2025届江苏省如皋市高三下第三次适应性考试（三）数学试卷（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 设集合，则（ ）
2. 已知，为平面内一组基底，，，，若A，B，D三点共线，则a的值为（ ）
3. 在等比数列中，，，则（ ）
4. 已知9个数据：，，，，的均值为，方差为2，现将加入，则新数据的方差为（ ）
5. 已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（ ）
6. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在C上，过A作l的垂线，垂足为．若，则（ ）
7. 已知正三棱台，，点O为底面，的重心，过点O，，的截面将该三棱台分成两个几何体，则这两个几何体的体积之比为（ ）
8. 已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若与的图象关于y轴对称，则的最小值为（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则下列说法正确的有（ ）
10. 已知函数，则（ ）
11. 已知数列，设，若满足性质：存在常数c，使得对于任意两两不等的正整数i、j、k，都有，则称数列为“梦想数列”，下列结论正确的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 已知正四棱台上底面边长为，下底面边长为，高为3，则该四棱台外接球的表面积为_______．
13. 函数的最小值为______．
14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，轴上方的两点分别在双曲线的左右两支上，梯形两底边满足，以为直径的圆过右焦点，则双曲线的离心率为_______．
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 如图，在四棱锥中，，，且，分别是的中点．

(1)求证：；
(2)若平面平面，直线与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值．
16. 已知一个黑色袋子里装有2个红球，4个白球，这些球除颜色不同外，其余均相同，甲同学每次从袋子中任取一个球，不放回，直到把两个红球都取出来即终止，记此时袋子里剩余球的个数为X．
(1)求甲同学取球两次即终止的概率；
(2)求随机变量X的分布列及期望．
17. 在锐角中，内角、、的对边分别为、、，面积为，满足．
(1)求证：；
(2)求的取值范围．
18. 已知O为坐标原点，椭圆的离心率，椭圆C的左、右焦点分别为，，焦距为．定义椭圆C上点的“和点”为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)记OP，OQ的斜率分别为，，求的取值范围；
(3)若直线l交椭圆C于A，B两点，点A，B的“和点”分别为，，且，求面积的最大值．
19. 定义：函数图象上不同的三点A，B，C，它们的横坐标成等差数列，且该函数在点B处切线的斜率恒小于直线AC的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差偏移”函数，设．
(1)讨论的极值；
(2)若是其定义域上的“等差偏移”函数，求a的取值范围；
(3)当时，数列满足，，记前n项和为，试证明：．
2025届江苏省如皋市高三第三次适应性考试（三）数学试卷
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、平面向量、数列、计数原理与概率统计、平面解析几何、空间向量与立体几何、三角函数与解三角形、函数与导数、复数
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．2
B．
C．0
D．1
A．36
B．
C．
D．6
A．
B．2
C．
D．18
A．2
B．4
C．5
D．10
A．2
B．4
C．6
D．8
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．若则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
A．有两个极值点
B．的对称中心为
C．过点作曲线的切线有三条
D．若函数的一个零点在之间，则它所有零点都在之间
A．若，则数列为“梦想数列”
B．若数列是“梦想数列”，则常数
C．若数列的前n项和，则数列为“梦想数列”
D．若数列是“梦想数列”，则为等差数列
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
2
较易
5
适中
8
较难
4
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
交集的概念及运算；解不含参数的一元二次不等式；分式不等式
2
0.94
已知向量共线（平行）求参数；向量加法的法则；用基底表示向量
3
0.85
等比数列下标和性质及应用
4
0.85
计算几个数的平均数；计算几个数据的极差、方差、标准差
5
0.85
直线过定点问题；直线与圆的位置关系求距离的最值
6
0.65
抛物线定义的理解；根据抛物线方程求焦点或准线
7
0.65
台体体积的有关计算
8
0.4
求图象变化前（后）的解析式；函数图象的变换；诱导公式五、六；辅助角公式
二、多选题
9
0.85
复数的基本概念；复数的坐标表示；求复数的模；复数的乘方
10
0.65
求过一点的切线方程；用导数判断或证明已知函数的单调性；求已知函数的极值；利用导数研究函数的零点
11
0.4
判断等差数列；数列新定义；求等差数列前n项和
三、填空题
12
0.85
球的表面积的有关计算；多面体与球体内切外接问题
13
0.65
利用函数单调性求最值或值域；由导数求函数的最值（不含参）；用导数判断或证明已知函数的单调性；根据解析式直接判断函数的单调性
14
0.65
利用定义解决双曲线中焦点三角形问题；求双曲线的离心率或离心率的取值范围
四、解答题
15
0.65
证明线面垂直；面面角的向量求法
16
0.65
计算古典概型问题的概率；写出简单离散型随机变量分布列；求离散型随机变量的均值
17
0.65
求含csx的二次式的最值；正弦定理边角互化的应用；三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形
18
0.4
椭圆中三角形（四边形）的面积；求椭圆中的最值问题；根据a、b、c求椭圆标准方程
19
0.4
函数新定义；求曲线切线的斜率（倾斜角）；求已知函数的极值；利用导数证明不等式
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1
2
等式与不等式
1
3
平面向量
2
4
数列
3,11
5
计数原理与概率统计
4,16
6
平面解析几何
5,6,14,18
7
空间向量与立体几何
7,12,15
8
三角函数与解三角形
8,17
9
函数与导数
8,10,13,19
10
复数
9