甘肃省兰州市新区甘南实验中学2024-2025学年高三下学期诊断考试数学试题（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 设全集，，，则（ ）
2. 复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点位于
3. 某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120名学生中随机抽取了100 名学生的数学成绩，发现都在内现将这100名学生的成绩按照，，，，，，分组后，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
4. 若 ，且 ，则 等于（ ）
5. 已知椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M、N)，△AF1B的周长为，且直线AM与AN的斜率之积为－，则椭圆C的标准方程为（ ）
6. 如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，则点A到平面PBC的距离为（ ）
7. 在等比数列中，，，且数列的前项和，则此数列的项数等于（ ）
8. 已知函数 关于 的方程 有两个不等实数根，则实数 的取值范围是（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用事件和表示从甲罐中取出的球是红球，白球和黑球；再从乙罐中随机取出一球，用事件B表示从乙罐中取出的球是红球，则下列结论正确的是（ ）
10. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”. 后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，点P满足.设点P的轨迹为C，下列结论正确的是（ ）
11. 有下列说法其中正确的说法为
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 已知函数在处取得最小值m，则___________.
13. 如图，已知半径为 的扇形 ，， 为弧 上的一个动点，则 的取值范围是____．

14. 如图所示，在直平行六面体中，，，点在上，且，则点到平面的距离为________.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
16. 如图，在四棱锥中，平面平面，．

（1）证明：平面；
（2）求二面角的大小．
17. 某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和,现安排甲组研发新产品,乙组研发新产品.设甲,乙两组的研发是相互独立的.
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;
(2)若新产品研发成功,预计企业可获得万元,若新产品研发成功,预计企业可获得利润万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望.
18. 已知双曲线设过点的直线l的方向向量
（1） 当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；
（2） 证明：当>时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为.
19. 已知数列的前项和为，且满足，，设，.
（Ⅰ）求证：数列是等比数列；
（Ⅱ）若，，求实数的最小值；
（Ⅲ）当时，给出一个新数列，其中，设这个新数列的前项和为，若可以写成（，且，）的形式，则称为“指数型和”.问中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由.
甘肃省兰州市新区甘南实验中学2024-2025学年高三下学期诊断考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、不等式选讲、复数、计数原理与概率统计、三角函数与解三角形、平面解析几何、空间向量与立体几何、数列、平面向量
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
A．频率分布直方图中a的值为
B．样本数据低于130分的频率为
C．总体的中位数（保留1位小数）估计为分
D．总体分布在的频数一定与总体分布在的频数相等
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．1
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．事件B与事件相互独立
D．是两两互斥的事件
A．C的方程为
B．在x轴上存在异于的两定点，使得
C．当三点不共线时，射线是的平分线
D．在C上存在点M，使得
A．若，，则：
B．若，，分别表示，的面积，则；
C．两个非零向量，，若，则与共线且反向；
D．若，则存在唯一实数使得
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
6
适中
9
较难
2
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
交并补混合运算；求对数型复合函数的定义域；几何意义解绝对值不等式
2
0.85
复数的除法运算；判断复数对应的点所在的象限
3
0.94
由频率分布直方图估计中位数；由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量
4
0.85
已知正（余）弦求余（正）弦；半角公式
5
0.65
根据a、b、c求椭圆标准方程；椭圆定义及辨析；求椭圆的顶点坐标
6
0.65
锥体体积的有关计算；线面垂直证明线线垂直
7
0.65
等比数列前n项和的基本量计算；等比数列下标和性质及应用；求等比数列前n项和
8
0.85
函数与方程的综合应用；函数图象的应用；指数函数图像应用
二、多选题
9
0.65
计算条件概率；独立事件的乘法公式；判断所给事件是否是互斥关系
10
0.65
轨迹问题——圆；求平面轨迹方程
11
0.4
平行向量（共线向量）；数量积的运算律；已知数量积求模
三、填空题
12
0.65
由导数求函数的最值（不含参）
13
0.85
数量积的坐标表示；求含sinx(型)函数的值域和最值；辅助角公式
14
0.85
点到平面距离的向量求法
四、解答题
15
0.65
等差数列通项公式的基本量计算；等差数列前n项和的基本量计算；等比中项的应用；裂项相消法求和
16
0.4
证明线面垂直；求二面角
17
0.65
写出简单离散型随机变量分布列；独立事件的乘法公式；求离散型随机变量的均值
18
0.65
根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围
19
0.15
判断数列的增减性；由递推关系证明等比数列；利用an与sn关系求通项或项；数列新定义
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1
2
函数与导数
1,8,12
3
不等式选讲
1
4
复数
2
5
计数原理与概率统计
3,9,17
6
三角函数与解三角形
4,13
7
平面解析几何
5,10,18
8
空间向量与立体几何
6,14,16
9
数列
7,15,19
10
平面向量
11,13