天津市五区县重点校2024-2025学年高一下学期7月期末联考数学试题（Word版附解析）

这是一份天津市五区县重点校2024-2025学年高一下学期7月期末联考数学试题（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．在复平面内，复数对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．设的内角、、的对边分别为，，，已知，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．已知是等边三角形，边长为4，则（ ）
A．B．8C．D．
4．已知直线是两条不同的直线，平面是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
5．如图，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则它的原图形面积为 （ ）
A．B．
C．D．
6．分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，从两名男生和三名女生中抽取两人，在以上两种抽样方式下，抽到的两人都是女生的概率分别为（ ）
A．B．C．D．
7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，点O是的外心，若，则（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在棱长为1的正方体中，点在线段上运动，则以下命题正确的个数为（ ）
①直线平面，
②平面与平面的夹角大小为
③三棱锥的体积为定值
④异面直线AP与所成角的取值范围是
⑤三棱锥外接球表面积是
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
9．已知复数（其中为虚数单位），则 ．
10．某公司青年、中年、老年员工的人数之比为，从中抽取100名作为样本，若每人被抽中的概率是，则该公司青年员工的人数为 ．
11．已知为一个单位向量，与的夹角为，若在上的投影向量为，则 ．
12．已知是边长为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上．若球心到平面的距离为，则球的表面积为 ．
13．联合国教科文组织批准，中国传统节日端午节正式列入世界非物质文化遗产，同时，端午节成为中国首个入选世界非物质文化遗产的节日．为弘扬中国传统文化，某校在端午节期间组织有关端午节文化知识竞赛活动，某班甲、乙两人组成“粽队”参加竞赛活动，每轮活动由甲、乙各回答一个问题，已知每轮活动中甲、乙答对问题的概率分别为和，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则甲在两轮活动中答对两个问题的概率为 ，“粽队”在两轮活动中至少答对三个问题的概率为 ．
14．如图，在中，点D，E在边BC上，且，点分别在线段上，且，直线交于点，且，则 ．若直线交于点且是边长为2的等边三角形，则 ．
三、解答题
15．已知向量，满足，．
(1)若，求向量的坐标；
(2)若，求与的夹角．
16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．满足
(1)求角B的大小；
(2)设，．
（ⅰ）求c的值；
（ⅱ）求的值．
17．（请用几何法作答此题）如图，在正三棱柱中，已知，且为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值；
(3)求点到平面的距离．
18．某校从高一年级学生中随机抽取40名，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，所有成绩均为不低于40分的整数）分为6组：，绘制出如图所示的频率分布直方图．
(1)求出图中实数a的值；
(2)若该校高一年级共有学生640名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数；
(3)若从成绩来自和两组的学生中随机选取两名学生：
（ⅰ）写出该试验的样本空间；
（ⅱ）求这两名学生数学成绩至多有一名及格的概率．
19．（请用几何法作答此题）如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，平面平面，， 分别为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值；
(3)求二面角的正切值.
1．D
利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【详解】在复平面内，复数==1﹣i对应的点（1，﹣1）位于第四象限．
故选D．
2．B
根据正弦定理求解即可.
【详解】由正弦定理得.
故选：B
3．A
利用向量的数量积的定义求解即可.
【详解】因为是等边三角形，边长为4，
所以.
故选：A.
4．B
根据线面平行可判断A；根据线面垂直可判断B，根据面面平行可判断CD.
【详解】对于A，当，此时直线可能在平面内，或，故A错误；
对于B，如图，设，，点是平面内一点，
过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，
因为，且，，
且，，
所以，.又，
则，.又，所以，故B正确；

对于C，当，若，则平面可能平行，也可能相交，故C错误；
对于D，当，此时平面可能平行，也可能相交，故D错误.
故选：B
5．D
先求出直观图的面积，再根据原图形与直观图面积的倍数关系求解.
【详解】正方形的面积为，所以原图面积为：.
故选：D.
6．A
根据题意，结合概率的计算公式，即可求解.
【详解】若采用有放回简单随机抽样，可得抽到的两人都是女生的概率；
若采用不放回简单随机抽样，可得抽到的两人都是女生的概率.
故选：A.
7．A
利用余弦定理和得到，然后利用外心的结论和得到的方程，最后解方程即可.
【详解】∵，
由余弦定理有：，
∴，解得，
由得，，
即，
，
即，
即：，，解得，，
∴.
故选：A．
8．C
由线面垂直的性质定理与判定定理证明直线平面判断①，找出平面角后可判断②，由线面平行的性质可判断③，由异面直线所成的角的定义判断④；利用三棱锥的外接球即为正方体的外接球，求解可判断⑤即可．
【详解】如图，连接，正方形中，，
因为正方体的棱平面，平面，所以，
又因为，平面，所以平面，
又平面，所以，同理．
又，平面，
所以平面，故①正确；
因为平面，平面，所以，
又平面平面，，平面，平面，
则是平面与平面的夹角，显然三角形为等腰直角三角形，
则该角大小为，故②错误；
因为，所以，
所以四边形为平行四边形，因此有，
又平面，平面，所以平面，
又，因此到平面的距离为定值，
所以三棱锥的体积为定值，故③正确；
由于，因此异面直线AP与所成角就是与所成的角，
即图中或，设正方体棱长为1，所以，
当点为中点时，此时，
因为是等边三角形，在线段上，
因此或中较小的角的范围是，④错误；
三棱锥的外接球即为正方体的外接球，
又正方体的外接球的直径为正方体的体对角线，
即，所以，
所以三棱锥外接球表面积是，故⑤正确．
故选：C．
9．2
先利用复数除法运算化简复数，再利用复数模的公式求解即可.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
10．
公司的人数为，根据题意，求得，结合分层抽样的方法，即可求得该公司青年员工的人数，得到答案.
【详解】设公司的人数为，因为抽取100名作为样本，若每人被抽中的概率是，
可得，解得人，
有业务公司青年、中年、老年员工的人数之比为，
所以该公司青年员工的人数为人.
故答案为：.
11．4
根据投影向量公式代入即可求解.
【详解】为一个单位向量.
.
与的夹角为，且在上的投影向量为.
.
.
.
故答案为：4
12．
根据题意，利用已知条件求出外接圆的半径，再根据几何关系进一步解出外接球半径，代入表面积公式求解即可.
【详解】设外接圆的圆心为，外接圆半径为，球半径为，
根据已知条件有，，
由正弦定理可得，所以，
所以，
所以球的表面积为：.
故答案为：
13．
根据题意，设事件“甲答对问题”，事件“乙答对问题”，结合独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解.
【详解】设事件“甲答对问题”，事件“乙答对问题”，
因为每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，
所以甲在两轮活动中答对两个问题的概率为；
“粽队”在两轮活动中至少答对三个问题，则包含，
可得概率为
.
故答案为：；.
14．
根据题意，利用向量的运算法则，化简得到，由三点共线，得到，求得的值，设，得到，由三点共线，求得，得到，再设，得到，结合三点共线，求得的值，得到，化简得，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.
【详解】由，可得为的中点，则，
因为，且，
可得，即，
又因为三点共线，可得，解得，即，
设，因为点为的中点，可得，
所以，即，
因为三点共线，可得，解得，
即，所以点为的中点，所以，
设，
由，
可得，即，
又因为三点共线，可得，解得，
即，所以，
又由，
又因为 是边长为2的等边三角形，
所以.
故答案为：；.
15．(1)或.
(2).
（1）根据题意，设，由向量模的公式可得的值，即可得答案.
（2）先求出，由向量数量积的计算公式可得，可解得，结合夹角的范围分析可得答案.
【详解】（1）根据题意，，设，
若，则
解得，故或.
（2）由题知，则，
若，则，
即，
解得，又，
所以.
16．(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
（1）根据题意，化简得到所以，求得，即可求解；
（2）（ⅰ）由（1），结合余弦定理，列出方程，求得的值；（ⅱ）由，代入求得和，进而得到的值，结合两角和的正弦公式，即可求解.
【详解】（1）解：因为，
可得，
所以，
因为，所以，所以，
又因为，所以.
（2）解：由（1）知，，且，，
（ⅰ）由余弦定理，可得，即，
解得或（舍去），所以.
（ⅱ）由，可得，
解得，则，
所以，，
则.
17．(1)证明见解析
(2)
(3)
（1）连接，构造三角形中位线，利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）根据平行关系确定为异面直线与所成角（或其补角），利用余弦定理求解即可；
（3）取的中点，连接，利用线面垂直的判定证明平面，再利用为的中点，即可求解.
【详解】（1）证明：连接，设，连接，
在正三棱柱中，四边形为矩形，
则为的中点，又为的中点，所以，
平面，平面，所以平面
（2）由（1）得，
为异面直线与所成角（或其补角）
，，，
，
异面直线与所成角的余弦值为.
（3）
取的中点，连接，为等边三角形，
，又正三棱柱，平面，
平面，，
又，平面，平面，
平面，，
点到平面的距离为．
18．(1)
(2)
(3)（ⅰ）答案详见解析；（ⅱ）
（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为，列出方程，即可求解；
（2）根据题意，求得成绩不低于80分的频率为，进而求得高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数；
（3）根据题意，得到成绩来自的学生人数为2人，记为，成绩来自的学生人数为4人，记为，利用列举法，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.
【详解】（1）解：因为频率分布直方图中所有小矩形面积之和为，
可得，解得.
（2）解：由频率分布直方图可知成绩不低于80分的频率为，
所以该校高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数为人.
（3）解：成绩来自的学生人数为人，记为，
成绩来自的学生人数为人呢，记为，
则从中随机选取两名学生的样本空间为：，共15个样本点，
设“两名学生数学成绩至多有一名及格”，
则，其中含了9个样本点，
所以这两名学生数学成绩至多有一名及格的概率.
19．(1)证明见解析
(2)
(3).
【详解】（1）证明：取中点，连接，
因为是等边三角形，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，因为平面，所以，
又因为，且，平面，所以平面.
（2）解：由（1）知平面，因为平面，所以，
在等边△ABC中，因为为的中点，所以，
又因为，且平面，所以平面，
过点作，垂足为. 连接，
因为平面，且平面，所以，
又因为，且平面，所以平面，
所以为与平面所成的角，
因为，，，
可得
由，可得，
所以，
在直角中，可得，
所以与平面所成角的正弦值为
（3）取的中点，连接，可得且，
过点作，垂足为，连接，
由（1）知，平面，所以平面，
由平面，所以，，
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，所以，所以为二面角的平面角，
由（1）知平面，平面，所以，
在直角中，可得，
由（2）知，平面，因为平面，所以，
在直角中，可得，
即，解得，所以，
在直角中，可得，
所以二面角的平面角的正切值为.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
D
B
A
B
D
A
A
C