湖北省部分学校2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题（Word版附解析）

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第 I 卷（选择题）
一、单选题.
1. 若 （i 为虚数单位），则 （ ）
A. B. 1 C. D.
2. 已知直线 的方向向量 ，直线 的方向向量 ，若 且 ，则 的值
是（ ）
A B. 或 C. D. 或
3. “ ”是“直线 ： 与直线 ： 平行”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知 ， 且 ，则下列等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知直线 ，圆 为圆 上任意一点，则下列说法正确的
是（ ）
A. 的最大值为 5 B. 的最小值为
C. 直线 与圆 相切时， D. 圆心 到直线 的距离最大为 4
6. 如图，二面角 的大小为 ，点 A，B 分别在半平面 ， 内， 于点 C， 于点 D．若
， ， ．则 （ ）
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A. B. 6 C. D.
7. 若数列 满足 ，且 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
8. 若圆 与圆 有公共点，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 已知正态分布 的正态密度曲线如图所示， ，则下列选项中，能表示图中阴影部
分面积的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知数列 满足 ， ， ，则（ ）
A. 121 是数列中 项 B.
C. 是等比数列 D. 存在 ，
11. 如图，在棱长为 2 正方体 中，点 O 为 BD 的中点，且点 P 满足
，则下列说法正确的是（ ）
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A. 若 ，则
B. 若 ， ，则点 P 的轨迹长度为
C. 若 ， ，则
D. 若 ， ，直线 OP 与平面 所成的角为 ，则
第 II 卷（非选择题）
三、填空题
12. 已 知 为 坐 标 原 点 ， 若 双 曲 线 的 右 支 上 存 在 两 点 ， ， 使 得
，则 的离心率的取值范围是_____________.
13. 设 是等差数列 的前 项和，且数列 是公差为 1 的等差数列，则 的通项公式为
________.
14. 设点 在曲线 上，点 在曲线 上，若 最小值为 ，则 __________.
四、解答题
15. 某城市地铁将于 2024 年 5 月开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，
随机抽查了 50 人，他们的收入与态度统计数据如下表：
月收入
（单位：百元）
赞成定价者人数 2 2 4 5 3 4
认为价格偏高者
4 8 9 6 2 1 人数
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（1）若以区间的中点值为该区间内的人均月收入，分别求出参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价
格偏高者”的月平均收入；
（2）根据以上统计数据填下面 列联表，依据小概率值 的独立性检验，可否认为“月收入以
55 百元为分界点对地铁定价的态度有差异”？
人均月收入
对地铁定价的态度 合计
不低于 55 百元的人数 低于 55 百元的人数
认为价格偏高者
赞成定价者
合计
附： ，其中 ．
参考数据
0.1 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
16. 已知函数 ，且 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求函数 的极值.
17. 设某厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的 ， ，
，并且各车间的次品率依次为 ， ， .现从该厂这批产品中任取一件.
（1）求取到次品的概率；
（2）若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？
18. 已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
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（2）当 时，求函数 单调递增区间；
（3）若函数 在区间 上只有一个极值点，求 的取值范围.
19. 已知函数 ．
（1）若 ，求 的极值；
（2）若对任意 ， 都成立，求实数 m 的取值范围；
（3）若 有两个极值点 ， ，且 ，求证： ．
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