福建省福州高级中学2025-2026学年高三上学期第一次阶段考数学试卷

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答案 A C B D B C A B ABD ACD
题号 11
答案 ABD
1．A
【详解】 ，即 ，解得： 或 ， ，
，
则 .故选：A
2．C
【详解】方法一：因为 ，所以 .
方法二：因为 ，所以 .故选：C
3．B
【详解】由 ，则 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立.故选：B.
4．D
【详解】由题意得，双曲线的渐近线方程为 ，
因为双曲线的一条渐近线与直线 垂直，
所以渐近线为 ，且 ，所以 ，
所以双曲线的离心率为 .故选：D.
5．B
【详解】设圆台的母线长 ，圆台为高为 ，
则圆台的上、下底面圆的面积分别为 ，
侧面积为 ，
所以 ，可得 ，则 ，
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所以圆台的体积为 .故选：B.
6．C
【详解】解：数列 单调递增 ，可得： ，化为： .
∴ .由“ ”可得： ，可得： .
∴“ ”是“数列 单调递增”的充要条件，故选：C.
7．A
【详解】根据题意，5 名学生分成三组分组方法分为两种：
① 分组：总分组方式为 种，其中甲、乙同在三人组的方式有 种，故符
合条件的为 种；
② 分组：总分组方式为 种，其中甲、乙同在两人组的方式为 种，故符
合条件的为 种.
由分类加法计数原理，总分组方式为 种，三组对应三个村寨的排列方式为 种，
故最终总方法数为 种.故选：A.
8．B
【详解】依题意，设切点坐标为 ，由 ，求导得 ，
则函数 的图象在点 处的切线方程为 ，
由切线过点 ，得 ，
令 ，依题意，直线 与函数 的图象有 3 个公共点，
，当 或 时， ，当 时，
，
则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时，函数 取得极小值 ，而当 时，恒有 ，
又 ，因此当 时，直线 与函数 的图象有 3 个公共
点，所以实数 的取值范围是 .故选：B
9．ABD
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【详解】由图像可得 ，故 ，故 ，故 A 正确；
故 ，而 ，故 ，
故 ，而 ，故 ，故 B 正确；
因为 ，故 为偶函数，故 C 错误；
故 ，当 时， ，
因为 在 上的零点为 ，
故 在 上有两个不同的零点，故 D 正确，故选：ABD.
10．ACD
【详解】对于 ，若不改变信噪比 ，而将信道带宽 增加一倍，
即 ，则 增加一倍，所以 正确；
对于 ，若不改变信道带宽 和信道内信号的平均功率 ，
而将高斯噪声功率 降低为原来的一半，
即 ，所以 B 错误；
对于 C，若不改变带宽 ，而将信噪比 从 255 提升至 1023，
则 ，
所以 C 增加了 ，所以 C 正确；
对于 D，若不改变带宽 ，而将信噪比 从 999 提升至 4999，
则 ，
所以 D 正确.故选：ACD.
11．ABD
【详解】对于 A，由正三棱锥 对棱互相垂直，则 ，又 ，
平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
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所以平面 平面 ，平面 平面 ，
又 平面 ， ，
又 ， 平面 ，则 平面 ， 平面
，
所以平面 平面 ，
所以平面 、平面 ､平面 两两互相垂直，故 A 正确；
对于 B，由 结合 A 选项，棱锥侧面均为等腰
直角三角形，可得 ，将此三棱锥补全为正方体，
正方体的棱长为 2，设正三棱锥 的外接球的半径为 ，则
，则外接球的体积
，故 B 正确；
对于 C，设三棱锥 的底面 上的高为 ，由等体积法可得
，解得 ，故 C 错误；
对于 D，设内切球的球心为 ，半径 ，由
，
即 ，解得
，故 D 正确.故选：ABD.
12．
【详解】因为 ，所以 ，又 ，
所以向量 在向量 上投影向量为 ，故所求坐标为 .
13．84
【详解】二项展开式通项公式为 ，
所以 的系数为 ，即 .
14．
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【详解】
如图所示，不妨设 在第一象限，则 ，因 ，则 ，
在 中，因 ，且由 ，可知点 B 是 的中点，
则得 ，且 ，
因为 ， 平分 ，故 ，
故 为等腰直角三角形， ，
由题意知 ，则 ，即 ，
根据椭圆的定义可得 ，
联立 ，解得 ，
在直角 中 ，即 ，
化简得 ，又因 ，两者联立解得 ，
故椭圆标准方程为 .
15．(1) (2) ．
【详解】（1）因为 ，所以 2 分
又因为 . 4 分
所以 ，故 . 6 分
（2）由余弦定理， ，所以 ． 8 分
又因为 ，所以 ，即 . 10 分
当且仅当 时取等号．
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所以 面积 . 12 分
所以 面积的最大值为 . 13 分
16．(1)证明见解析 (2)
【详解】（1）由 ，
当 时， ， 1 分
当 时， ，
两式相减得 ， 3 分
即 ，所以 ，
所以 ， 5 分
当 时， ，上式也成立， 6 分
所以数列 为常数列； 7 分
（2）由（1）得 ，
所以 ， 9 分
则
， 10 分
则 ， 11 分
两式相减得 12 分
， 14 分
所以 . 15 分
17．(1)证明见解析 (2) (3)
【详解】（1）如图所示，取 的中点 ，在 上取 ，
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因为 是 的中点， 是 的中点，
所以 ，且 ， 1 分
因为 ， ，
所以 ，且 ， 2 分
所以 ， ，
所以四边形 是平行四边形，则 ， 3 分
因为 平面 平面 ，
所以 平面 ； 4 分
（2）如图，设 ， ，取 中点为 ， 的中点为 ，
由正方体性质可知，点 为正方体的中心，
所以四棱锥 和四棱锥 重合的几何体为四棱锥 和三棱柱
形成的组合体． 5 分
，
； 8
分
（3）以 点为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立如图所示的空间直角坐
标系， 9 分
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有 ， ， ， ， ， ，
所以 ， ， 10 分
设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，解得： ， ， 11 分
， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，解得： ，即 ， 12 分
设 所成二面角的平面角为 ，
， 14 分
由图可知，二面角 所成角的平面角为钝角，
所以 所成二面角的平面角的余弦值为 ． 15 分
18．(1) (2)（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） 或
【详解】（1）由 的面积为 ，得 ，解得 ， 1 分
所以 ①， 2 分
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又点 在椭圆 C 上，所以 ②， 3 分
联立①②解得 ，所以椭圆 C 的标准方程为 . 4 分
（2）设 ， ， ，联立方程 ，
消 x 得： ，直线 l 与线段 AF 交于 S 点，则 ，
所以 ， ， 7 分
（Ⅰ）因为
， 9 分
所以 ， 10 分
（Ⅱ）由 得： ，即 ，又 .
所以 ，所以 ，则 ， 12 分
所以 ，又 ，
所以 ，所以 ， 14 分
所以 P 为线段 AF 的中垂线 与椭圆的交点，
由 ，解得： 或 ， 16 分
因此，P 的坐标为 或 . 17 分
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19．（1） （2） （3）证明见解析
【详解】（1）当 时， ， ， 1 分
，所以 ， 2 分
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
3 分
（2）因为 对任意的 恒成立，
即 对任意的 恒成立，
令 ， ，则 ， 5 分
当 时，因为 ，所以 ，
所以 ，不合题意； 6 分
当 时，因为 ，所以 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，
故要使 对任意的 恒成立，只需 ， 8 分
即 ，得 .
所以 的取值范围为 . 9 分
（3）因为 ， ，
且函数 与 在点 处的切线互相垂直，
所以 ，即 ，① 11 分
又点 是函数 与 的一个交点，所以 ，② 12
分
联立①②消去 得 ，即 13
分
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当 ，因为 ，所以 ，且 ，这与②式相矛盾，
所以在 上没有 满足题意； 14
分
当 时，设 ，
则 ，
所以函数 在 上单调递增， 15
分
所以函数 在 上至多有一个零点，
因为 ，
， 16
分
因为函数 的图象在 连续不断，
所以函数 在 上有唯一一个零点，
即只有唯一的 ，
使得 成立，且 ，
综上所述：存在唯一的 满足题意，且 ． 17
分
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