湘豫名校联考2024-2025学年高三下学期第三次模拟考试数学试卷（含答案解析）

这是一份湘豫名校联考2024-2025学年高三下学期第三次模拟考试数学试卷（含答案解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知，若，则的值是（ ）
2. 已知全集，，则（ ）
3. 已知两个变量和之间具有线性相关关系.老师要求甲、乙两名同学在课下各自独立地通过试验求出其经验回归方程.甲同学做了15次试验，乙同学做了12次试验，求得经验回归直线分别为和，老师在审核两名同学的试验数据时发现：两人对变量的观测数据的平均值都是，对变量的观测数据的平均值都是.则下列说法正确的是（ ）
4. 已知点是函数在第一象限内的图象上的一点，则的最小值为（ ）
5. 如图，从正六边形的顶点和该正六边形的中心这七个点中任意选取三个点，若选出的三个点能构成三角形，则构成的三角形不是等边三角形的概率是（ ）
6. 过点作一直线与抛物线交于，两点，若抛物线在，两点处的切线交于点，且点满足，则的值是（ ）
7. 已知的内角，，满足，则（ ）
8. 已知函数，，则下列关于函数的极值点的叙述，正确的是（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 已知在平面直角坐标系中，曲线的离心率为直线在某一坐标轴上的截距，则的值可能是（ ）
10. 已知函数，，则下列选项正确的是（ ）
11. 如图，两个边长均为1的正方形与正方形所在的平面互相垂直.点，分别是对角线，上的动点，且，的长度相等，记，点是线段上的一点.下列结论正确的是（ ）

三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 若函数是奇函数，则函数在上的最大值是______.
13. 已知，，是公差为的等差数列，，，，是公比为的等比数列，如果，且，那么的最小值是______.
14. 已知函数，，函数的图象与曲线交于点，与曲线交于点，，点在第一象限，且，四点顺次呈逆时针排列，则直线的斜率与直线的斜率的乘积为______.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 已知的内角，，的对边分别为，，，且，.
(1)求；
(2)若，角的平分线交于点，且，求.
16. 如图，在长方体中，，，，点是棱的中点，点，分别是线段，的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)平面与平面的交线记为直线，点为直线上一动点，求直线与平面所成角的范围.
17. 为全面贯彻党的教育方针，实施素质教育，某校开设了多种多样的知识讲座和校本课程，既丰富了学生的学习生活，又满足了不同学生的需求.已知该校在每周三的课外活动时间都开设“古诗词鉴赏”“红楼梦中主要人物剖析”“三国演义中的计谋”“古代文明的起源”“历史与现实”这五个讲座（每次每个讲座只开设一场），每位同学在课外活动时间，可以自由活动，也可以去听自己感兴趣的讲座（一人一座，全部坐满即为满座，讲座开始后，同学们不得再随意走动或进出）.通过连续10周的统计，得到如下数据（各讲座间是否满座互不影响）：
把统计得到的频率看作概率，解答下列问题.
(1)“古诗词鉴赏”“红楼梦中主要人物剖析”“三国演义中的计谋”这三个讲座中，在某周三满座的讲座个数设为，求的分布列和数学期望.
(2)连续统计的10周中，以第周和第周各为一个统计单元，如果在一个统计单元中，某一讲座有4次或4次以上满座，就在该统计单元的最后一周的周末邀请相关专家来校开设该主题的专家讲座一次.在下一个连续10周中的两个统计单元中，
（i）求“古代文明的起源”这个讲座在单个统计单元中开设专家讲座的概率；
（ii）求“古代文明的起源”“历史与现实”这两个讲座共开设3次专家讲座的概率.
18. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，双曲线以椭圆的长轴为实轴，的渐近线方程为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)在第二象限内取椭圆上的一点，连接并延长，与双曲线交于另一点，连接并延长，交椭圆于另一点，若，求四边形的面积；
(3)在（2）的条件下，从直线上取两个不同的点，，使得的面积为45，问：的正切值是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由.
19. 已知函数，及一个如下所示的行列的数阵，
其中表示第行第列的数.在该数阵中，第1列的数从上到下组成公差的等差数列；第1行的数，对加上1后，得到的数列，，，…，，…，是公比的等比数列.已知，（其中，，…，；，，…，），且当时，恒成立.
(1)求实数的值；
(2)记第2行的数从左到右组成的数列为，第1列各数的和为.
（i）求数列的通项公式；
（ii）求证：.
湘豫名校联考2024-2025学年高三下学期第三次模拟考试数学试卷
整体难度：适中
考试范围：复数、集合与常用逻辑用语、计数原理与概率统计、等式与不等式、函数与导数、平面解析几何、平面向量、三角函数与解三角形、空间向量与立体几何、数列
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．1
B．0
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．和必定重合
B．与必定平行
C．和一定有公共点
D．与相交，但交点不一定是
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．4
B．3
C．2
D．1
A．
B．
C．
D．
A．既没有极大值点也没有极小值点
B．既有极大值点也有极小值点
C．有且只有一个极小值点
D．有且只有一个极大值点
A．57
B．
C．
D．
A．为偶函数
B．，
C．曲线在点处的切线斜率为
D．，不等式恒成立
A．
B．的最小值是
C．三棱锥与三棱锥的体积相等
D．若点，，，，，在同一个球的球面上，则该球的体积是
讲座
古诗词鉴赏
红楼梦中主要人物剖析
三国演义中的计谋
古代文明的起源
历史与现实
讲座次数
10
10
10
10
10
满座次数
5
8
7
5
5
第1列
第2列
第3列
…
第列
…
第列
第1行
…
…
第2行
…
…
第3行
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
第行
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
第行
…
…
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
2
较易
2
适中
12
较难
3
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
已知复数的类型求参数；复数的除法运算
2
0.65
补集的概念及运算；排列数方程和不等式；排列数的计算
3
0.94
计算样本的中心点
4
0.85
基本不等式求和的最小值
5
0.65
实际问题中的组合计数问题；计算古典概型问题的概率；利用对立事件的概率公式求概率
6
0.4
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；直线与抛物线交点相关问题；垂直关系的向量表示；根据韦达定理求参数
7
0.65
用和、差角的正切公式化简、求值；正、余弦齐次式的计算
8
0.65
用导数判断或证明已知函数的单调性；求已知函数的极值点；二倍角的余弦公式；函数极值点的辨析
二、多选题
9
0.85
根据离心率求椭圆的标准方程；根据离心率求双曲线的标准方程；直线截距式方程及辨析
10
0.65
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；利用导数研究不等式恒成立问题；函数奇偶性的定义与判断
11
0.65
锥体体积的有关计算；球的体积的有关计算；多面体与球体内切外接问题；空间位置关系的向量证明
三、填空题
12
0.65
求含sinx(型)函数的值域和最值；辅助角公式
13
0.65
等差数列通项公式的基本量计算；等比数列通项公式的基本量计算；利用不等式求值或取值范围
14
0.65
函数对称性的应用；函数图像的识别
四、解答题
15
0.65
三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系；余弦定理解三角形；二倍角的正弦公式；正弦定理解三角形
16
0.65
证明面面垂直；线面角的向量求法；证明线面垂直
17
0.65
写出简单离散型随机变量分布列；独立事件的乘法公式；求离散型随机变量的均值
18
0.4
根据双曲线的渐近线求标准方程；求双曲线中的最值问题；椭圆中三角形（四边形）的面积
19
0.4
累加法求数列通项；数列不等式恒成立问题；由导数求函数的最值（不含参）；求等比数列前n项和
序号
知识点
对应题号
1
复数
1
2
集合与常用逻辑用语
2
3
计数原理与概率统计
2,3,5,17
4
等式与不等式
4,13
5
函数与导数
6,8,10,14,19
6
平面解析几何
6,9,18
7
平面向量
6
8
三角函数与解三角形
7,8,12,15
9
空间向量与立体几何
11,16
10
数列
13,19