湖北省咸宁市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份湖北省咸宁市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷共6页，考试时间120分钟，总分150分.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 根据统计，某篮球运动员在1000次投篮中，命中的次数为860次，则该运动员（ ）
A. 投篮10次至少有8次命中B. 投篮命中的频率为0.86
C. 投篮命中的概率为0.86D. 投篮100次有86次命中
【答案】B
【详解】由题意可知投篮命中的频率为，
而频率可能比概率大也可能小，概率是频率的稳定值，二者不一定相等，故B正确，C错误；
投篮10次或100次相当于做10次或100次试验，每一次的结果都是随机的，
其结果可能是一次都没中，也可能是多次投中等，频率和概率只反映事件发生可能性的大小，
不代表事件一定会发生，故AD错误，
故选：B
2. 设函数，则（ ）
A. 1B. C. 0D.
【答案】A
【详解】，
又，则，
，则.
故选：A.
3. 已知随机变量服从正态分布，且，则的值为（ ）
A. 1B. 6C. 7D. 9
【答案】C
【详解】随机变量服从正态分布，其图象关于对称，
又，，解得，
故选：C.
4. 从0，1，2，3，4，5这六个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为（ ）
A. 60B. 84C. 100D. 120
【答案】C
【详解】从0，1，2，3，4，5这六个数字中任选3个数字，共有种选法，
若首位为，从剩下的五个数字中任选个数字，共有种选法，
所以组成无重复数字的三位数的个数为.
故选：
5. 已知函数的值域为，则实数a的取值范围为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【详解】当时，易知，
当时，设在的值域为，由题意可得，
当时，，即，不符合题意；
当时，由不等式化简可得，解得
由不等式组，解得.
综上可得.
故选：C.
6. 抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上和反面向上的概率都为，构造数列，使记，则的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】投掷7次必须5次正面向上，2次反面向上，抛掷7次不同结果有种，故.
故选：A
7. 定义域为的函数满足，则不等式的解为
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】构造函数，则，则函数是的单调递增函数，
对不等式的两端同时除以得，
则，解得.
故答案为C.
8. 投掷均匀的骰子，每次投得的点数为1或2时得1分，投得的点数为3，4，5，6时得2分，独立重复投掷一枚骰子若干次，将每次得分加起来的结果作为最终得分，则下列说法正确的是（ ）
A. 投掷2次骰子，最终得分的期望为
B. 设投掷次骰子合计得分恰为分的概率为，则
C. 设投掷次骰子合计得分恰为分的概率为，则
D. 设最终得分为分的概率为，则
【答案】D
【详解】对于A，投掷2次可能的取值为2，3，4，，，
，，故A错误；
对于B，投掷次，得分为分，则只有一次投掷得2分，
，
所以.
利用错位相减法可得，，故B错误；
对于C，，
，故C错误；
对于D，投掷骰子一次要么得1分，要么得2分，
∴最终得分，前一次要么是分，要么是分，
故，故D正确；
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：ABD.
10. 现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（ ）
A. 没有空盒子的方法共有24种
B. 可以有空盒子的方法共有256种
C. 恰有1个盒子不放球的方法共有288种
D. 没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有16种
【答案】AB
【详解】对于A，把4个小球全部放进盒子中，没有空盒子，相当于4个小球在4个盒子上进行全排列，
故共有种方法，故A正确；
对于B，可以有空盒子，因为有4个球，每个球各有4种放法，故共有种方法，故B正确；
对于C，恰有1个盒子不放球，说明另外三个盒子都有球，而球共4个，则必有一个盒子放了2个球，
先将四盒中选一个作为空盒,再将4球中选出2球绑在一起,
再对三个盒子全排共有种方法，故C错误；
对于D，恰有一个小球放入自己编号盒中，则从四盒四球中选定标号相同的球和盒有种，
另外三球三盒不能对应共2种，则共有种方法，故D错误.
故选：AB.
11. 已知函数的定义域为，，，则（ ）
A. B.
C. 为偶函数D. 的最大值为
【答案】BCD
【详解】对于A选项，令，则，解得，A错；
对于B选项，令，则，即，
所以，
令，，可得，即，
即，故，B对；
对于C选项，因为，
同理有，
所以，
若，设，
令，则，
再令，
则，
所以函数的零点关于y轴对称；
若，则， 令有，
故函数为偶函数，C对；
对于D选项，令，则，
所以，可得，故函数的最大值为，D对.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在的展开式中，含项的系数是____________.
【答案】164
【详解】因为的二项展开式为，
可知展开式中，含项的系数是，
由的展开式中，
可得项的系数
，
所以含项的系数是164.
故答案为：164.
13. 已知函数，则的值为_____.
【答案】
【详解】，
，
，
，
故.
故答案为：.
14. 已知函数在上是增函数，在上是减函数，且方程有3个不相等的实数根，它们分别是，，2，则_____；的取值范围是_____.
【答案】 ①. 0 ②.
【详解】①因为，所以，
依题意可知为函数的极大值点，
，.
②方程有3个不相等的实数根，它们分别是，，2.
，
得
.
又在上为减函数，且有3个不相等的实数根，，.
，故.
故答案为：①；②
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. （1）求曲线在处的切线；
（2）求过点且与曲线相切的直线方程.
【答案】（1）；（2）或.
【详解】（1），，，，
切线方程为，即.
（2）设切点为，
则，切线斜率，
切线方程为，
切线过点，即，
，
，
，
或，
切线方程为或.
16. 已知.求：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）
（2）
（3）
【小问1详解】
令，得.①
令，得，②
由①-②，得，
.
【小问2详解】
，
时，，时，，
，
令，得.
【小问3详解】
因为，
两边分别求导，得，
令，得.
17. 2025年春节档一部国产动画电影《哪吒之魔童闹海》横空出世，迅速斩获各项票房冠军，截至3月20日，该电影已进入全球票房榜前五.经权威电影机构调查，得到其前5周的票房数据如下表：
（1）求关于线性回归方程；
（2）该机构随机调查了某电影院2月15日200位观影人的购票情况，其中购买《哪吒之魔童闹海》的男性有90人，女性有70人，购买其他电影的男性有30人，女性有10人，完成列联表，并判断是否有99%的把握认为是否购买《哪吒之魔童闹海》与性别有关.
附：①，，在利用最小二乘法求得的线性回归方程中，，；
②，其中.
【答案】（1）
（2）表格见解析，没有99%的把握认为购买《哪吒之魔童闹海》与性别有关
【小问1详解】
由前5周的票房数据，可得，
，
所以，则，
故所求的经验回归方程为.
【小问2详解】
由题意，可得列联表如下.
可得，
故没有99%的把握认为购买《哪吒之魔童闹海》与性别有关.
18. 现有枚质地不同的游戏币，，，，向上抛出游戏而后，落下时正面朝上的概率为.甲、乙两人用这枚游戏币玩游戏.
（1）甲将游戏币向上抛出10次，用表示落下时正面朝上的次数，求的期望，并求出当为何值时，最大；
（2）甲将游戏币，向上抛出，用表示落下时正面朝上的游戏币的个数，求的分布列；
（3）将这枚游戏币按，，，的顺序依次向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由.
【答案】（1），
（2）答案见解析 （3）不公平，理由见解析
【小问1详解】
依题意得，每次抛游戏币落下时正面向上的概率均为，
故，于是.
，
，
当时，，当时，，
当时，最大.
【小问2详解】
记事件为“第枚游戏币向上抛出后，正面朝上”，
则，，2，可取0，1，2.
由事件相互独立，
则，
，
，
故的分布列为11分
【小问3详解】记抛第枚游戏币后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率为，，
表示抛后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率，故，
故当时，
，
即，即，.
记，则，，
故数列是首项为，公差为1的等差数列，
故，则，
故，，则，因此不公平.
19. 约瑟夫·路易斯·拉格朗日是闻名世界的数学家，拉格朗日中值定理就是他发现的.定理如下：若函数满足如下条件：
①函数在区间上连续（函数图象没有间断）；
②函数在开区间内可导（导数存在）．则在区间内至少存在一点，使得成立，其中称为“拉格朗日中值点”．
（1）求函数在上的“拉格朗日中值点”的个数；
（2）对于任意的实数，，证明：；
（3）已知函数在区间上满足拉格朗日中值定理的两个条件，当时，证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【小问1详解】
因为，，
，，所以在上的“拉格朗日中值点”的个数为.
【小问2详解】
设，有，
易知函数在上满足拉格朗日中值定理的两个条件，
当时，显然有，
当时，不妨设，由拉格朗日中值定理可知，
存在，使得，
有，又由，有，
可得，
由上知，不等式成立.
【小问3详解】
由，有，
又由，设，
有，
可得函数单调递增，
由拉格朗日中值定理可知，存在，
使得，
同理可知，存在，
使得，
又由和函数单调递增，有，
有，
由化简可得，
故不等式成立．周次
第1周
第2周
第3周
第4周
第5周
周次代码
1
2
3
4
5
票房总额/亿元
40
35
25
37
7
购买《哪吒》
购买其他电影
合计
男性
女性
合计
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
购买《哪吒》
购买其他电影
男性
90
30
120
女性
70
10
80
合计
160
40
200
Y
0
1
2