广东省深圳市宝安区2025届高三下学期4月模拟测试数学试题（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知集合，则（ ）
2. 已知，，若，则实数（ ）
3. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
4. 已知，椭圆与双曲线的离心率分别为，，若，则双曲线E的渐近线方程为（ ）
5. 从集合中随机取出4个不同的数，并将其从大到小依次排列，则第二个数是7的概率为（ ）
6. 在正方体中，是棱上的点，且．平面将此正方体分为两部分，设两部分体积分别为和，则（ ）
7. 已知，函数在区间上有且仅有两个零点，，则的最小值为（ ）
8. 已知函数满足：，，，若，则（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 已知为虚数单位，以下选项正确的是（ ）
10. 已知常见“对勾函数”的图象也是双曲线，其渐近线分别为与轴，其实轴和虚轴是两条渐近线的角平分线.设双曲线的一条渐近线与双曲线的实轴夹角为，其离心率为，双曲线的实轴长为，离心率为，则下列结论正确的是（ ）
11. 欧拉函数是数论中的一个基本概念，的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数（只有公因数1的两个正整数互质，且1与所有正整数（包括1本身）互质），例如，因为1，3，5，7均与8互质，则（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 将分别标有数字1，2，3，4，5的5个大小相同的小球放入一个不透明的袋子中，甲，乙两人分别从袋中摸出一球，互相不知道对方摸出球的数字.甲先对乙说：“我不能确定咱俩谁的球上面的数字更大.”乙再对甲说：“我也不能确定咱俩谁的球上面的数字更大.”若甲，乙两人所说均为真话，请你推断乙所摸球上的数字为________.
13. 某统计数据共有13个样本，它们依次成公差的等差数列，若这组数据的60百分位数是26，则它们的平均数为______．
14. 下列函数的图象绕坐标原点沿逆时针旋转后得到的曲线仍为一个函数的图象的有______（写出对应编号）．
①； ②；
③； ④．
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 如图，在中，的平分线与AB交于点，.
(1)求；
(2)若，求的值.
16. 在直三棱柱中，，为平面与平面的交线，为直线上一点．
(1)若，求的面积；
(2)若平面与平面夹角的余弦值为，求．
17. 已知函数.
(1)若时，求曲线在处的切线方程；
(2)若时，在区间上的最小值为，求实数的值.
18. 已知椭圆的右焦点为，直线与相交于、两点．
(1)求直线l被圆所截的弦长；
(2)当时，．
（i）求的方程；
（ii）证明：对任意的，的周长为定值．
19. 已知数列的首项，当时，，数列满足，，数列和的所有项合在一起，按从小到大的顺序依次排列构成新数列.
(1)求，，的值；
(2)记为数列的前n项和，求使得成立的n的最小值；
(3)从数列的前100项中每次随机抽取一项，有放回地抽取20次，设这20次抽取的项互不相同的概率为P，证明：.
附：不等式（，，且）的推广式（，，⋯，均大于0，且不全相等）成立.
广东省深圳市宝安区2025届高三4月模拟测试数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、等式与不等式、平面向量、平面解析几何、计数原理与概率统计、空间向量与立体几何、三角函数与解三角形、复数、数列、推理与证明
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．3
C．6
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．2022
B．2023
C．2024
D．2025
A．若，则的充要条件是
B．若复数满足，则
C．
D．若复数满足，则的最大值为6
A．
B．点是的一个顶点
C．
D．
A．
B．数列单调递增
C．
D．数列的前项和小于
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
3
较易
4
适中
7
较难
5
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.65
交集的概念及运算；由指数函数的单调性解不等式；判断指数函数的单调性；解不含参数的一元二次不等式
2
0.94
由向量共线（平行）求参数
3
0.85
判断指数型复合函数的单调性
4
0.94
求双曲线的离心率或离心率的取值范围；根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程
5
0.85
实际问题中的组合计数问题；计算古典概型问题的概率
6
0.65
判断正方体的截面形状；台体体积的有关计算；柱体体积的有关计算
7
0.85
由csx（型）函数的值域（最值）求参数；用和、差角的余弦公式化简、求值
8
0.4
求函数值
二、多选题
9
0.65
虚数单位i及其性质；与复数模相关的轨迹（图形）问题；复数的相等；复数代数形式的乘法运算
10
0.4
圆锥曲线新定义；求双曲线的离心率或离心率的取值范围
11
0.4
求等比数列前n项和；由定义判定等比数列
三、填空题
12
0.65
推理案例赏析；合情推理概念辨析
13
0.94
计算几个数的平均数；总体百分位数的估计
14
0.65
函数关系的判断
四、解答题
15
0.65
正弦定理解三角形；余弦定理解三角形；三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系；二倍角的余弦公式
16
0.85
证明线面平行；面面角的向量求法
17
0.65
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；已知函数最值求参数；用导数判断或证明已知函数的单调性；由导数求函数的最值（不含参）
18
0.4
圆的弦长与中点弦；椭圆中的定值问题；根据a、b、c求椭圆标准方程；根据弦长求参数
19
0.4
确定数列中的最大（小）项；计算古典概型问题的概率；判断或写出数列中的项；利用定义求等差数列通项公式
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1
2
函数与导数
1,3,8,14,17
3
等式与不等式
1
4
平面向量
2
5
平面解析几何
4,10,18
6
计数原理与概率统计
5,13,19
7
空间向量与立体几何
6,16
8
三角函数与解三角形
7,15
9
复数
9
10
数列
11,19
11
推理与证明
12