广西南宁市邕宁区2025年6月中考素养测试卷数学试卷（解析版）

这是一份广西南宁市邕宁区2025年6月中考素养测试卷数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. ﹣5的绝对值是（ ）
A. 5B. ﹣5C. D.
【答案】A
【解析】|﹣5|=5．
故选A．
2. 下列美术字中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来图形重合，所以是中心对称图形，符合题意；
故选：．
3. 细胞是一切生物体结构和功能的基本单位，细胞的结构主要有细胞膜、细胞质和细胞核三个部分，在电子显微镜下观察细胞，可以区分为膜相结构和非膜相结构，细胞膜是细胞表面的一层薄膜，它的厚度大约是纳米（即米）．将用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据科学记数法要求小数点从原位置移动到7后面，动了有9位，从而用科学记数法表示为，
故选：B．
4. 中国古代的数学研究成果辉煌，产生的一些数学名词，颇有趣味．如《九章算术》中的“刍童”，原指上、下底面都是长方形的草垛．如图是一个“刍童”形状的几何体，它的主视图和左视图如图所示，则其俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】俯视图是
故选：D ．
5. 山西是全国古建筑遗存最多的省份，被誉为“中国古代建筑宝库”，小明一家准备周末前往山西游玩，他们想在“王家大院”、“平遥古城”、“小西天”、“悬空寺”这四个景点中任意选择一个游玩，则选到“小西天”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵在“王家大院”、“平遥古城”、“小西天”、“悬空寺”这四个景点中任意选择一个游玩，∴选到“小西天”的概率是，故选：C.
6. 为保障学生的睡眠时间，教育部规定，小学生上课时间不能早于．如图，8点钟时，分针与时针所夹的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵钟面被等分成12份，每一份对应的圆心角为，
∵时，分针指向12，时针指向8，
∴此时所成的角为．
故选：D．
7. 在平面直角坐标系中，若点的坐标为，则点到轴的距离是（ ）
A. 1B. C. 3D.
【答案】C
【解析】点到轴的距离是．
故选C．
8. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、，所以A选项错误，不符合题意；
B、，所以B选项正确，符合题意；
C、，所以C选项错误，不符合题意；
D、，所以D选项错误，不符合题意；
故选：B．
9. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】点在反比例函数的图象上，
，
，
同理可得：，，
，
，
故选：B．
10. 若a，b是方程的两根，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 a，b是方程的两根，
，，
∴，
故选D
11. 文化情境·数学文化 《九章算术》是我国古代的第一部自成体系的数学专著，其中的许多数学问题是世界上记载最早的，《九章算术》卷七“盈不足”有如下记载：今有共买琎（jin），人出半，盈三；人出少半不足二，问人数，琎价各几何？译文：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多3钱；每人出钱，又差2钱，问人数和琎价各是多少？设人数为，则依据题意，下列方程正确的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得，，
故选：A．
12. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）
A. B. ﹣1C. D.
【答案】B
【解析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，设AC＝x，则：BC＝x，AB＝，CD＝，
故选：B.
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13. 比较大小：______1．（填“”，“”，“”）
【答案】
【解析】，
，
故答案为：．
14. 分解因式：______．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
15. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____．
【答案】
【解析】由题意得：，
∴，
如图，过作于点，交于点，
∴，，
∴，即，
∴（），
即小孔到的距离为，
故答案为：．
16. 廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图．已知水面宽米，抛物线最高点C到水面的距离为米，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离等于
_____米．
【答案】
【解析】如图，以所在直线为 x 轴、线段 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系，
由题意知，．
设过点A， B， C 的抛物线方程为，
把点的坐标代入，得
，
解得： ，
则该抛物线的解析式为：，
把 代入,得 ，
即 ，
∴，
所以两盏警示灯之间的水平距离为： ，
故答案为：
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. （1）计算：
（2）解不等式组：
解：（1），
，
，
；
（2），
解不等式，得，
解不等式，得，
不等式组的解集为．
18. 如图，有一块三角形硬纸板，其中，现要从中剪下一个以为底边的等腰．
（1）在图中用直尺和圆规作出符合要求的等腰（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）求等腰的面积．
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：，，，
，
，
设，则有，
，
，
的面积．
19. 某项活动的比赛成绩分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，为了解该项活动的比赛成绩，抽取了部分同学的成绩进行统计，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：
（1）扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为 度，并将条形统计图补充完整．
（2）若参加比赛的共有550名学生，则成绩良好的学生有 人．
（3）此次活动中甲，乙，丙，丁四名同学获得满分，现从这四名同学中随机抽取两名同学参加该项目活动的展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲和乙的概率．
（1）解∶抽取的学生人数为 (人)，
扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为
故答案为∶72；
“良好”等级的学生人数为 (人)，
补全条形统计图如图所示
（2）解：成绩良好的学生约有（人），
故答案为：220；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲和乙的结果有∶甲乙，乙甲，共2种．
选中的两名同学恰好是甲和乙的概率为．
20. 某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价；
（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？
解：（1）设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为元，
根据题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；
（2）甲乙两种商品的销售量为，
设甲种商品按原销售单价销售a件，则
，
解得，
答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．
21. 如图，在中，，在斜边上取一点，以为直径作分别交，于点，且为的切点，连接并延长交于点，连接，已知．
（1）求证：是等边三角形；
（2）求证：是的切线；
（3）若的半径为3，求的长．
（1）证明：连接，，
为的切点，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
是等边三角形；
（2）证明：是等边三角形，
，
，
，
，
，
，，
，
，
是的半径，
是的切线；
（3）解：过作于，
，
∴四边形是矩形，
，
，，
，
，
在中，，，
，
．
22. 实践与探究
田径比赛中，在进行4000米比赛时，运动员的起跑点并不处在同一条线上，为什么这样呢？如果比赛的起点和终点同在一条直线上，显然，对内侧跑道上的运动员较为有利．原因
【问题情境】
如图①是某校操场实物图，图②是操汤示意图，每条跑道由两条直的跑道和两端是半圆形的跑道组成，每两条跑道之间的距离是相等的，活动小组对学校操场跑道最内圈长为400米的跑道进行规划设计，且最内圈两端半圆弧的半径R为36米．（π取3.14）
【数据计算】
（1）分别求出最内圈两端半圆形跑道的总长度和直道总长度；
（2）在活动中发现最外沿跑道周长b随跑道宽度a(距最内圈的距离)的变化而变化，请完成下表：
直接写出b关于a的函数解析式；
【问题解决】
（3）现学校计划铺设宽度为1米的跑道共8条，则该校操场最外沿道路周长为多少米？
（4）若欲在该径赛场地举行200米短跑决赛，终点设在所在直线上，起点设在图②所示的右侧弯道处，且外圈跑道的起跑点在内圈跑道起跑点的前方，如图③所示，第1道、第2道、第3道，起跑线、中，与的长相等．求的长．（结果精确到米）
解：（1）最内圈两端半圆形跑道的总长度：(米)，
直道的总长度：(米)，
（2）设最外沿跑道周长与跑道宽度a的函数解析式为：，
当时，，当时，，代入解析式得：
，
解得：，
最外沿跑道周长与跑道宽度a的函数解析式为：，
当时，（米），
当时，（米），
故答案为：，，；
（3）(米)，
把代入中得：(米)，
∴该校操场最外沿跑道的周长约为米；
（4）∵最内圈跑道的总长度为400米，进行200米的短跑决赛，终点在所在直线上，
∴第1道的运动员通过一个完整的半圆形弯道，运动员在直道所跑的路程是相同的，在半圆形跑道所跑的路程也是相同的，即第1道半圆周长第2道半圆周长的长，
的长(米)，
即的长约为米．
23. 某数学兴趣小组在学完《特殊的平行四边形》一章后，对特殊平行四边形进行了探究，探究过程如下：
特例感知】
（1）如图1，在正方形中，是对角线上一点，满足，过点作交延长线于点，是线段上一点，是射线上一点，．求证：．
【深入理解】
（2）如图2，在菱形中，点，分别在射线和射线上，满足，点，分别在线段和线段上，．探究和之间的数量关系，并说明理由．
【感悟应用】
（3）如图3，将【特例感知】中的“正方形”更换为“矩形”，其他条件保持不变．若，，当点在直线上时，求的长．
（1）证明：∵四边形是正方形，，
∴，
∵，即，
∴，
∵，∴，∴；
（2）解：，理由如下：
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，即，
∵，∴，∴；
（3）解：如图，点在直线上，
同理（1）（2）可得：，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，，
∴，
设，则，，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴；
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
跑道宽度a/米
0
1
2
3
4
跑道周长b/米
400