黑龙江省齐齐哈尔市克东县第一中学2025届高三下学期第五次模拟测试数学试题（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分)
1. 已知椭圆的离心率，则的值为（ ）
2. 复数在复平面内对应的点满足，则以下选项中的点在复数所构成的图形上的是（ ）
3. 某学校高三教研组为调查高三学生的学习情况，分别从高三年级中的20个班一共抽取40个人进行询问，其中各班人数均为50人，则某个班级中某个学生被选中的概率为（ ）
4. 各项均为正数的数列的前项和为，且，若满足关系式，则（ ）
5. 已知空间中有5个点、、、、，若满足，且、、、四点共面，则的值为（ ）
6. 如图，在正三棱柱中，为上一点，，，平面将三棱柱截为两部分，则这两部分几何体的表面积之比为（ ）

7. 已知函数，，若函数和有四个相邻的交点，则这四个交点中任意两个交点横坐标之差最大值为（ ）
8. 已知函数在处有最小值，最小值小于，则的取值范围是（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 已知函数满足关系式，，且在上的解析式为，为的导函数，则下列说法正确的是（ ）
10. 如图，在正四棱台中，，，与平面夹角的正弦值为，为上一点，则下列说法正确的是（该四棱台内切球不一定与所有的面都相切，以半径最大时且相切面数最多的球体为内切球）（ ）
11. 在中，，，则（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 的常数项为_____.
13. 已知函数，则在点处的切线方程为_____.
14. 已知抛物线上一点到其准线和焦点的距离之和为，则_____；过点的直线与交于、两点，以为直径的圆与直线有交点，则面积的最小值为_____.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 11 分，共 55 分)
15. 已知函数.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)讨论的单调性，并求最值.
16. 如图，在平面四边形中，，，，，，，求：
(1)四边形的面积；
(2)的值；
(3)的面积.
17. 如图1，在梯形中，，，，现将沿折起，使平面平面，如图2.上有一点，其在上的投影为，且，为中点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
18. 某学校为调查学生学习情况，调查了部分学生，详情如下：
甲 乙
(1)学校调查了学生的学习成绩与学生效率的关系，随机抽取200人，询问相关问题，得到甲表格，其中学习效率高的人数：学习效率低的人数，请补全列联表，并根据列联表判断：在犯错误不超过0.001的前提下，能否认为学习成绩与学习效率有关？
(2)用频率估计概率，从全校3000人中抽取3个人，抽中的人中学习效率高的人数为，求的分布列及期望；
(3)学校为进一步提高学生成绩，对学生的学习方法进行知道，使20人的成绩得到增长，20人中成绩有不同的涨幅，详情如图乙，求的值，并求这20个人成绩涨幅的平均值、中位数、方差.
注：独立性检验表和卡方值公式：
，其中
19. 已知椭圆的中心为原点，对称轴为坐标轴，，是上的两点．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)设椭圆的左顶点为，过点的直线与交于点，直线分别与直线交于点．
（ⅰ）求面积的最大值；
（ⅱ）证明：以为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标．
黑龙江省齐齐哈尔市克东县第一中学2025届高三下学期第五次模拟测试数学试题
整体难度：适中
考试范围：平面解析几何、复数、计数原理与概率统计、数列、空间向量与立体几何、三角函数与解三角形、函数与导数、平面向量
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．12
B．
C．12或
D．或
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．30
B．60
C．90
D．120
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．8
D．9
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．为奇函数
A．该几何体的体积为
B．存在点，使得
C．该四棱台外接球与内切球的体积之比为
D．存在点，使得平面平面
A．
B．
C．
D．在上的投影向量为
效率高
效率低
总计
成绩好
63
成绩差
53
总计
0.5
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
0.455
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
3
适中
14
较难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.65
由椭圆的离心率求参数的取值范围
2
0.94
求复数的模；与复数模相关的轨迹（图形）问题
3
0.85
用频率估计概率；计算古典概型问题的概率
4
0.65
由递推关系证明数列是等差数列；求等差数列前n项和；由递推数列研究数列的有关性质
5
0.65
空间向量共面求参数
6
0.65
棱柱表面积的有关计算；棱锥表面积的有关计算
7
0.65
求正弦（型）函数的最小正周期；三角函数图象的综合应用
8
0.65
根据极值求参数；由导数求函数的最值（不含参）
二、多选题
9
0.65
由函数的周期性求函数值；函数奇偶性的定义与判断；判断或证明函数的对称性；导数的运算法则
10
0.65
多面体与球体内切外接问题；证明面面垂直；台体体积的有关计算；面面角的向量求法
11
0.65
余弦定理解三角形；数量积的运算律；已知正（余）弦求余（正）弦；求投影向量
三、填空题
12
0.65
三项展开式的系数问题
13
0.85
导数的运算法则；求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
14
0.65
由直线与圆的位置关系求参数；根据焦点或准线写出抛物线的标准方程
四、解答题
15
0.85
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；含参分类讨论求函数的单调区间；由导数求函数的最值（含参）
16
0.65
三角形面积公式及其应用；数量积的坐标表示
17
0.65
证明线面垂直；面面角的向量求法
18
0.65
写出简单离散型随机变量分布列；求离散型随机变量的均值；独立性检验解决实际问题；计算频率分布直方图中的方差、标准差
19
0.4
根据椭圆过的点求标准方程；求椭圆中的最值问题；椭圆中存在定点满足某条件问题；根据韦达定理求参数
序号
知识点
对应题号
1
平面解析几何
1,14,19
2
复数
2
3
计数原理与概率统计
3,12,18
4
数列
4
5
空间向量与立体几何
5,6,10,17
6
三角函数与解三角形
7,11,16
7
函数与导数
8,9,13,15
8
平面向量
11,16