【小问2详解】
因为，
令，则，
易知的定义域为R，定义域关于原点对称，
又，所以为奇函数，
则函数图象的对称中心为.
【小问3详解】
设的对称中心为，
由已知得满足，
即 ，则，
整理得：，
所以：，解得：，，
即的对称中心为，
所以，
得：，x
20
23
25
27
30
y
7.39
11.02
20.09
20.09
99.48
z
2
2.4
3
3
4.6
项目组
夸克
豆包
kimi
迅捷PPT
计划人数
50
60
80
160
报名人数
a
120
160
200
0
1
2
3
4
P
年龄
次数
每周0~2次
70
55
36
59
每周3~4次
25
40
44
31
每周5次及以上
5
5
20
10
青年
中年
合计
体育锻炼频率低
体育锻炼频率高
合计
0.10
005
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
青年
中年
合计
体育锻炼频率低
125
95
220
体育锻炼频率高
75
105
180
合计
200
200
400