辽宁省大连市育明中学2024-2025学年高三下学期最后一模数学试卷（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 设集合，，则（ ）
2. 已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是（ ）
3. 若是定义在上的增函数，则“”是“”的（ ）
4. 已知函数，若正实数满足，则的最小值为（ ）
5. 享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为30°和45°，在处测得楼顶部的仰角为15°，则黄鹤楼的高度约为（ ）

6. 在三棱锥中，平面平面，，，，若点、、、均在球的表面上，则球的体积为（ ）
7. 设，函数，则下面正确的是（ ）
8. 第14届国际数学教育大会（ICME-Internatinal Cngreas f Mathematics Educatin）在我国上海华东师范大学举行.如图是本次大会的会标，会标中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦——3、7、4、4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制是，正是会议计划召开的年份，那么八进制换算成十进制数，则换算后这个数的末位数字是（ ）

二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 已知函数，其最小值为，，，且的最小值为，则（ ）
10. 已知等比数列的前项和为，且，为等差数列，且，，记集合中元素的个数为，数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
11. 已知在平面直角坐标系中，，，点是满足的曲线上的任意一点，点为过点的抛物线上的一动点，点在直线上的射影为，则（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 已知一组数据、、、、的上四分位数是，则的取值范围为__________.
13. 如图，一滑轮组中有两个定滑轮A，B，在从连接点O出发的三根绳的端点处挂着三个重物，它们所受的重力分别为4N，4N，7N，此时整个系统处于平衡状态，则________.
14. 在量子通信中，光子极化序列需满足以下条件：
（1）每个极化方向为水平（H）或垂直（V）；
（2）任意三个连续光子中不能有全相同的极化方向；
（3）序列的首尾极化方向必须相同.
如“”是一个长度为3的合法序列.则长度为7的合法序列数目为_______.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围．
16. 已知锐角三角形的内角所对的边分别为，且满足．
(1)求；
(2)若，求的取值范围．
17. 已知点在双曲线上，且的离心率为，直线交的左支于，两点，直线，的斜率之和为0．
(1)求直线的斜率；
(2)若，直线，与轴的交点分别为，，求的面积．
18. 如图①所示，长方形中，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥．
(1)若为等边三角形，求四棱锥的体积；
(2)在图②中画出平面与平面的交线，并陈述作图方法的理由；
(3)设二面角的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．
19. 记数列前k项的最大值依次构成一个新的数列，称数列为的“生成子列”，数列所有项组成的集合为A．
(1)已知数列为7，6，5，8，求数列；
(2)若，且A中恰有5个元素，求实数a的取值范围；
(3)若，的“生成子列”的前n项和为，从中任取Y个数，记其中能被2整除且不能被4整除的个数为X，
①若，求X的数学期望；
②若，求使取得最大值时的m值．
辽宁省大连市育明中学2024-2025学年高三下学期最后一模数学试卷
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、复数、等式与不等式、三角函数与解三角形、空间向量与立体几何、计数原理与概率统计、数列、平面解析几何、平面向量
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．1
B．
C．2
D．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．有两个极值点
B．若，则当时，
C．若有3个零点，则的取值范围是
D．若存在，满足，则
A．1
B．3
C．5
D．7
A．
B．的图象在区间内只有2个对称中心
C．的图象向左平移个单位长度得到函数的图象
D．当时，若不等式恒成立，则实数的取值范围是
A．
B．
C．
D．
A．抛物线上与焦点距离等于5的点的横坐标是1
B．若过点的直线交于，两点，且，则的面积为6
C．的最小值为
D．已知点在抛物线上，过点作曲线的切线，若切线长为，则点到的准线的距离为8
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
4
适中
8
较难
5
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
交集的概念及运算；求对数型复合函数的定义域
2
0.65
与复数模相关的轨迹（图形）问题；复数的坐标表示
3
0.85
充要条件的证明；比较函数值的大小关系
4
0.65
函数奇偶性的定义与判断；基本不等式求和的最小值；函数奇偶性的应用
5
0.85
高度测量问题
6
0.65
球的体积的有关计算；多面体与球体内切外接问题；空间垂直的转化
7
0.65
函数单调性、极值与最值的综合应用；利用导数研究函数的零点；根据函数零点的个数求参数范围；用导数判断或证明已知函数的单调性
8
0.65
整除和余数问题；求等比数列前n项和
二、多选题
9
0.65
求含sinx(型)函数的值域和最值；求图象变化前（后）的解析式；求正弦（型）函数的对称轴及对称中心
10
0.4
分组（并项）法求和；利用an与sn关系求通项或项；等差数列通项公式的基本量计算；等比数列通项公式的基本量计算
11
0.4
求抛物线上一点到定直线的最值；直线与抛物线交点相关问题；抛物线的焦半径公式；根据韦达定理求参数
三、填空题
12
0.94
总体百分位数的估计
13
0.85
向量夹角的计算；数量积的运算律；力的合成
14
0.4
元素（位置）有限制的排列问题
四、解答题
15
0.65
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；根据极值求参数；函数单调性、极值与最值的综合应用
16
0.65
三角恒等变换的化简问题；正弦定理解三角形；求含sinx(型)函数的值域和最值
17
0.15
求双曲线中三角形（四边形）的面积问题；双曲线中的定值问题；根据离心率求双曲线的标准方程
18
0.4
锥体体积的有关计算；面面角的向量求法；平面的基本性质及辨析；证明线面垂直
19
0.4
写出简单离散型随机变量分布列；求离散型随机变量的均值；数列新定义；根据数列的单调性求参数
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,3
2
函数与导数
1,3,4,7,15
3
复数
2
4
等式与不等式
4
5
三角函数与解三角形
5,9,16
6
空间向量与立体几何
6,18
7
计数原理与概率统计
8,12,14,19
8
数列
8,10,19
9
平面解析几何
11,17
10
平面向量
13