2024~2025学年江西省赣州市高三上学期第一次月考数学试卷（12月份）附解析

这是一份2024~2025学年江西省赣州市高三上学期第一次月考数学试卷（12月份）附解析，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）若z+1z−1=2i，则z=（ ）
A．45−35iB．45+35iC．35−45iD．35+45i
2．（5分）已知集合A＝{x|lg2（x+1）≤2}，B＝{﹣3，﹣1，2，5}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣3，﹣1}B．{﹣1，2}C．{2}D．{2，5}
3．（5分）设a，b∈R，则“1a＞b＞0”是“a＜1b”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（5分）在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD=2，∠A＝45°，DE→=2EC→，则AE→•BE→=（ ）
A．1B．32C．2D．3
5．（5分）在△ABC中，若AB→⋅BC→+AB→2=0，则△ABC的形状一定是（ ）
A．等边三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．钝角三角形
6．（5分）已知函数f（x）＝x2+2csx，设a＝f（0.20.3），b＝f（0.30.2），c＝f（lg0.27），则（ ）
A．c＞b＞aB．c＞a＞bC．b＞a＞cD．a＞b＞c
7．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝9，a2为整数，且Sn≤S5，则使得Sn≥0的n的最大值为（ ）
A．5B．9C．10D．11
8．（5分）已知不等式e（1﹣a）x＞ax+lnx在区间（0，e2]上恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1﹣e2）B．（﹣∞，1﹣e﹣1）
C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，1）
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
（多选）9．（6分）数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an+1＝2Sn（n∈N*），则有（ ）
A．Sn＝3n﹣1B．{an}为等比数列
C．an＝3n﹣1D．a4＝18
（多选）10．（6分）已知函数f(x)=cs(ωx−π6)(ω＞0)，则下列说法中正确的是（ ）
A．当ω＝2时，﹣π是f（x）的一个周期
B．将f（x）的图象向右平移π6个单位后，得到函数g（x）的图象，若g（x）是奇函数，则ω的最小值为2
C．若存在x1，x2∈[−π6，π6ω](x1≠x2)，使得f(x1)=f(x2)=32，则ω的取值范围是[10，+∞）
D．存在ω，使得f（x）在[−π6，π3]上单调递减
（多选）11．（6分）若函数f（x）＝x3﹣3x2+ax+b有三个零点x1，x2，x3，则下列说法中正确的是（ ）
A．a＞3
B．1f′(x1)+1f′(x2)+1f′(x3)=0
C．若x1，x2，x3成等差数列，则a+b＝2
D．若x1，x2，x3成等比数列，则a3＝27b
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S3＝9，S6＝36，则S9＝ ．
13．（5分）已知函数f（x）满足f（﹣x）+f（x+2）＝0，f（x）＝f（﹣x），f（0）＝2，则i=12025 f(i)的值为 ．
14．（5分）某地计划建一个游乐场，规划游乐场为如图所示的四边形区域ABCD，其中三角形区域ABC中，AB＝2百米，BC＝4百米，三角形区域ACD是以AC为斜边的等腰直角三角形，现计划将三角形区域BCD建为水上项目区，则三角形区域BCD的最大面积为 平方百米．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若bn=2an−27，Sn为数列{bn}的前n项和，求证：14≤Sn＜13．
16．（15分）记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（b+c﹣a）（b+c+a）＝bc．
（1）求A；
（2）若D为BC边上一点，∠BAD=3∠CAD，AC=4，AD=3，求sinB．
17．（15分）已知函数f（x）＝ex﹣ax2﹣x﹣1．
（1）若f（1）＝e﹣2，求f（x）的单调区间；
（2）若x∈（0，+∞），f（x）＞0，求实数a的取值范围．
18．（17分）已知a→=(λ，−2sin(ωx−π6），b→=(sin(2ωx+π2)，sin(ωx−π6），函数f(x)=a→⋅b→，其中λ∈R，ω＞0．请从条件（1）、条件（2）、条件（3）这三个条件中选择两个作为已知，使函数f（x）存在且唯一确定，并解答下列问题．
条件（1）：f(0)=12；
条件（2）：f（x）最大值为3−1；
条件（3）：f（x）在区间[k，p]上单调，且p﹣k最大值为π2；
（1）求函数f（x）的对称中心；
（2）若方程f(x)=12在区间（0，m）内有且仅有1个实根，求m的取值范围．
（3）在锐角△ABC中，若f（A）＝﹣1，且能盖住△ABC的最小圆的面积为4π，求AB+AC的取值范围．
19．（17分）牛顿法（Newtn'smethd）是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设r是f（x）＝0的根，选取x．作为r的初始近似值，过点（x0，f（x0））作曲线y＝f（x）的切线L，L的方程为y＝f（x0）+f′（x0）（x﹣x0）．如果f′（x0）≠0，则L与x轴的交点的横坐标记为x1，称x1为r的一阶近似值．再过点（x1，f（x1））作曲线y＝f（x）的切线，并求出切线与x轴的交点横坐标记为x2，称x2为r的二阶近似值．重复以上过程，得r的近似值序列：x1，x2，⋯，xn，根据已有精确度ε，当|xn﹣r|＜ε时，给出近似解．对于函数f（x）＝x+lnx，已知f（r）＝0．
（1）若给定x0＝1，求r的二阶近似值x2；
（2）设xn+1=g(xn)，ℎ(x)=−(x+1)g(x)−lnx+ex−e−x
①试探求函数h（x）的最小值m与r的关系；
②证明：m＜e−34．
答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）若z+1z−1=2i，则z=（ ）
A．45−35iB．45+35iC．35−45iD．35+45i
【分析】依题意可得z=1+2i−1+2i，根据复数代数形式的除法运算化简z，从而求出其共轭复数．
解：因为z+1z−1=2i，
所以z+1＝2i（z﹣1），
所以1+2i＝z（2i﹣1），
则z=1+2i−1+2i=(1+2i)(−1−2i)(−1+2i)(−1−2i)=35−45i，
所以z=35+45i．
故选：D．
【点评】本题主要考查了复数的运算，考查了共轭复数的定义，属于基础题．
2．（5分）已知集合A＝{x|lg2（x+1）≤2}，B＝{﹣3，﹣1，2，5}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣3，﹣1}B．{﹣1，2}C．{2}D．{2，5}
【分析】先解对数不等式求出集合A，再结合交集定义计算即可．
解：因为lg2（x+1）≤2，所以0＜x+1≤22，即﹣1＜x≤3，
所以A＝（﹣1，3]，B＝{﹣3，﹣1，2，5}，
所以A∩B＝{2}．
故选：C．
【点评】本题主要考查了对数不等式的解法，考查了集合的交集运算，属于基础题．
3．（5分）设a，b∈R，则“1a＞b＞0”是“a＜1b”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】结合不等式性质检验充分及必要性即可判断．
解：当1a＞b＞0时，a＜1b一定成立，
当a＝﹣1，b＝1时，a＜1b成立时，但不满足1a＞b＞0，
故“1a＞b＞0”是“a＜1b”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
4．（5分）在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD=2，∠A＝45°，DE→=2EC→，则AE→•BE→=（ ）
A．1B．32C．2D．3
【分析】根据平面向量的线性运算及数量积运算即可求解．
解：由题意得：AE→=AD→+DE→=AD→+23AB→，
BE→=AE→−AB→=AD→−13AB→，
所以AE→⋅BE→=(AD→+23AB→)⋅(AD→−13AB→)
=AD→2+13AD→⋅AB→−29AB→2
=2+13×2×3×22−29×9
＝2+1﹣2＝1．
故选：A．
【点评】本题考查平面向量的线性运算及数量积运算，属基础题．
5．（5分）在△ABC中，若AB→⋅BC→+AB→2=0，则△ABC的形状一定是（ ）
A．等边三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．钝角三角形
【分析】先利用数量积运算化简得到accsB＝c2，再利用余弦定理化简得解．
解：因为AB→⋅BC→+AB→2=0，
所以accs（π﹣B）+c2＝0，即accsB＝c2，
所以ac×a2+c2−b22ac=c2，即b2+c2＝a2，
所以三角形是直角三角形．
故选：B．
【点评】本题考查平面向量数量积定义，考查余弦定理，属基础题．
6．（5分）已知函数f（x）＝x2+2csx，设a＝f（0.20.3），b＝f（0.30.2），c＝f（lg0.27），则（ ）
A．c＞b＞aB．c＞a＞bC．b＞a＞cD．a＞b＞c
【分析】证明函数f（x）为偶函数，利用导数判断函数f（x）的单调性，比较0.20.3，0.30.2，lg57大小，可得a、b、c大小关系．
解：函数f（x）＝x2+2csx的定义域为R，
f（﹣x）＝（﹣x）2+2cs（﹣x）＝x2+2csx＝f（x），故f（x）为偶函数，
当x≥0时，f′（x）＝2x﹣2sinx，
令g（x）＝f′（x）＝2x﹣2sinx，
则g′（x）＝2﹣2csx≥0，当且仅当x＝2kπ，k∈N时等号成立，
所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，g（x）≥g（0）＝0，当且仅当x＝0时等号成立，
所以f′（x）≥0，f（x）在[0，+∞）上单调递增，
因为0.30.3＜0.30.2＜0.30，
因为函数y＝x0.3在（0，+∞）上单调递增，所以0＜0.20.3＜0.30.3，
所以0＜0.20.3＜0.30.2＜0.30＝1＝lg55＜lg57，
所以f（0.20.3）＜f（0.30.2）＜f（lg57），
因为c＝f（lg0.27）＝f（﹣lg57）＝f（lg57），
故c＞b＞a．
故选：A．
【点评】本题主要考查了导数与单调性关系在函数值大小比较中的应用，还考查了导数与单调性关系的应用，属于中档题．
7．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝9，a2为整数，且Sn≤S5，则使得Sn≥0的n的最大值为（ ）
A．5B．9C．10D．11
【分析】根据条件Sn≤S5可知a5≤0，a6≥0，列出不等式组得出d，得Sn，即可求使得Sn≥0的n的最大值．
解：∵{an}是等差数列，设公差为d，且a1＝9，Sn≤S5，
∴a5≥0a6≤0，9+4d≥09+5d≤0，解得−94≤d≤−95，
又a2＝9+d∈Z，∴d＝﹣2，
∴Sn=9n+n(n−1)2⋅(−2)=−n2+10n，
∴由Sn≥0得1≤n≤10，即n的最大值为10．
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，是中档题．
8．（5分）已知不等式e（1﹣a）x＞ax+lnx在区间（0，e2]上恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1﹣e2）B．（﹣∞，1﹣e﹣1）
C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，1）
【分析】由题意，先证a＜1−1e，然后在a＜1−1e的情况下证明不等式e（1﹣a）x＞ax+lnx恒成立，进而可得a的取值范围．
解：设h（x）＝x﹣lnx﹣1，函数定义域为（0，+∞），
可得h′（x）＝1−1x=x−1x，
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；
当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
所以h（x）≥h（1）＝1﹣0﹣1＝0，
即h（x）≥0，
令x＝e，
此时e（1﹣a）e＞ae+1．
假设a≥1−1e，
可得1e≥1−a，
所以e=e1e⋅e≥e(1−a)e＞ae+1≥(1−1e)e+1=e，此时相矛盾，
所以一定有a＜1−1e；
若a＜1−1e，
此时0≤e⋅ℎ(e1ex−1)=e(e1ex−1−ln(e1ex−1)−1)=e(e1ex−1−1ex)=e1ex−x，
且满足0≤ℎ(xe)=xe−lnxe−1=xe−lnx．
两式相加得0≤(e1ex−x)+(xe−lnx)=e1ex−(1−1e)x−lnx，
所以e1ex≥(1−1e)x+lnx，
因为a＜1−1e，
所以1e＜1−a，
所以对任意x∈（0，+∞），都有e(1−a)x＞e1ex≥(1−1e)x+lnx＞ax+lnx，
因为对任意的x∈（0，e2]，也有x∈（0，+∞），
所以e（1﹣a）x＞ax+lnx，
则a＜1−1e时条件一定满足，
综上所述，a的取值范围为(−∞，1−1e)．
故选：B．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
（多选）9．（6分）数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an+1＝2Sn（n∈N*），则有（ ）
A．Sn＝3n﹣1B．{an}为等比数列
C．an＝3n﹣1D．a4＝18
【分析】由an与Sn的关系计算即可求得an，从而即可判断各选项．
解：因为a1＝1，an+1＝2Sn（n∈N*），①
当n＝1时，a2＝2S1＝2a1＝2，
当n≥2时，an＝2Sn﹣1，②
所以①﹣②得：an+1﹣an＝2Sn﹣2Sn﹣1＝2an，
所以an+1＝3an，
因为a2a1=21=2，所以数列{an}从第二项起为公比是3的等比数列，
所以an=1，n=12×3n−2，n≥2，故B，C错误；a4=2×34−2=18，故D正确；
当n≥2时，Sn=an+12=3n−1，当n＝1时，S1＝a1＝1，也满足上式，所以Sn=3n−1，故A正确．
故选：AD．
【点评】本题考查由数列的递推式求通项公式，属于中档题．
（多选）10．（6分）已知函数f(x)=cs(ωx−π6)(ω＞0)，则下列说法中正确的是（ ）
A．当ω＝2时，﹣π是f（x）的一个周期
B．将f（x）的图象向右平移π6个单位后，得到函数g（x）的图象，若g（x）是奇函数，则ω的最小值为2
C．若存在x1，x2∈[−π6，π6ω](x1≠x2)，使得f(x1)=f(x2)=32，则ω的取值范围是[10，+∞）
D．存在ω，使得f（x）在[−π6，π3]上单调递减
【分析】由f(x)=cs(ωx−π6)(ω＞0)的单调性，奇偶性，周期性逐项判断．
解：对于A：当ω＝2时，f(x)=cs(2x−π6)，可得最小正周期为π，可得﹣π是f（x）的一个周期，正确；
对于B：由题意得到g(x)=cs[ω(x−π6)−π6]=cs(ωx−ωπ6−π6)，
因为g（x）是奇函数，所以−ωπ6−π6=π2+kπ，解得ω＝﹣6k﹣4，k∈Z，
当k＝﹣1时，ω最小此时为2，正确；
对于C：因为x∈[−π6，π6ω]，当x=π6ω时，f(π6ω)=cs(ωπ6ω−π6)=1，
当x＝0时，f(0)=cs(0−π6)=32，
又存在x1，x2∈[−π6，π6ω](x1≠x2)，使得f(x1)=f(x2)=32，
所以当x=−π6时，ω(−π6)−π6≤−11π6，解得：ω≥10，正确；
对于D：f(x)=cs(ωx−π6)(ω＞0)存在ω，若f（x）在[−π6，π3]上单调递减，
由复合函数的单调性可得：[−ωπ6−π6，ωπ3−π6]⊆[2kπ，(2k+1)π]，k∈Z，
因为ω＞0，所以−ωπ6−π6＜0，故k＜0，
可得：−ωπ6−π6≥2kπωπ3−π6≤(2k+1)π，解得：ω≤−12k−1ω≤6k+72，因为k＜0，k∈Z，则必有6k+72＜0，
所以同时满足ω≤12k−1ω≤6k+72的ω必然小于0，这与ω＞0矛盾，错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查了函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换以及余弦函数的性质的应用，考查了函数思想，属于中档题．
（多选）11．（6分）若函数f（x）＝x3﹣3x2+ax+b有三个零点x1，x2，x3，则下列说法中正确的是（ ）
A．a＞3
B．1f′(x1)+1f′(x2)+1f′(x3)=0
C．若x1，x2，x3成等差数列，则a+b＝2
D．若x1，x2，x3成等比数列，则a3＝27b
【分析】求出原函数的导函数，可知导函数有两个零点，再由判别式大于0求解a的范围判定A；由f（x）＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3），求其导函数，分别求出函数在三个零点处的导数值，代入计算判断B；再由已知可得x3﹣3x2+ax+b＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3），展开后利用系数相等，结合等差数列与等比数列的性质判断C与D．
解：由f（x）＝x3﹣3x2+ax+b，得f′（x）＝3x2﹣6x+a，
f（x）有三个零点，则f（x）至少有三个单调区间，
故f′（x）＝3x2﹣6x+a＝0有两个不等的实数根，则Δ＝36﹣12a＞0，即a＜3，故A错误；
f（x）＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3），则f′（x）＝（x﹣x2）（x﹣x3）+（x﹣x1）[（x﹣x2）（x﹣x3）]′
∴f′（x1）＝（x1﹣x2）（x1﹣x3），同理f′（x2）＝（x2﹣x1）（x2﹣x3），f′（x3）＝（x3﹣x1）（x3﹣x2），
则1f′(x1)+1f′(x2)+1f′(x3)=1(x1−x2)(x1−x3)+1(x2−x1)(x2−x3)+1(x3−x1)(x3−x2)
=(x2−x3)−(x1−x3)+(x1−x2)(x1−x2)(x1−x3)(x2−x3)=0，故B正确；
x3﹣3x2+ax+b＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）=x3−(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x1x3+x2x3)x−x1x2x3，
∴x1+x2+x3＝3，x1x2+x1x3+x2x3＝a，x1x2x3＝﹣b，
若x1，x2，x3成等差数列，则x1+x3＝2，x2＝1，a＝2+x1x3＝2﹣b，则a+b＝2，故C正确；
若x1，x2，x3成等比数列，则x1x3=x22，故x23=−b，
a=(x1+x3)x2+x1x3=(3−x2)x2+x22=3x2，则a3=27x23=−27b，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查函数零点的判定与导数的应用，考查等差数列与等比数列的应用，考查逻辑思维能力及运算求解能力，综合性强，难度较大．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S3＝9，S6＝36，则S9＝ 81 ．
【分析】根据等差数列的性质和等差中项的性质得到2（S6﹣S3）＝S3+S9﹣S6，然后解方程即可．
解：根据等差数列的性质可得S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差数列，
所以2（S6﹣S3）＝S3+S9﹣S6，即2×（36﹣9）＝9+S9﹣36，解得S9＝81．
故81．
【点评】本题考查了等差数列的性质，属于基础题．
13．（5分）已知函数f（x）满足f（﹣x）+f（x+2）＝0，f（x）＝f（﹣x），f（0）＝2，则i=12025 f(i)的值为 0 ．
【分析】首先根据题意得到f（x）＝f（x+4），即f（x）的周期为4，再分别计算出f（1），f（2），f（3），f（4），即可得到答案．
解：由题知，f（﹣x）+f（x+2）＝0，f（x）＝f（﹣x），
∴f（x）＝﹣f（x+2），
又∵f（x+2）＝﹣f（x+4），∴f（x）＝f（x+4），即f（x）的周期为4．
令x＝0，则f（0）＝﹣f（2）＝2⇒f（2）＝﹣2，
令x＝﹣1，则f（﹣1）＝﹣f（1）⇒f（1）＝﹣f（1）⇒f（1）＝0，
令x＝1，则f（1）＝﹣f（3）＝0⇒f（3）＝0，
∵f（4）＝f（0）＝2，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝0．
∴i=12025 f(i)=506[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)=0．
故0．
【点评】本题考查了函数的周期性，属于基础题．
14．（5分）某地计划建一个游乐场，规划游乐场为如图所示的四边形区域ABCD，其中三角形区域ABC中，AB＝2百米，BC＝4百米，三角形区域ACD是以AC为斜边的等腰直角三角形，现计划将三角形区域BCD建为水上项目区，则三角形区域BCD的最大面积为 4+22 平方百米．
【分析】建立平面直角坐标系，设CA＝r，∠BCA＝θ（0＜θ＜π），则可求点A的坐标为（rcsθ，rsinθ），利用三角形的面积公式可求S△BCD＝rsinθ+rcsθ＝yA+xA，设∠ABx＝α，（0＜α＜π），利用三角函数恒等变换的应用可求S△BCD＝yA+xA＝4+22sin（α+π4），进而根据正弦函数的性质即可求解．
解：建立平面直角坐标系，如图所示，
设CA＝r，∠BCA＝θ（0＜θ＜π），
则点A的坐标为（rcsθ，rsinθ），
所以S△BCD=12×4×22rsin（θ+π4）＝rsinθ+rcsθ＝yA+xA，
易知点A在以B为圆心，2为半径的圆上，
设∠ABx＝α，（0＜α＜π），
则点A的坐标为（4+2csα，2sinα），
所以S△BCD＝yA+xA＝4+2csα+2sinα＝4+22sin（α+π4），当且仅当α=π4时，△BCD的面积最大，最大为（4+22）平方百米．
故4+22．
【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，两角和的正弦公式，三角函数的有界性，考查学生的化归与转化能力，逻辑推理能力，运算求解能力，分析问题和解决问题的能力，考查的核心素养是数学建模、直观想象、逻辑推理和数学运算，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若bn=2an−27，Sn为数列{bn}的前n项和，求证：14≤Sn＜13．
【分析】（1）设出等差数列{an}公差d（d≠0），利用基本量表示已知等量关系，建立方程求解可得；
（2）由数列{bn}通项证明是等比数列，再利用公式法求和，结合Sn表达式及bn＞0条件，分析范围可得．
解：等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．
（1）设等差数列{an}的公差为d（d≠0），
因为a1＝25，a1，a11，a13成等比数列，
所以（25+10d）2＝25（25+12d），
整理得d2＝﹣2d，由d≠0，解得d＝﹣2，
an＝25+（n﹣1）•（﹣2）＝27﹣2n，
所以{an}的通项公式为an＝27﹣2n；
（2）证明：由（1）可得bn=14n，则bn+1bn=14，
所以数列{bn}是以14为首项，14为公比的等比数列，
由Sn+1﹣Sn＝bn+1＞0，故{Sn}单调递增，则Sn≥b1=14，
又因为Sn=14(1−14n)1−14=13(1−14n)=13−13×14n＜13．
故14≤Sn＜13，得证．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，求和公式，定义及性质的应用，属于中档题．
16．（15分）记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（b+c﹣a）（b+c+a）＝bc．
（1）求A；
（2）若D为BC边上一点，∠BAD=3∠CAD，AC=4，AD=3，求sinB．
【分析】（1）等价变形已知条件，得到b2+c2﹣a2＝﹣bc，由余弦定理可得csA的值，再由角A的范围，可得角A的大小；
（2）由余弦定理求出CD的大小，结合正弦定理即可求得sinC的值，最后根据sinB＝sin（A+C）即可得解．
解：（1）因为（b+c﹣a）（b+c+a）＝（b+c）2﹣a2＝b2+2bc+c2﹣a2＝bc，
则b2+c2﹣a2＝﹣bc，
由余弦定理可得b2+c2﹣a2＝2bccsA，
可得csA=−12，
因为0＜A＜π，
所以A=2π3；
（2）由（1）得，A=2π3，因为∠BAD＝3∠CAD，
所以∠CAD=π6，
如图在△ACD中，
∠BAD=3∠CAD，AC=4，AD=3，
由余弦定理可得：CD2＝AD2+AC2﹣2AD•ACcs∠DAC
=3+16−23×4×32=7，即CD=7，
在△ACD中由正弦定理CDsin∠DAC=ADsinC，即712=3sinC，所以sinC=327，
因为0＜C＜π3，故csC=1−sin2C=527，
在△ABC中，sinB=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC=32×527−12×327=217．
【点评】本题考查正弦定理及余弦定理的应用，两角和的正弦公式的应用，属于中档题．
17．（15分）已知函数f（x）＝ex﹣ax2﹣x﹣1．
（1）若f（1）＝e﹣2，求f（x）的单调区间；
（2）若x∈（0，+∞），f（x）＞0，求实数a的取值范围．
【分析】（1）由已知求解a值，再求原函数的导函数，由导函数在不同区间上的符号可得原函数的单调性；
（2）求出原函数的导函数，利用二次求导，分类分析得答案．
解：（1）f（x）＝ex﹣ax2﹣x﹣1，
则f（1）e﹣a﹣2＝e﹣2，得a＝0，
则f（x）＝ex﹣x﹣1，f′（x）＝ex﹣1，
当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
（2）由f（x）＝ex﹣ax2﹣x﹣1，得f′（x）＝ex﹣2ax﹣1，
令g（x）＝f′（x）＝ex﹣2ax﹣1，则g′（x）＝ex﹣2a（x＞0），
当a≤12时，g′（x）＝ex﹣2a＞0在（0，+∞）上恒成立，
则g（x）单调递增，即f′（x）＞f′（0）＝0，
可得f（x）在（0，+∞）上单调递增，有f（x）＞f（0）＝0成立；
当a＞12时，由g′（x）＝ex﹣2a＜0，得0＜x＜lna，
可知当x∈（0，ln2a）时，g（x）即f′（x）＜f′（0）＝0，
f（x）在（0，ln2a）上单调递减，有f（x）＜0，不满足对∀x∈（0，+∞），有f（x）＞0．
综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，12]．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想，是中档题．
18．（17分）已知a→=(λ，−2sin(ωx−π6），b→=(sin(2ωx+π2)，sin(ωx−π6），函数f(x)=a→⋅b→，其中λ∈R，ω＞0．请从条件（1）、条件（2）、条件（3）这三个条件中选择两个作为已知，使函数f（x）存在且唯一确定，并解答下列问题．
条件（1）：f(0)=12；
条件（2）：f（x）最大值为3−1；
条件（3）：f（x）在区间[k，p]上单调，且p﹣k最大值为π2；
（1）求函数f（x）的对称中心；
（2）若方程f(x)=12在区间（0，m）内有且仅有1个实根，求m的取值范围．
（3）在锐角△ABC中，若f（A）＝﹣1，且能盖住△ABC的最小圆的面积为4π，求AB+AC的取值范围．
【分析】（1）利用二倍角的余弦公式化简函数f（x），选②求得两个λ值，对应两个不同函数，不符合题意，由条件①③求出函数式，再借助正弦函数性质求出对称中心；
（2）确定函数f（x）相位的范围，由零点情况列式求出m范围；
（3）由f（A）＝﹣1，得到A，再由正弦定理得到b+c=43sin(B+π6)，结合B的范围即可求解．
解：（1）由题意，可得f(x)=a→⋅b→=λsin(2ωx+π2)−2sin2(ωx−π6)
＝λcs2ωx+cs（2ωx−π3）﹣1
＝（λ+12）cs2ωx+32sin2ωx﹣1，
若选②，f（x）最大值为3−1，
则有f(x)max=(λ+12)2+34−1=3−1，解得λ＝1或λ＝﹣2，
当λ＝1时，f(x)=3sin(2ωx+π3)−1，
当λ＝﹣2时，f(x)=3sin(2ωx−π3)−1，
因此选②，可以求得两个不同函数，不符合题意，即条件②不可选；
于是选条件①或③，
由①知，f(0)=λ−12=12，解得λ＝1，故f(x)=3sin(2ωx+π3)−1，
由③知，函数f（x）的最小正周期为π，
即2π2ω=π，解得ω＝1，
故f(x)=3sin(2x+π3)−1，
则选条件①或③，函数f（x）唯一确定，
由2x+π3=kπ，k∈Z，解得x=−π6+kπ2，k∈Z，
故f（x）的对称中心为(−π6+kπ2，−1)(k∈Z)；
（2）由f(x)=12，可得sin(2x+π3)=32，
当x∈（0，m）时，2x+π3∈(π3，2m+π3)，
由sin(2x+π3)=32在（0，m）内有且仅有1个实根，
可得2π3＜2m+π3≤7π3，解得π6＜m≤π，
所以m的取值范围是(π6，π]；
（3）由f(A)=3sin(2A+π3)−1=−1，可得sin(2A+π3)=0，
由2A+π3∈(π3，4π3)，可得A=π3，
能盖住△ABC的最小圆为△ABC的外接圆，
所以△ABC的外接圆的半径R=4ππ=2，
由正弦定理可得，a=4sinπ3=23，b=4sinB，c=4sinC，
所以b+c=4sinB+4sinC=4sinB+4sin(π3+B)=43sin(B+π6)，
由题意，可得0＜B＜π2π2＜A+B＜π，所以π6＜B＜π2，
所以32＜sin(B+π6)≤1，则6＜b+c≤43．
故AB+AC的取值范围为(6，43]．
【点评】本题考查平面向量数量积的运算、三角函数的性质的应用及正弦定理、锐角三角形的性质的应用，属中档题．
19．（17分）牛顿法（Newtn'smethd）是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设r是f（x）＝0的根，选取x．作为r的初始近似值，过点（x0，f（x0））作曲线y＝f（x）的切线L，L的方程为y＝f（x0）+f′（x0）（x﹣x0）．如果f′（x0）≠0，则L与x轴的交点的横坐标记为x1，称x1为r的一阶近似值．再过点（x1，f（x1））作曲线y＝f（x）的切线，并求出切线与x轴的交点横坐标记为x2，称x2为r的二阶近似值．重复以上过程，得r的近似值序列：x1，x2，⋯，xn，根据已有精确度ε，当|xn﹣r|＜ε时，给出近似解．对于函数f（x）＝x+lnx，已知f（r）＝0．
（1）若给定x0＝1，求r的二阶近似值x2；
（2）设xn+1=g(xn)，ℎ(x)=−(x+1)g(x)−lnx+ex−e−x
①试探求函数h（x）的最小值m与r的关系；
②证明：m＜e−34．
【分析】（1）根据给定方法，求出f（x）的导数，依次求出x1，x2即可．
（2）①求出函数g（x），h（x），利用导数探讨函数h（x）的最小值，结合f（r）＝0求出m 与r 的关系；②由①的结论，构造函数u（x）＝ex﹣x2﹣x，x＞0，利用导数探讨函数u（x）在（0，1）上的单调性即可推理得证．
解：（1）函数f（x）＝x+lnx，求导得f′(x)=1+1x，
依题意，x1=x0−f(x0)f′(x0)=x0−x0+lnx01+1x0=x0(1−lnx0)x0+1，当x0＝1时，x1=12，
同理x2=x1(1−lnx1)x1+1，而x1=12，所以x2=1+ln23．
（2）①由（1）知，xn+1=xn(1−lnxn)xn+1=g(xn)，则g(x)=x(1−lnx)x+1，x＞0，
h（x）＝x（lnx﹣1）﹣lnx+ex﹣e﹣x，求导得ℎ′(x)=lnx−1x+ex+e−x，
令φ(x)=lnx−1x+ex+e−x，x＞0，求导得φ′(x)=1x+1x2+ex−e−x＞0，h′（x）在（0，+∞）上单调递增，
函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f(12)=12−ln2＜0，f(1)=1＞0，
由f（r）＝0，得12＜r＜1，且r=−lnr=ln1r，则er=1r，e−r=r，
ℎ′(r)=lnr−1r+er+e−r=0，当0＜x＜r时，h′（r）＜0，当x＞r时，h′（r）＞0，
于是函数h（x）在（0，r）上单调递减，在（r，+∞）上单调递增，
函数h（x）在x＝r处取得最小值m＝h（r）＝rlnr﹣r﹣lnr+er﹣e﹣r＝er﹣r2﹣r．
②证明：由①知，m=er−r2−r，12＜r＜1，令u（x）＝ex﹣x2﹣x，x＞0，求导得u′（x）＝ex﹣2x﹣1，
令y＝ex﹣2x﹣1，x＞0，求导得y′＝ex﹣2，当0＜x＜ln2时，y′＜0，当x＞ln2时，y′＞0，
则函数u′（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，而u′（0）＝0，u′（1）＝e﹣3＜0，
则当0＜x＜1时，u′（x）＜0恒成立，即函数u（x）在（0，1）上单调递减，
而12＜r＜1，因此u(r)＜u(12)=e−34，所以m＜e−34．
【点评】本题考查与导数有关的新定义问题，考查导数的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
A
A
B
A
C
B