河南省天立教育2026届高三上学期开学考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份河南省天立教育2026届高三上学期开学考试数学试卷（Word版附解析），共16页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（ ）
A. 6种B. 12种C. 36种D. 72种
【答案】B
【详解】因为香菌、新笋、豆腐干一起下锅，把它们捆绑在一起，看作一个元素，
此时共有5个元素，其中鸡汤最后下锅，放在最后一个位置，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，
定序问题用倍缩法，共有种不同的排列方式.
故选：B.
2. 已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都为a，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】因空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都为a，则，
，即，
因E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则有，即有，，
而，则，，
所以等于.
故选：D
3. 《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长四尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.意思是：今有蒲第一天长高四尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的两倍.请问第几天，莞的长度是蒲的长度的4倍（ ）
A. 4天B. 5天C. 6天D. 7天
【答案】B
【详解】由题意，蒲第一天长高四尺，以后蒲每天长高前一天的一半，所以蒲生长构成首项为，公比为的等比数列，其前项和为，
又由莞第一天长高一尺，每天长高前一天的两倍，则莞生长构成首项为，公比为的等比数列，其前项和为，
又因为，即，解得.
故选：B.
4. 已知圆，圆，若圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】圆的方程可化为，则圆心为，半径；
圆的方程可化为，则圆心为，半径．
圆与圆有公共点，
，
即，
解得．
故选：C
5. 已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，过作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为P，且与双曲线C的左支交于点Q，若存在非零实数使得（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】因为存在非零实数使得，所以，O是的中点，所以Q为的中点，
因为，所以点到渐近线，即的距离，
又，所以，
，则由双曲线的定义可知，
在中，由余弦定理，得，
整理，得，
所以双曲线的离心率为.
故选：A
6. 已知，函数恒成立，则的最大值为（ ）
A. 2B. 3C. 6D. 7
【答案】D
【详解】当为正偶数时，当时，，不合题意，所以为正奇数，
则当时，恒成立，只需研究时，恒成立即可，
当时，成立，则当时，，因为此时，所以恒成立.
当时，恒成立，
设，则，
令，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，又因为为正奇数，
所以的最大值为7.
故选：D
7. 已知抛物线的焦点为F，F到直线的距离为，P点的横坐标为，线段PF与抛物线交于点M，则以下正确的是（ ）
A. B. ，，成等差数列
C. 存在M点使得是等边三角形D. 存在M点使得是等腰直角三角形
【答案】B
【详解】A：F的坐标为，因为F到直线的距离为，
所以，所以，所以A不正确；
B：设点在轴上方，则直线PF斜率为，
所以直线PF方程为，所以点，
所以，由选项A可知，，
所以，则，
所以，即，
所以，，成等差数列，故B正确；
C：若存在M点使得是等边三角形，
则边长为1，且M点的横坐标，纵坐标为，此，
所以不可能是等边三角形，故C错误：
D：若存在M点使得是等腰直角三角形，
则必有，故D错误.
故选：B
8. 已知的展开式中，第3项的系数与倒数第3项的系数之比为，则展开式中二项式系数最大的项为第（ ）项.
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【详解】的展开式通项为，
第3项为，其系数为，
倒数第3项为，其系数为，
由题意，，所以，
所以展开式中二项式系数最大的项为，即为展开式的第4项.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在三棱柱中，，，的中点为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【详解】对于A，由题意得，可知A正确；
对于B，，即B错误；
对于C，，即C正确；
对于D，易知
，即D正确.
故选：ACD
10. 如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间，设事件为奇数，事件，事件，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】ABC
【详解】由题意可知：，
可得.
对于选项A：因为，则，
所以，故A正确；
对于选项B：因为，则，
可得，
所以，故B正确；
对于选项C：因为，所以，故C正确；
对于选项D：因为，所以，故D错误；
故选：ABC.
11. 下列数列中，为递增数列的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【详解】对于A.，所以，
所以为递增数列，故A正确；
对于B，，所以为递减数列，故B错误；
对于C，因为，则，，所以不单调，故C错误；
对于D，，所以，所以为递增数列，故D正确.
故选：AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，其中是关于的多项式，则______；若，则除以81的余数为______．
【答案】 ①. 18 ②. 32
【详解】因为
所以，所以，，所以．
若，即，则，
所以
故所求的余数为32．
故答案为：18,32
13. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆的左、右焦点分别为、，若从的右焦点发出的光线经过上的点和点反射后，满足，且，则的离心率为______.
【答案】##
【详解】由题意，可作图如下：
则，，
即，
可设，，，
由，则，即，
，在中，，
则.
故答案为：.
14. 设是无穷等差数列前项和，，，则的最大值为____________．
【答案】30
【详解】在等差数列中，，则，而，
于是，公差，因此，
由，得，显然数列是递减等差数列，前6项都是非负数，从第7项起为负数，
所以的最大值为.
故答案为：30
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在四棱锥中，是等边三角形，底面为等腰梯形，，，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）若为的中点，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【小问1详解】
因为是等边三角形，所以.
如图，延长交于点，连接，
因为底面为等腰梯形，所以，
所以，故，
因为，，，
所以为的中位线，所以，
在中，，利用余弦定理可得，可得，
所以，所以，
同理可得.
又平面，，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
【小问2详解】
由（1）知以为坐标原点，以与线段的中点所在直线为轴，过且平行于的直线为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，.
设平面的法向量为，
则由得，解得，
取，则，
设平面的法向量为，
则由得，取，则.
则，
易知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.
16. 已知，分别为双曲线（，）的左､右焦点，点是双曲线上一点.若第一象限的点，是双曲线上不同的两点，且.
（1）求的离心率；
（2）设，分别是的左､右顶点，证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【小问1详解】
由题意知，即，（双曲线的定义）所以.
将代入双曲线的方程得，解得，
所以，故的离心率.
【小问2详解】
由（1）可知双曲线的方程为，，.
不妨设点在的上方，，.
则，，（点拨：直线斜率等于其倾斜角的正切值）
又，，所以，，
则
.（两角差的正切公式的应用）
又，，
所以
，所以
又，，所以.
17. 已知函数既存在极大值又存在极小值，求实数a的取值范围.
【答案】
【详解】解：由可得，
∵既存在极大值又存在极小值，
∴方程在区间上有两个不相等的实数根，
需满足，
解得，
故所求实数a的取值范围为.
18. 已知函数．
（1）求证：在区间上，函数的图象恒在函数的图象的下方;
（2）若存在，，使成立，求满足上述条件的最大整数m．
【答案】（1）证明见解析；（2）4．
【详解】（1）设，
则，
在区间上，，，
所以当时，，单调递减，
且，
故时，，
所以，
所以在区间上函数的图象恒在函数的图象的下方．
（2）由，得，
当时，，
所以，
．
存在，，使成立等价于，
即，
，
故满足条件的最大整数为4．
19. 已知二项式，其中，且此二项式的项的系数是．
（1）求实数a的值；
（2）求的值（结果可保留幂的形式）．
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
解：（1）二项式的展开式中含的项为，
∴，
则，
又，解得．
【小问2详解】
由（1）可得，
令，则①，
令，则②，
∴由① ＋② 可得：；
由① －② 可得：．
∴.