广东省肇庆市2024-2025学年高一下学期期末统一考试数学试题（Word版附解析）

这是一份广东省肇庆市2024-2025学年高一下学期期末统一考试数学试题（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知i为虚数单位，复数，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，，且，则（ ）
A．8B．C．D．
4．已知五所学校的人数分别为750，1000，1500，1250，500.按分层随机抽样方法抽取100名学生，抽取的五所学校的学生人数形成一组数据，则该组数据的第40百分位数为（ ）
A．15B．20C．17.5D．30
5．已知D为的边的中点，O为上一点，且满足，设，，则（ ）
A．B．C．D．
6．将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，再将图象向左平移φ个单位长度后，得到的函数图象关于y轴对称，其中，则（ ）
A．B．C．D．
7．“投壶”游戏源于周代的射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏，要求游戏者站在一定距离外，把箭投入壶中．甲、乙两人开始投壶游戏，约定规则如下：如果投一次，箭入壶中，原投掷入继续投，如果箭没有入壶，那么换另一个人投掷．若甲、乙两人投箭入壶成功的概率分别为，，甲先开始投掷，则第4次仍然由甲投掷的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取的所有员工的体重的方差为120，女员工的平均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为70，方差为30．若样本中有21名男员工，则女员工的人数为（ ）
A．28B．35C．63D．48
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．复数的共轭复数的虚部为1
B．已知复数为纯虚数，则
C．若复数在复平面内对应的点在第四象限，则
D．若，则
10．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于点对称
B．在区间上单调递增
C．若，其中，则
D．在区间上的值域为
11．已知事件A，B发生的概率分别为，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则事件A，B相互独立
B．若事件A，B互斥，则
C．若事件A，B相互独立，则
D．若事件B发生时事件A一定发生，则
三、填空题
12．已知单位向量满足，则 ，在方向上的投影向量等于 （用向量表示）．
13．已知，其中，若，则 ．
14．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若点P满足，且满足，则 ．
四、解答题
15．自农业农村部、财政部联合发布《2024—2026年农机购置与应用补贴实施意见》以来，广东省结合本省实际，制定措施积极推动农业机械化向智能化、绿色化升级．某地区在多家果蔬基地升级设备后，对果蔬基地在一段时间内的产量（单位：吨）做调查统计并将所有数据分成，，，四组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，求m的值并估计样本重量的中位数；
(2)根据频率分布直方图，估计样本重量的平均数与方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
16．已知，，其中，．
(1)求；
(2)求；
(3)求．
17．为了鼓励社会力量参与科技创新拔尖人才贯通式培育工作，提高青少年对人工智能的整体认知和应用水平，某地区面向该区青少年举办了“算法设计”科普公益大赛．
(1)若A，B，C三个赛区进入决赛的分别有1人、2人、3人，现需从这6人中随机选择2人组成一队进行模拟测试，求这两人来自同一个赛区的概率；
(2)某个算法编程题，若甲同学能解决的概率为0.8，乙同学能解决的概率为0.9，且甲、乙能否解决问题相互独立，求甲、乙两名同学中恰好有一位同学能解决该题的概率；
(3)对甲、乙两位同学进行两轮测试，若每轮测试中甲、乙同学各解决一道题，每一轮中的每一道题甲、乙能解决的概率分别为0.8和0.9，且在每轮测试中甲、乙能否解决问题互不影响，每一轮的结果也互相不影响，求两轮测试中甲、乙共能解决三道题的概率．
18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求；
(2)若，的面积为，求b；
(3)已知的外接圆半径为，的平分线交于点D，若，求的周长．
19．某人承包了一片长方形水域养殖水产，需要在四条边上建立三个饵料投放点，每个饵料投放点之间需要建一段浮桥．已知一个投放点M在的中点处，另外两个投放点N，P分别在，上，且要求与垂直，已知，．
(1)求的面积S的最大值；
(2)已知建造浮桥的费用为每米100元，预估造桥费用为Q元，求Q的取值范围．
1．B
法一：若，根据模长公式求解即可；法二：根据复数的除法运算及复数的模长公式即可求解.
【详解】法一：∵，∴.
法二：∵，∴.
故选：B.
2．A
根据同角三角函数的商数关系可得的值，结合二倍角公式与弦化切即可求解.
【详解】由题意得，所以.
故选：A.
3．D
由向量垂直的坐标表示列方程求参数值，再由向量数量积的运算律及模长的坐标运算求结果.
【详解】由，得，所以．
故选：D
4．C
由题可求出分层抽样比为，故五所学校抽取人数分别为：15，20，30，25，10，根据第40百分位数的定义即可求解.
【详解】由题可知分层抽样比为：，
故五所学校抽取人数分别为：15，20，30，25，10，排序后分别为10，15，20，25，30.
因为，所以该组数据的第40百分位数为.
故选：C.
5．B
根据题意作图，然后利用向量的线性运算求解即可.
【详解】如图所示，因为D为的边的中点，所以，
因为，所以，
．
故选：B.
6．A
根据辅助角公式化简可得，根据图象变换可得新函数的解析式为.根据新函数图象关于y轴对称，可得，即可求解.
【详解】，经过两次变换后，新函数的解析式为.
因为新函数图象关于y轴对称，所以，所以.
因为，所以.
故选：A.
7．D
根据题意确定基本事件，再应用独立乘法公式及互斥事件加法求概率即可.
【详解】第4次仍然由甲投掷分为四类：
第一类，前三次均为甲中，概率为；
第二类，第一次甲中，第二次甲不中，第三次乙不中，概率为；
第三类，第一次甲不中，第二次乙中，第三次乙不中，概率为；
第四类，第一次甲不中，第二次乙不中，第三次甲中，概率为．
所以第4次仍然由甲投掷的概率为．
故选：D
8．C
由题意，记样本中女员工的平均体重和方差分别为，，所占权重为，男员工的平均体重和方差分别为，，所占权重为，根据分层抽样的均值和方差公式即可求解的值，进而求解女员工的人数.
【详解】由题意，记样本中女员工的平均体重和方差分别为，，所占权重为，
男员工的平均体重和方差分别为，，所占权重为，
所以样本中全部员工的平均体重为，
方差
，
化简得，即，
解得或（舍），
所以女员工的人数为：.
故选：C.
9．ABD
根据复数的分类以及复数的几何意义逐一判断即可.
【详解】复数的共轭复数为，其虚部为1，所以A正确；
由且，得，所以B正确；
由且，得，所以C错误；
设，则，所以z在复平面内对应的点到点的距离为3，
所以z在复平面内对应的点到点的距离范围为，D正确．
故选：ABD
10．ACD
代入法验证对称中心判断A；根据正弦型函数的性质依次判断B、C、D.
【详解】由，A正确；
令，可得，
所以的单调递增区间为，，
显然不是上述区间的子集，B错误；
，
，一个为的最大值，另一个为的最小值，
由，则，C正确；
若，则，则，即，D正确．
故选：ACD
11．ABD
应用独立事件的判定得事件，B相互独立，即可判断A；由互斥事件概率求法、概率的基本性质依次判断B、C、D.
【详解】，，，
事件，B相互独立，则A，B相互独立，正确；
由，B互斥，则，正确；
，B相互独立，则，
∴，错误；
发生时A一定发生，，则，正确．
故选：ABD
12．
由已知并应用向量数量积的运算律求，根据投影向量的定义求在方向上的投影向量.
【详解】因为，所以，
又因为，所以，
所以．
故答案为：；.
13．/
由已知，商数关系及差角正弦公式得，再结合角的范围得，即可得.
【详解】，
由，则，
，，
.
故答案为：
14．/0.2
由借助正弦定理化简，得到的性质。再由向量条件得到点的性质，处理，得到的值,最后求出的值.
【详解】解：由正弦定理得，，，，
为等腰三角形．由得，，
，同理可证，，为的垂心．
如图，延长交于点D，则且D为的中点，，，且C，P，D三点共线，，，．，
，即，
，，
，
．
故答案为：
15．(1)，中位数为47.5；
(2)平均数47，方差81.
（1）由频率和为1列方程求参数值，根据中位数的定义及直方图求中位数即可；
（2）根据直方图中平均数求法、及方差公式求平均数和方差.
【详解】（1），．
，，
所以中位数落在区间内，设中位数为x，
由，得．
（2）平均数的估计值为，
方差的估计值为．
16．(1)；
(2)；
(3).
（1）由题设及和角正弦公式可得，两侧平方并应用平方关系、二倍角正弦公式即可得；
（2）应用平方关系求得，再由差角余弦公式即可得；
（3）由已知及二倍角余弦公式得，结合角的范围即可求值.
【详解】（1）由题意知，则，
，则．
（2）由题意，则．
，
．
（3），
由题意知，则．
17．(1)
(2)0.26
(3)0.3744
（1）根据古典概型概率公式即可求解；
（2）根据独立事件的乘法公式与互斥事件的概率加法公式即可求解；
（3）根据独立事件的乘法公式与互斥事件的概率加法公式即可求解.
【详解】（1）记来自A赛区的同学为，来自B赛区的同学为，，来自C赛区的同学为，，．设“从6人中随机选择2人”；“选择的两人来自同一个赛区”.
则
，有15种可能的结果.
，有4种可能的结果.
所以，所以这两人来自同一个赛区的概率为.
（2）设“甲能解决问题”，“乙能解决问题”，“甲不能解决问题”，“乙不能解决问题”，“甲、乙两名同学中恰好有一位同学能解决问题”，
显然，，，.
因为事件，互斥，事件D，E相互独立，
所以，
所以甲、乙两名同学中恰好有一位同学能解决该题的概率为0.26.
（3）设“两轮测试中甲解决一道题”，“两轮测试中甲解决两道题”，
“两轮测试中乙解决一道题”，“两轮测试中乙解决两道题”，
“两轮测试中甲、乙共解决三道题”．
；；
；．
因为，互斥，事件与，与相互独立，
所以，
所以两轮测试中甲、乙共能解决三道题的概率为0.3744．
18．(1)
(2)
(3)
（1）由正弦定理集合同角基本关系即可求解；
（2）根据已知条件先求出，结合正弦定理求出，根据面积公式即可求解；
（3）利用正弦定理求出值，再利用余弦定理求出，利用半角公式即面积公式求得，两式联立求出即可求解.
【详解】（1）由正弦定理，得，
，，，，
，，，
，又，．
（2）由（1）知，，，则．
．
由正弦定理得，，
，．
（3）由（1）知，，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
即．
平分，．
，．
，
，
化简得：，
代入，得，
，，
，的周长为．
19．(1)；
(2).
【详解】（1）设，由题意，
，，．
当N在D点时，θ最大，此时，，
当P在C点时，θ最小，此时，，
．
，
，，
当，即或时，．
（2）记的周长为L，由（1）知，
，
，
，．
令，则，
．
，，
，，
，
，
.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
D
C
B
A
D
C
ABD
ACD
题号
11









答案
ABD