四川省泸县第五中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

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一．单项选择题
多项选择提
三．填空题
12．5 13． 14．
15．解：（1）由题意可知，
由查表可得，由于，
所以能有的把握认为数学成绩优秀与物理成绩优秀有关．
（2）由于物理成绩不优秀的学生中，数学成绩优秀与数学成绩不优秀的人数比为，
所以采用分层抽样的方法抽取的15人中，数学成绩优秀的有6人，数学成绩不优秀的有9人，可知可取0,1,2，
，
所以的分布列为
从而．
16．解：（1）由 ，得，两式相减，得：，
，
即，，，.
（2）， ，

①
②
①②，得：
，.
17．解：（1）因为在上，所以①．
由题意知，所以．
由，得，解得②．
由①②联立解得，所以的方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，线段的中点的纵坐标为0，故直线的斜率存在．
设其方程为，联立消得．
由，得③．
如图，设，则．
所以，则．
所以，代入③得，所以．
，点到直线的距离，
，
．当时，最大，最大值为．
18．解：（1）在四边形中，因为，所以折叠后有，．
又，平面，平面，所以平面．
又平面，所以平面平面．
（2）由题意，又，故，
过点作交于，则，连接，，
因为平面平面，面面，平面，
且，所以平面．
因为平面，所以，同理，
因为，，，所以由余弦定理得，
所以，
因为，平面，平面，所以平面．
因为平面，所以，所以为二面角的平面角．
所以在中，，
所以平面与平面夹角的正切值为．
（3）由（1）知平面平面，
设和的外心分别和，
因为、、、均在以为球心的球面上，
则球心为过点和且分别垂直于平面、平面的两直线的交点，
过点作于，连接，
设，显然四边形为矩形，
所以．
在中，设（），由及余弦定理得，
再由正弦定理得的外接圆半径．
在中，，，，由余弦定理得，
再由正弦定理得的外接圆半径．
所以，即，
所以，故当时，球的半径最小，
此时点与点重合，所以点在平面内．
19．解：（1）的定义域为，，
当时，，在上是增函数，故在上无极值点．
当时，令，则．
当时，，在上是增函数；
当时，，在上是减函数．
所以当时，取得极大值．
综上可知，当时，无极值点；
当时，有唯一极大值点．
（2）由（1）可知，当时，，不恒成立，故只需考虑．
由（1）知，，
若恒成立，只需即可，
化简得，所以的取值范围是．
（3）设，
当单调递增；当单调递减；
所以，所以，因为，所以，
则有，从而，
所以．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
D
A
A
C
A
B
D
题号
9
10
11
答案
BC
ABD
ACD
X
0
1
2
P