广东省云浮市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份广东省云浮市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第三册，不等式，函数与导数．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】由，又，
所以.
故选：C
2. 曲线在处的切线斜率为2，则（ ）
A. B. 1C. 0D. e
【答案】A
【详解】由题设，且，可得.
故选：A
3. 在的展开式中，含的项的系数为（ ）．
A. 84B. 42
C. 21D. 7
【答案】C
【详解】由二项式定理可得：的展开式的通项为：，
所以在的展开式中，含的项的系数为．
故选：C.
4. 已知，，，则（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【详解】，
，
，
因为，
所以．
故选：A
5. 已知，函数在上是单调函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】对于，，结合相关幂函数性质，易知其在上单调递增，故函数在R上单调递增，
所以，即.
故选：D.
6. 已知一组样本点组成一个样本，得到的经验回归方程为，且其平均数，若增加两个样本点和，得到新样本的经验回归方程为，则（ ）．
A. 0.25B. C. 0.5D.
【答案】B
【详解】由题可知原数据，
则新样本的平均数，，
所以．
故选：B.
7. 假设某厂包装食盐的生产线，生产出来的食盐质量服从正态分布（单位：g），该生产线上的检测员某天随机抽取了四包食盐，则恰有两包食盐的质量不低于的概率为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】每包食盐的质量不低于的概率为，抽取了四包食盐，
则四包食盐质量不低于的包数服从二项分布，
所以恰有两包食盐的质量不低于的概率为．
故选：A
8. 已知函数的定义域为R，满足，且，则下列结论一定正确的是（ ）．
A B.
C. D.
【答案】B
【详解】令，则，
所以，故A，C错误；
令，则，
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 小张同学收集了某商品销售收入y（单位：万元）与相应的广告支出x（单位：万元）共10组数据，绘制出散点图，如下图所示，并利用线性回归模型进行拟合．她将图中10个点中的A点去掉后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（ ）．
A. 决定系数变大
B. 残差平方和变大
C. 相关系数r的值变大
D. 去掉A点后，若所有散点都在一条直线上，则决定系数
【答案】ACD
【详解】由散点图可知，点较其他点偏离直线更远，
去掉点后，回归效果更好，残差平方和变小，决定系数变大；
自变量与因变量的相关性变强，又与正相关，所以相关系数的值变大；
当所有散点都在一条直线上时，残差平方和为，决定系数，
故ACD正确，B错误.
故选：ACD.
10. 已知函数，则（ ）．
A. 图象关于点对称
B. 的极大值点为
C. 在区间上的值域为
D. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数t的值为
【答案】AC
【详解】因为函数为奇函数，其图象关于原点对称，把函数图象向上平移4个单位长度得到的图象，所以A正确．
因为，所以，
令，解得或，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故的极大值点为，B错误．
又的极大值为，极小值为，，，
所以在区间上的值域为，C正确．
画出函数的图象，如图所示，
由得，
若关于x的方程有两个不相等的实数根，
则函数的图象与直线有两个交点，
由图象知或，所以t的值为或，D错误．
故选：AC.
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）．
A. 存在实数a，使得的图象关于y轴对称
B. 存在实数，使得有零点
C. 当时，在上的最小值小于
D 当时，，
【答案】ACD
【详解】当时，，此时的图象关于y轴对称，A正确．
令，则，因为
当时，
，又，当且仅当时，等号成立，
所以关于x的方程无解，B错误．
当时，，其中，则．
因为函数，在上均为增函数，
所以函数在上为增函数．
因为，，
所以存在，使得，则．
当时，，
当时，，
所以上单调递减，在上单调递增，
所以
．
因为，所以，则，
所以，
所以，且，C，D正确．
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若函数，则______．
【答案】##
【详解】令，则，则．
故答案为：
13. 已知函数是定义在R上的奇函数，当，且时，都有成立，则不等式的解集为______．
【答案】
【详解】当，且时，都有成立，则在R上单调递增．
又是定义在R上的奇函数，所以的图象关于点对称．
由不等式，可得，解得，
故不等式的解集为．
故答案为：．
14. 在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”排成一行组成的序列．
①某信号是由3个1和3个0组成，则3个0不相邻的信号有______种；
②某信号是一个6位的序列，则含有连续子序列101的序列有______个．（例如101001，110100符合题意）
【答案】 ①. 4 ②. 27
【详解】①3个0不相邻的信号有种．
②考虑出现子序列101时，可能出现的位置有4个，依次对应的序列放入集合，，，中（101XXX，X101XX，XX101X，XXX101），记为集合中元素的个数，
则，再考虑重复的序列，，
，，任意多于2个集合的交集均为空集，
所以含有连续子序列101的序列有个．
故答案为：4，27
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某工厂生产了两批次某种产品，现从这两批次产品中共抽取800件进行检测，其中第一批次的产品占了．检测数据如下，第一批次的次品件数与第二批次的次品件数相同，在合格品中，第二批次的合格品占了．
（1）根据题中信息，完成下面列联表；
单位：件
（2）根据小概率值的独立性检验，能否认为产品检测结果与生产批次有关联？
附：，．
【答案】（1）列联表见解析
（2）产品检测结果与生产批次有关联
【小问1详解】
从第一批次的产品中抽取了件，
从第二批次的产品中抽取了件．
设第二批次的合格品有件，则第一批次的合格品有件，
故，解得．
列联表如下：
【小问2详解】
提出零假设：产品检测结果与生产批次没有关联．
由，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即产品检测结果与生产批次有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005．
16. 已知函数．
（1）当时，求的极大值；
（2）讨论的单调性；
（3）若，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）．
【小问1详解】
当时，，
的定义域为，．
令，得．
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
故当时，有极大值，且极大值为．
【小问2详解】
的定义域为，．
当时，，在上单调递增．
当时，令，得或（舍去）．
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
【小问3详解】
由（2）知，当时在上单调递增，当时，，
故不成立．
当时，．
由，得，
即．
令，则，故．
由，
因为，所以，
得函数在上单调递增，故．
综上，实数a的取值范围是．
17. 已知甲袋子装有编号分别为1，2，3的三个红球和编号分别为1，2，3的三个白球（小球除编号、颜色外完全相同）．
（1）从甲袋中一次性摸出两个小球，记事件A为“摸到的两个小球颜色相同”，事件B为“摸到的两个小球的编号之和大于4”，判断A，B是否相互独立，并说明理由．
（2）现从甲袋中不放回地摸球，直到摸出所有白球，则停止摸球．
（ⅰ）若每次摸出一个小球，求恰好摸四次就停止摸球的概率；
（ⅱ）若每次摸出两个小球，求恰好摸两次就停止摸球的概率．
【答案】（1）A，B相互独立，理由见解析
（2）（ⅰ）；（ⅱ）
【小问1详解】
从甲袋中一次性摸出两个小球，不同的组合有种；
摸到的两个小球颜色相同有两种情况：两个红球或两个白球.其中从三个红球中摸出两个红球，不同的组合有种；从三个白球中摸出两个白球，不同的组合有种；故事件A包含的组合有种.
摸到的两个小球的编号之和大于4有两种情况：编号2,3组合或编号3,3组合，其中编号2,3组合的不同组合有种；编号3,3组合的不同组合有种；故事件B包含的组合有种.
摸到的两个小球颜色相同且编号之和大于4有两种不同的组合方式：编号2,3红球组合和编号2,3白色组合.
所以根据古典概型的概率公式可得：
，，
.
因为，
所以A，B相互独立．
【小问2详解】
（ⅰ）若每次摸出一个小球，摸四次包含的不同摸法有种；
恰好摸四次就停止摸球指的是前三次中有一次摸到红球，两次摸到白球，第四次摸到白球，包含的不同摸法有种；
所以由古典概型的概率公式可得：
若每次摸出一个小球，求恰好摸四次就停止摸球的概率为．
（ⅱ）若每次摸出两个小球，摸两次的不同摸法有种；
恰好摸两次就停止摸球包含两种情况：第一次摸到一红球一白球，第二次摸到两个白球或第一次摸到两个白球，第二次摸到一红球一白球，不同的摸法有种；
所以若每次摸出两个小球，求恰好摸两次就停止摸球的概率为．
18. 小明参加答题闯关游戏，需要从A，B两个题库中各任选一个题目，并选择这两题的答题顺序.答对第一题和第二题获得的奖励分别为100元和200元.已知小明答对A，B两个题库中题目的概率依次为，每次回答问题是否正确相互独立.
（1）规定无论是否答对第一题，都可以答下一题.已知小明第一题选择A题库的题目作答的概率为.
（i）求小明恰好获得100元奖金的概率；
（ii）求小明在答对第一题的条件下，第二题也答对的概率.
（2）若规定只有答对第一题才有资格答下一题，为使得小明最后获得奖金的数学期望最大，第一题应该回答哪个题库中的题目？
【答案】（1）（i）；（ii）；
（2）第一题选题库中的题目，理由见解析.
【小问1详解】
（i）由题设，小明第一题选择A题库概率为，则第一题选择B题库概率为，
当第一题选库且答对，第二题选库且答错，则概率为，
当第一题选库且答对，第二题选库且答错，则概率为，
所以小明恰好获得100元奖金的概率为；
（ii）若表示第题为库，表示第题为库，表示第题答对，且，
所以，
，
综上，小明在答对第一题的条件下，第二题也答对的概率；
【小问2详解】
由题设，第一题答错0元，第一题答对且第二题答错100元，第一、二题都答对300元，结合（1）中所设事件，
若第一题为，第二题为，则，，，
此时期望；
若第一题为，第二题为，则，，，
此时期望；
所以，则小明最后获得奖金的数学期望最大，第一题选题库中的题目.
19. 我们把有两个自变量的函数称为“二元函数”，对于二元函数，若存在正数m，满足，，则称具有性质T．已知二元函数．
（1）若恒成立，求a的取值范围．
（2）已知正数m，满足．
（ⅰ）证明：．
（ⅱ）证明：具有性质T．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析
【小问1详解】
，
令，则．
令，得，令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，即a的取值范围为．
【小问2详解】
证明：（ⅰ）正数m，n满足，
则，故，．
不妨设，则由（1）知，．
构造函数，
则，
所以函数在上单调递增，
所以当时，，即当时，，
所以，
又在上单调递增，所以，即．
（ⅱ）正数m，n满足，则，
要证，只需证，
即证．
不妨设，则，
两边取指数得，化简得，设，则．
而，当时，，
当时，，
得在，上单调递减，在上单调递增（如图所示），
要使且，则，，
即，从而，．
要证，只需证．
由于在上单调递增，因此只需证，
又，所以只需证，
所以，则．
设，则．
设，则，在上单调递增，
所以，从而，
所以在上单调递减，从而，
则，所以，
故具有性质T．生产批次
产品检测结果
合计
次品
合格品
第一批次
第二批次
合计
800
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
生产批次
产品检测结果
合计
次品
合格品
第一批次
80
240
320
第二批次
80
400
480
合计
160
640
800