2024~2025学年上海市奉贤区高三上学期期中联考数学试卷【有解析】

这是一份2024~2025学年上海市奉贤区高三上学期期中联考数学试卷【有解析】，共21页。试卷主要包含了答题时可使用符合规定的计算器等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟；
2．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；
3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；
4．答题时可使用符合规定的计算器．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1. 设全集，若集合，则______．
【正确答案】
【分析】解绝对值不等式求集合A，应用集合补运算求.
【详解】由题设或，又，
所以.
故
2. 若幂函数 的图象经过，则此幂函数的表达式为___________.
【正确答案】
【分析】将点的坐标代入函数表达式算出参数即可得解.
【详解】由题意得，所以，解得，
所以此幂函数的表达式为.
故答案为.
3. 不等式的解集是__________．
【正确答案】
【分析】化为整式不等式求解.
【详解】不等式等价于，解得，
所以不等式的解集是.
故
4. 已知是上的奇函数，则的值为______．
【正确答案】
【分析】首先根据奇函数的性质求，再代入求.
【详解】因为是上的奇函数，
所以，解得：，
，则.
故答案为.
5. 已知空间向量，，，若，则______．
【正确答案】
【详解】，
，，，
解得，
故答案为.
6. 已知，的二项展开式中各项系数和为729，则展开式中项的系数是______．
【正确答案】60
【分析】由二项展开式的各项系数和为729，求出，用通项公式求解即可.
【详解】因为的二项展开式的各项系数和为729，
令，得，解得，
所以展开式的通项公式为，
令，得，
所以项的系数为.
故60.
7. 已知圆锥的侧面积为，且侧面展开图为半圆，则该圆锥的底面半径为______．
【正确答案】
【分析】设圆锥底面半径为，母线长为，根据条件列方程，可求的值.
【详解】设圆锥底面半径为，母线长为.
由圆锥的侧面积为，所以.
由圆锥侧面展开图为半圆，所以.
所以.
故
8. 现从名男医生和名女医生中抽取两人加入“援沪医疗队”，用表示事件“抽到的两名医生性别同”，表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则__________.
【正确答案】13
【分析】结合分类计数原理，计算出抽到的两名医生性别相同的概率，计算出抽到的两名医生都是女医生的概率，从而结合条件概率的计算公式即可求出.
【详解】由题意知，，，
所以.
故13.
9. 已知在等比数列中，、分别是函数的两个驻点，则_____________．
【正确答案】
【分析】根据题意利用导数及韦达定理可得，的关系，后利用等比数列的性质可得答案.
【详解】由题意可得：，
则、是函数零点，则，
且为等比数列，设公比为，
可得，解得，
注意到，可得.
故答案为.
10. 若､是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为________.
【正确答案】
【分析】根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c=a，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C的离心率.
【详解】因为△ABF2为等边三角形，可知，
A为双曲线上一点，，
B为双曲线上一点，则 ，即，
∴
由，则，已知，
在△F1AF2中应用余弦定理得：，
得c2=7a2，则e2＝7⇒e＝
故
方法点睛：求双曲线的离心率，常常不能经过条件直接得到a，c的值，这时可将或视为一个整体，把关系式转化为关于 或的方程，从而得到离心率的值.
11. 若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为______
【正确答案】
【分析】利用的图像与性质，直接求出函数的零点，再利用题设条件建立不等关系且，从而求出结果.
【详解】因为，由，得到，
所以或，
所以或，
又因为存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，所以
且，即且，解得.
故
12. 已知函数的图像与直线：交于点，，其中，与直线：交于两点、，其中，则的最小值为__________.
【正确答案】
【分析】根据的单调性，易得，，即，从而得到，同理得到，再利用基本不等式求解.
【详解】解：当时，，则，
所以在上递增，且；
当时，，则，
所以在上递增，若要使，则，
所以，
因为函数的图像与直线：交于点，，
所以，，
所以，即，
所以，同理，
所以，
，
当且仅当，即，等号成立，
所以的最小值为.
故
思路点睛：首先确定函数每段的单调性，从而得到交点横坐标的关系，建立模型，再利用基本不等式求解.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 设复平面上表示和的点分别为点A和点B，则表示向量的复数在复平面上所对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限
【正确答案】A
【分析】由复数的几何意义求出，即可得出向量的复数在复平面上所对应的点所在象限.
【详解】复平面上表示和的点分别为点A和点B，
则，所以，
所以向量的复数在复平面上所对应的点位于第一象限.
故选：A
14. 已知抛物线，过焦点F且斜率为的直线与抛物线交于两个不同的点A、B，则线段AB的长为（ ）
A. B. C. 40D. 20
【正确答案】D
【分析】设直线的点斜式，与抛物线方程联立，消去，利用韦达定理求出，再利用弦长公式求弦长.
【详解】易知，则直线.
代入，得，整理得.
设，，则.
所以，所以.
所以.
故选：D
15. 如图，在正方体中，点是线段上的动点，下列与始终异面的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据异面直线的定义一一判定即可.
【详解】对于A，连接，当为中点时，，因为，
所以四点共面，则、在平面上，故A不符合题意；
对于B，因为，所以四点共面，平面，
平面，，所以与始终是异面直线，故B符合题意；
对于C，当与重合时，因为，所以，故C不符合题意；
对于D，当与重合时，设，则，
故D不符合题意.
故选：B.
16. 已知，集合，，. 关于下列两个命题的判断，说法正确的是（ ）
命题①：集合表示的平面图形是中心对称图形；
命题②：集合表示的平面图形的面积不大于.
A. ①真命题；②假命题B. ①假命题；②真命题
C. ①真命题；②真命题D. ①假命题；②假命题
【正确答案】A
【分析】根据是奇函数，可以分析出当时，所以集合表示的平面图形是中心对称图形；结合集合代表的曲线及不等式的范围可以确定集合表示的平面图形，从而求得面积，与进行比较.
【详解】对于，集合关于原点中心对称，且函数是奇函数，
若则则，
即若则，即集合表示的平面图形是关于原点中心对称图形，故①是真命题；
对于，
由即知，
设，则与一一对应且随的增大而增大，，
又由知，
结合知在范围内，与一一对应且随的增大而减小，
所以在范围内，与一一对应且是关于的减函数，
由①可知图象关于原点中心对称，所以可得到在的图象，如图

代入点可得，所以的区域是右半部分，
面积为正方形面积的一半，即集合表示的平面图形的面积，故②是假命题.
故选：A.
方法点睛：确定不等式表示的区域范围
第一步：得到等式对应的曲线；
第二步：任选一个不在曲线上的点，若原点不在曲线上，一般选择原点，检验它的坐标是否符合不等式；
第三步：如果符合，则该点所在的一侧区域即为不等式所表示的区域；若不符合，则另一侧区域为不等式所表示的区域.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．
17. 如图，在四棱锥中，，且．
（1）证明：平面平面；
（2）若，，且四棱锥的体积为，求与平面所成的线面角的大小．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）．
【分析】（1）利用面面垂直的判定定理证明；
（2）根据线面垂直的判定定理证明得底面，再根据四棱锥的体积公式求出，从而用线面角的定义求解.
【小问1详解】
因为在四棱锥中，，
所以，，
又，所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面．
【小问2详解】
取中点，连结，
因为，所以，
由（1）知平面，平面，所以，
因为， 底面，
所以底面，
设，求得，，
因为四棱锥的体积为，
所以
解得，
所以，
因为底面，
所以为与平面所成的角，
在中，，
所以．
所以与平面所成的线面角为．
18. 在锐角三角形中，角的对边分别为，为在方向上的投影向量，且满足.
（1）求的值；
（2）若，求的周长.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）依题意可得，即可得到，利用正弦定理将边化角，即可得到，再由平方关系计算可得；
（2）利用正弦定理将边化角，结合两角和的正弦公式及（1）的结论得到，从而求出、，再由正弦定理求出，即可求出，从而得解.
【小问1详解】
由为在方向上的投影向量，则，
又，即，
根据正弦定理，，
在锐角中，，则，即，
由，则，整理可得，解得（负值舍去）.
【小问2详解】
由，根据正弦定理，可得，
在中，，则，
所以，所以，
由（1）可知，则，
由，则，解得（负值舍去），
根据正弦定理，可得，则，，
故的周长.
19. 在全民抗击新冠疫情期间，某校开展了“停课不停学”活动，一个星期后，某校随机抽取了100名居家学习的高二学生进行问卷调查，得到学生每天学习时间(单位：)的频率分布直方图如下，若被抽取的这100名学生中，每天学习时间不低于8小时有30人.
（1）求频率分布直方图中实数的值；
（2）每天学习时间在的7名学生中，有4名男生，3名女生，现从中抽2人进行电话访谈，已知抽取的学生有男生，求抽取的2人恰好为一男一女的概率；
（3）依据所抽取的样本，从每天学习时间在和的学生中按比例分层抽样抽取8人，再从这8人中选3人进行电话访谈，求抽取的3人中每天学习时间在的人数分布和数学期望.
【正确答案】（1），
（2）
（3）分布列详见解析，数学期望为
【分析】（1）根据频率分布直方图的知识求得.
（2）根据古典概型的知识求得所求概率.
（3）根据超几何分布的的知识求得分布列并求得数学期望.
【小问1详解】
.
，解得.
【小问2详解】
已知抽取的学生有男生，
则抽取的2人恰好为一男一女的概率为.
【小问3详解】
每天学习时间在和的学生比例为，
所以在的学生中抽取人，在的学生中抽取人.
再从这8人中选3人进行电话访谈，
抽取的3人中每天学习时间在的人数的取值为，
，
，
，
所以的分布列如下：
数学期望
20. 已知椭圆的左､右焦点分别为.
（1）以为圆心的圆经过椭圆的左焦点和上顶点，求椭圆的离心率；
（2）已知，设点是椭圆上一点，且位于轴的上方，若是等腰三角形，求点的坐标；
（3）已知，过点且倾斜角为的直线与椭圆在轴上方的交点记作，若动直线也过点且与椭圆交于两点（均不同于），是否存在定直线，使得动直线与的交点满足直线的斜率总是成等差数列？若存在，求常数的值；若不存在，请说明理由.
【正确答案】（1）
（2）答案见解析 （3）存在，，理由见解析
【分析】（1）由题意知，即可知离心率；
（2）分，和三种讨论即可；
（3）设直线，联立椭圆方程得到韦达定理式，计算，将韦达定理式整体代入，再计算，得到方程即可.
【小问1详解】
由题意得即，所以离心率.
【小问2详解】
由题意得椭圆
①当时，由对称性得.
②当时，，故，设，
由得，
两式作差得，
代入椭圆方程，得（负舍），故
③当时，根据椭圆对称性可知.
【小问3详解】
由题意得椭圆.
设直线，
由得.
设，则，
，
，
由，得.
关键点睛：对于第三问，我们通常选择设线法，设直线，从而将其与椭圆方程联立得到两根之和与之积式，然后再计算出值，再将韦达定理式整体代入，当然本题也可引入，设直线.
21. 若函数在处取得极值，且（常数），则称是函数的“相关点”.
（1）若函数存在“相关点”，求的值；
（2）若函数（常数）存在“1相关点”，求的值：
（3）设函数的表达式为（常数且），若函数有两个不相等且均不为零的“2相关点”，过点存在3条直线与曲线相切，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）函数在 上单调递减，在上单调递增，可得为函数的极值点，进而结合题意即可求解；
（2）由题意可得，即得，设，结合导数可得函数上单调递增，且，进而求解；
（3）由，可得，设，为函数的“2相关点”，则，，进而可得，，，故，再结合导数的几何意义求解即可.
【小问1详解】
函数的对称轴为，
且函数在 上单调递减，在上单调递增，
所以为函数的极值点，
因为函数存在“相关点”，
由题意可得，，解得.
【小问2详解】
由，则 ，
由题意可得，，即，即，
设，则，
所以函数在上单调递增，且，
所以方程存在唯一实数根1，即，即，
此时，则，
令，即；令，即，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极值点为1，所以1是函数的“1相关点”，
所以.
【小问3详解】
由，得，即，
设，为函数的“2相关点”，则，
另一方面，，所以，
所以且，解得，，，
故，则，
因为过点存在3条直线与曲线相切，
设其中一个切点为，则，
整理得，
设，且函数有三个不同的零点，
则，
令，则；令，则或.
所以函数在和上单调递减，在上单调递增，
所以，即，即实数的取值范围为.
方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.