2024~2025学年江苏省徐州市高三上学期质检数学试卷（12月份）附解析

这是一份2024~2025学年江苏省徐州市高三上学期质检数学试卷（12月份）附解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合A＝{x∈N|﹣1≤x＜4}，B={x|y=x}，则A∩B＝（ ）
A．{1，2，3}B．{﹣1，1，2，3}
C．{0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2，3}
2．若i2025z＝1+i，则复数z对应的点位于第（ ）象限．
A．一B．二C．三D．四
3．已知平面向量a→，b→满足|a→|=|b→|=1，〈a→，b→〉=60°，则|a→+2b→|=（ ）
A．1B．3C．2D．7
4．已知等比数列{an}中，a1+a3＝2，a4+a6＝16，则a10+a12＝（ ）
A．26B．32C．512D．1024
5．已知圆的圆心为（1，﹣2），且直线3x﹣4y+14＝0与圆相切，则圆的标准方程为（ ）
A．（x﹣1）2+（y+2）2＝25B．（x﹣1）2+（y+2）2＝5
C．（x+1）2+（y﹣2）2＝25D．（x+1）2+（y﹣2）2＝5
6．已知cs(α+π6)=13，则sin(π3−α)+sin(2α−π6)=（ ）
A．109B．−49C．23D．65
7．在(3x2−1x)n的二项展开式中，所有二项式系数之和为64，则展开式的项数是（ ）
A．7B．8C．9D．10
8．已知数列{an}的通项公式an=2n−1，在其相邻两项ak，ak+1之间插入2k个3（k∈N*），得到新的数列{bn}，记{bn}的前n项和为Sn，则使Sn≥100成立的n的最小值为（ ）
A．28B．29C．30D．31
二、多选题
（多选）9．已知函数f（x）＝ex﹣x，对于任意实数a，b，下列结论成立的有（ ）
A．f（x）min＝1
B．函数f（x）＝ex﹣x在定义域上单调递增
C．曲线f（x）＝ex﹣x在点（0，1）处的切线方程是y＝1
D．若a＝﹣b＞0，则f（a）＞f（b）
（多选）10．函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，其中−π2＜φ＜π2，图象向右平移s（s∈N*）个单位后得到函数y＝g（x）的图象，且y＝g（x）在[−π3，π3]上单调递减，则下列说法正确的是（ ）
A．ω＝±1
B．x=−π6为f（x）图象的一条对称轴
C．s可以等于5
D．s的最小值为2
（多选）11．六氟化硫，化学式为SF6，在常压下是一种无色，无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（ ）
A．该正八面体结构的表面积为23m2
B．该正八面体结构的体积为2m3
C．该正八面体结构的外接球表面积为2πm2
D．该正八面体结构的内切球表面积为2πm23
三、填空题
12．设随机变量X～B（6，12），则P（X＝3）＝ ．
13．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0) 的左、右焦点分别为 F1，F2，点P在双曲线C上，且∠OPF2＝90°，F2P→=PQ→，若点Q也在双曲线C上，则双曲线C的离心率为 ．
14．已知a＞0且a≠1，若函数f（x）=(a−1)x+5，x∈(−∞，2)ax，x∈[2，+∞)在（﹣∞，+∞）上具有单调性，则实数a的范围是 ．
四、解答题
15．如图，已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且csAcsC=a2b−c．
（1）求A的值；
（2）若c＝2b＝4，M为边BC上一点，且2BM＝3MC，求AM的长．
16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD=PC=CB=BA=12AD=2，AD∥CB，∠CPD＝∠ABC＝90°，平面PCD⊥平面ABCD．
（1）求证：PD⊥平面PCA；
（2）点Q在棱PA上，CQ与平面PDC所成角的正弦值为63，求平面PCD与平面CDQ夹角的余弦值．
17．点A（m，2）在抛物线y2＝2px（0＜p＜2）上，且到抛物线的焦点F的距离为52．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点F的直线交抛物线于B，C两点，且∠BAC＝90°，求直线BC的方程．
18．近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖面越来越广泛，针对短视频的碎片化缺陷，将短视频剪接成长视频势必成为一种新的技能．某机构在网上随机对1000人进行了一次市场调研，以决策是否开发将短视频剪接成长视频的APP，得到如表数据：
其中的数据为统计的人数，已知被调研的青年人数为400．
（1）求a，b的值；
（2）根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析对短视频剪接成长视频的APP的需求，青年人与中老年人是否有差异？
参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)其中n＝a+b+c+d．
临界值表：
19．已知函数f（x）＝（4x+a）ln（x+1），g（x）＝x2+bx．
（1）当a＝4时，求f（x）的最小值；
（2）若y＝f（x）与y＝g（x）在原点处的切线重合，且函数h（x）＝f（x）﹣g（x）有且仅有三个极值点，求实数a的取值范围．
答案与试题解析
一、单选题
1．已知集合A＝{x∈N|﹣1≤x＜4}，B={x|y=x}，则A∩B＝（ ）
A．{1，2，3}B．{﹣1，1，2，3}
C．{0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2，3}
【分析】将集合A用列举法写出具体元素，由集合B的表达式可知集合B的元素x≥0，即可得到A∩B的结果．
解：A＝{x∈N|﹣1≤x＜4}＝{﹣1，0，1，2，3}，B={x|y=x}={x|x≥0}，
所以A∩B＝{0，1，2，3}．
故选：C．
【点评】本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
2．若i2025z＝1+i，则复数z对应的点位于第（ ）象限．
A．一B．二C．三D．四
【分析】先进行复数化简，再根据几何意义得解．
解：i2025z＝1+i，∴iz＝1+i，即z=1+ii=1−i．
对应的点为（1，﹣1），在第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查复数几何意义，属于基础题．
3．已知平面向量a→，b→满足|a→|=|b→|=1，〈a→，b→〉=60°，则|a→+2b→|=（ ）
A．1B．3C．2D．7
【分析】由题意，结合|a→+2b→|2=a→2+4a→⋅b→+4b→2计算即可求解．
解：由题意，|a→|=|b→|=1，〈a→，b→〉=60°，
则a→⋅b→=1×1×12=12，
所以|a→+2b→|2=a→2+4a→⋅b→+4b→2=1+2+4=7，
所以|a→+2b→|=7．
故选：D．
【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，属基础题．
4．已知等比数列{an}中，a1+a3＝2，a4+a6＝16，则a10+a12＝（ ）
A．26B．32C．512D．1024
【分析】设等比数列{an}的公比为q，联立a1+a1q2=2，a1q3+a1q5=16，解出q＝2，a1=25，代入a10+a12=a1q9+a1q11，即可得到答案．
解：设等比数列{an}的公比为q，
因为a1+a3＝2，a4+a6＝16，
所以a1+a1q2=2，a1q3+a1q5=16，
由(a1+a1q2)q3=16，则q3＝8，得q＝2，
解得a1=25，
所以a10+a12=a1q9+a1q11=25(29+211)=1024．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础题．
5．已知圆的圆心为（1，﹣2），且直线3x﹣4y+14＝0与圆相切，则圆的标准方程为（ ）
A．（x﹣1）2+（y+2）2＝25B．（x﹣1）2+（y+2）2＝5
C．（x+1）2+（y﹣2）2＝25D．（x+1）2+（y﹣2）2＝5
【分析】由直线与圆相切结合点到直线距离公式求出圆的半径r即可得解．
解：根据题意，设圆的半径为r，
而圆的圆心为（1，﹣2），且直线3x﹣4y+14＝0与圆相切，
则r=|3×1−4×(−2)+14|32+(−4)2=5，
所以圆的标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝25．
故选：A．
【点评】本题考查圆的标准方程，涉及点到直线的距离公式，属于基础题．
6．已知cs(α+π6)=13，则sin(π3−α)+sin(2α−π6)=（ ）
A．109B．−49C．23D．65
【分析】使用诱导公式和二倍角公式，结合已知条件即可求解．
解：sin(π3−α)+sin(2α−π6)=cs(π2−(π3−α）−cs((2α−π6)+π2)：
=cs(α+π6)−cs(2α+π3)
=cs(α+π6)−(2cs2(α+π6)−1)
=13−（2×19−1）=109．
故选：A．
【点评】本题主要考查了诱导公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
7．在(3x2−1x)n的二项展开式中，所有二项式系数之和为64，则展开式的项数是（ ）
A．7B．8C．9D．10
【分析】先由二项式系数公式求出n，再由二项式展开式定理即可得解．
解：根据二项式系数和的性质，得2n＝64⇒n＝6，
故二项式(3x2−1x)6的展开式的项数是6+1＝7．
故选：A．
【点评】本题考查了二项式系数的性质，属于基础题．
8．已知数列{an}的通项公式an=2n−1，在其相邻两项ak，ak+1之间插入2k个3（k∈N*），得到新的数列{bn}，记{bn}的前n项和为Sn，则使Sn≥100成立的n的最小值为（ ）
A．28B．29C．30D．31
【分析】根据题意分析{bn}的项的情况，从而求得S29，S28，进而得解．
解：数列{an}的通项公式an=2n−1，在其相邻两项ak，ak+1之间插入2k个3（k∈N*），
得到新的数列{bn}，记{bn}的前n项和为Sn，
可得数列{bn}中元素依次为a1，3，3︸21，a2，3，⋯，3︸22，a3，3，⋯，3︸23，a4，⋯，
在a1＝2到a5之间3的个数为21+22+23+24＝2+4+8+16＝30，故到a5处{bn}共有35个元素，
所以前30项中含a1＝2，…，a4及26个3，
可得S29＝a1+a2+a3+a4+25×3＝1+3+7+15+75＝101＞100，
而S28＝S29﹣3＝98＜100，
故Sn≥100成立的最小的n为29．
故选：B．
【点评】本题考查等比数列的通项公式和数列的求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
二、多选题
（多选）9．已知函数f（x）＝ex﹣x，对于任意实数a，b，下列结论成立的有（ ）
A．f（x）min＝1
B．函数f（x）＝ex﹣x在定义域上单调递增
C．曲线f（x）＝ex﹣x在点（0，1）处的切线方程是y＝1
D．若a＝﹣b＞0，则f（a）＞f（b）
【分析】对函数f（x）＝ex﹣x求导，判断其单调性，再求出最值，以及在某点处的切线方程，判定ABC，构造新函数，借助导数研究最值判定D即可．
解：对A，对f（x）＝ex﹣x求导，f′（x）＝ex﹣1，
令f′（x）＝0，即ex﹣1＝0，解得x＝0．
当x＜0时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x＞0时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
所以函数f（x）在x＝0处取得最小值，即f（0）＝1，所以f（x）min＝1，A正确．
对B，由上述分析可知，（﹣∞，0）上函数f（x）单调递减，（0，+∞）上函数f（x）单调递增，B错误．
对C，由于f（0）＝e0﹣0＝1，f′（0）＝e0﹣1＝0．切线斜率为0，在点（0，1），切线方程为y＝1，C正确．
对D，因为a＝﹣b＞0，b＝﹣a＜0，则f（a）＝ea﹣a，f（b）＝f（﹣a）＝e﹣a+a．
则f（a）﹣f（b）＝ea﹣a﹣（e﹣a+a）＝ea﹣e﹣a﹣2a．
令g（x）＝ex﹣e﹣x﹣2x，则g′(x)=ex+e−x−2≥2ex×e−x−2=0，
则g（x）在（0，+∞）单调递增．故g（x）＞g（0）＝0．
即f（a）﹣f（b）＞0，即f（a）＞f（b），D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了导数与单调性顸的应用，还考查了导数几何意义的应用，属于中档题．
（多选）10．函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，其中−π2＜φ＜π2，图象向右平移s（s∈N*）个单位后得到函数y＝g（x）的图象，且y＝g（x）在[−π3，π3]上单调递减，则下列说法正确的是（ ）
A．ω＝±1
B．x=−π6为f（x）图象的一条对称轴
C．s可以等于5
D．s的最小值为2
【分析】根据题意，求得函数f(x)=sin(x−π3)，结合三角函数的图象变换，以及三角函数的性质，逐项判定，即可求解．
解：由函数f（x）图象，可得34T=5π6+2π3=3π2，所以T＝2π，
所以|ω|=2πT=1，解得ω＝±1，
又由函数f（x）的图象过点(5π6，1)，且−π2＜φ＜π2，
当ω＝1时，可得sin(5π6+φ)=1，所以5π6+φ=π2+2kπ，k∈Z，
解得φ=−π3+2kπ，k∈Z，因为−π2＜φ＜π2，可得φ=−π3；
当ω＝﹣1时，可得sin(−5π6+φ)=1，所以−5π6+φ=π2+2kπ，k∈Z，
解得φ=−4π3+2kπ，k∈Z，因为−π2＜φ＜π2，不存在，舍去，
综上可得，ω＝1，φ=−π3，所以f(x)=sin(x−π3)，所以选项A错误；
又因为f(−π6)=sin(−π6−π3)=−1，所以x=−π6是函数f（x）的一条对称轴，选项B正确；
将函数f（x）的图象向右平移s个单位后，得到g(x)=sin(x−s−π3)，
因为y＝g（x）在[−π3，π3]上单调递减，则满足−π3−s−π3≥2kπ+π2π3−s−π3≤2kπ+3π2，k∈Z．
解得−3π2−2kπ≤s≤−7π6−2kπ，k∈Z，
当k＝﹣2时，5π2≤s≤17π6，而5π2＞5，故s不可能等于5，选项C错误．
当k＝﹣1时，π2≤s≤5π6，又因为s∈N*，所以smin＝2，选项D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，也考查了推理与运算能力，是基础题．
（多选）11．六氟化硫，化学式为SF6，在常压下是一种无色，无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（ ）
A．该正八面体结构的表面积为23m2
B．该正八面体结构的体积为2m3
C．该正八面体结构的外接球表面积为2πm2
D．该正八面体结构的内切球表面积为2πm23
【分析】分析正八面体结构特征，计算其表面积，体积，外接球半径，内切球半径，验证各选项．
解：对A：由题知，各侧面均为边长为m的正三角形，
故该正八面体结构的表面积S=8×34×m2=23m2，故A正确；
对B：连接AS，PS，则AS=PS=22m，PS⊥底面ABCD，
故该正八面体结构的体积V=2×13×m2×22m=23m3，故B错误；
对C：底面中心S到各顶点的距离相等，故S为外接球球心，外接球半径R=PS=22m，
故该正八面体结构的外接球表面积S′=π×(2m)2=2πm2，故C正确；
对D：该正八面体结构的内切球半径r=3VS=2m323m2=2m23，
故内切球的表面积S″=4π×(2m223)2=2πm23，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了正八面体的结构特征和其外接球、内切球的表面积计算，属于中档题．
三、填空题
12．设随机变量X～B（6，12），则P（X＝3）＝ 516 ．
【分析】利用二项分布的概率公式求解即可．
解：因为随机变量X～B（6，12），
所以P（X＝3）=C63⋅(12)3⋅(1−12)3=516．
故516．
【点评】本题考查了二项分布的概率公式的应用，考查了运算能力，属于基础题．
13．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0) 的左、右焦点分别为 F1，F2，点P在双曲线C上，且∠OPF2＝90°，F2P→=PQ→，若点Q也在双曲线C上，则双曲线C的离心率为 13 ．
【分析】根据题意易知OP⊥PF2，F1Q⊥QF2，从而利用勾股定理建立方程，即可求解．
解：根据题意可得OP⊥PF2，且P为QF2的中点，又O为F1F2的中点，
∴F1Q∥OP，∴F1Q⊥QF2，
设|PF2|＝m，则|QF2|＝2m，|QF1|＝2m﹣2a，又|F1F2|＝2c，
在Rt△QF1F2与Rt△QF1P中，由勾股定理可得：
(2m−2a)2+4m2=4c2(2m−2a)2+m2=(m+2a)2，解得c=13a，
∴双曲线C的离心率为ca=13．
故13．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，勾股定理的应用，方程思想，属中档题．
14．已知a＞0且a≠1，若函数f（x）=(a−1)x+5，x∈(−∞，2)ax，x∈[2，+∞)在（﹣∞，+∞）上具有单调性，则实数a的范围是 （0，1）∪[3，+∞） ．
【分析】讨论0＜a＜1和a＞1时，求出函数f（x）是定义域上的单调函数，从而求出a的取值范围．
解：当0＜a＜1时，若函数f（x）是定义域（﹣∞，+∞）上的单调减函数，则a−1＜02(a−1)+5≥a2，解得0＜a＜1；
当a＞1时，若函数f（x）是定义域（﹣∞，+∞）上的单调增函数，则a−1＞02(a−1)+5≤a2，解得a≥3；
综上知，实数a的取值范围是（0，1）∪[3，+∞）．
故（0，1）∪[3，+∞）．
【点评】本题考查了分段函数的单调性应用问题，也考查了分类讨论思想，是基础题．
四、解答题
15．如图，已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且csAcsC=a2b−c．
（1）求A的值；
（2）若c＝2b＝4，M为边BC上一点，且2BM＝3MC，求AM的长．
【分析】（1）由正弦定理可得csAcsC=sinA2sinB−sinC，从而可得2csAsinB＝sinB，即csA=12，即可求解；
（2）利用余弦定理及向量的数量积求出AB→⋅AC→=bc2，利用平面向量基本定理表示出AM→=25AB→+35AC→，再平方求解．
解：（1）由题意及正弦定理可得：csAcsC=sinA2sinB−sinC，
故2csA•sinB＝sinA•csC+csA•sinC＝sin（A+C）＝sinB，
又sinB≠0，故csA=12，而A∈（0，π），
则A=π3；
（2）在△ABC中，由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc•csA＝b2+c2﹣bc，
故AB→⋅AC→=cb⋅csA=b2+c2−a22=bc2，
AM→=25AB→+35AC→，
所以|AM→|2=125（4AB→2+9AC→2+12AB→•AC→）=125（4AB→2+9AC→2+12|AB→|•|AC→|csA）
=125（4c2+9b2+12bc•12），
因为c＝2b＝4，即b＝2，
所以|AM→|=154×16+9×4+6×4×2=2375．
故AM=2375．
【点评】本题考查正弦定理，余弦定理的应用，及用向量的方法求线段的长度．
16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD=PC=CB=BA=12AD=2，AD∥CB，∠CPD＝∠ABC＝90°，平面PCD⊥平面ABCD．
（1）求证：PD⊥平面PCA；
（2）点Q在棱PA上，CQ与平面PDC所成角的正弦值为63，求平面PCD与平面CDQ夹角的余弦值．
【分析】（1）先在平面ABCD中，利用勾股定理证明CD⊥AC，再由面面垂直的性质定理，可得AC⊥平面PCD，从而知PD⊥AC，然后结合PC⊥PD，利用线面垂直的判定定理，即可得证；
（2）以C为原点建立空间直角坐标系，线利用向量法求线面角，可确定点Q的位置，再利用向量法求平面与平面的夹角，即可得解．
（1）证明：∵BC＝AB＝2，∠ABC＝90°，
∴AC=AB2+BC2=22，同理CD=22，
又AD＝4，∴CD2+AC2＝AD2，即CD⊥AC，
∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥平面PCD，
又PD⊂平面PCD，∴PD⊥AC，
∵∠CPD＝90°，即PC⊥PD，且PC⊂面PCA，AC⊂面PCA，PC∩AC＝C，
∴PD⊥平面PCA．
（2）解：以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则C(0，0，0)，A(0，22，0)，D(22，0，0)，P(2，0，2)，
∴CD→=(22，0，0)，CP→=(2，0，2)，PA→=(−2，22，−2)，
设PQ→=λPA→，λ∈[0，1]，则CQ→=CP→+λPA→=(2(1−λ)，22λ，2(1−λ），
易知，平面PCD的一个法向量为m→=(0，1，0)，
∵CQ与平面PDC所成角的正弦值为63，
∴63=|cs＜CQ→，m→＞|=|CQ→⋅m→||CQ→|⋅|m→|=22λ2(1−λ)2+8λ2+2(1−λ)2，解得λ=12，
∴CQ→=(22，2，22)，
设平面CDQ的一个法向量为n→=(x，y，z)，则n→⋅CD→=0n→⋅CQ→=0，即22x=022x+2y+22z=0，
令y＝1，得n→=(0，1，−2)，
设平面PCD与平面CDQ夹角为θ，
则csθ＝|cs＜n→，m→＞|=|n→⋅m→||n→|⋅|m→|=15×1=55，
故平面PCD与平面CDQ夹角的余弦值为55．
【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握面面垂直的性质定理，线面垂直的判定与性质定理，以及利用向量法求平面与平面的夹角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17．点A（m，2）在抛物线y2＝2px（0＜p＜2）上，且到抛物线的焦点F的距离为52．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点F的直线交抛物线于B，C两点，且∠BAC＝90°，求直线BC的方程．
【分析】（1）根据焦半径公式及点A（m，2）在抛物线上，列方程组，可求m，p的值．
（2）设出直线BC的方程：x=ty+p2，与抛物线方程联立，得到y1+y2，y1y2，再根据∠BAC＝90°，得BA→⋅BC→=0求t的值．
解：（1）根据焦半径公式可得m+p2=52，所以m=52−p2，
又22＝2pm，所以22=2p(52−p2)，
解得p＝1或p＝4（舍去），
故所求抛物线C方程为y2＝2x．
（2）F(12，0)，A（2，2），
设lBC：x=ty+12，B（x1，y1），C（x2，y2），
y2=2xx=ty+12⇒y2−2ty−1=0，
所以y1+y2=2ty1y2=−1⇒x1+x2=2t2+1x1x2=14，
AB→⋅AC→=(x1−2，y1−2)⋅(x2−2，y2−2)=0，
即x1x2﹣2（x1+x2）+y1y2﹣2（y1+y2）+8＝0，
即16t2+16t﹣21＝0，
⇒t1=−74，t2=34（此时直线过点A，舍去）
所以lBC：x=−74y+12，
即4x+7y﹣2＝0．
【点评】本题考查抛物线方程的应用，属于中档题．
18．近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖面越来越广泛，针对短视频的碎片化缺陷，将短视频剪接成长视频势必成为一种新的技能．某机构在网上随机对1000人进行了一次市场调研，以决策是否开发将短视频剪接成长视频的APP，得到如表数据：
其中的数据为统计的人数，已知被调研的青年人数为400．
（1）求a，b的值；
（2）根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析对短视频剪接成长视频的APP的需求，青年人与中老年人是否有差异？
参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)其中n＝a+b+c+d．
临界值表：
【分析】（1）由题意列方程组求出a、b的值．
（2）零假设，填写列联表，计算卡方，对照附表得出结论．
解：（1）由题意得，(2a+4b)+(a+b)=400a+4b=250，
解得a＝b＝50．
（2）零假设为H0：对短视频剪接成长视频APP的需求，青年人与中老年人没有差异．
由题意得2×2列联表，如下：
计算得：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=1000×(300×350−100×250)2400×600×450×550≈107.744＞10.828，
根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，
所以对短视频剪接成长视频的APP有需求，青年人与中老年人有差异．
【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了数据分析与运算核心素养，是中档题．
19．已知函数f（x）＝（4x+a）ln（x+1），g（x）＝x2+bx．
（1）当a＝4时，求f（x）的最小值；
（2）若y＝f（x）与y＝g（x）在原点处的切线重合，且函数h（x）＝f（x）﹣g（x）有且仅有三个极值点，求实数a的取值范围．
【分析】（1）求导，分析函数的单调性，可求f（x）的最小值；
（2）先根据f′（0）＝g′（0）确定a，b的关系，再把函数h（x）＝f（x）﹣g（x）有且仅有三个极值点转化成F(x)=ℎ′(x)=4ln(x+1)+4x+ax+1−2x−a有且仅有三个变号零点，求导，分析函数F（x）的单调性，结合该函数零点的个数求参数的取值范围．
解：（1）当a＝4时，f（x）＝4（x+1）ln（x+1），f′（x）＝4[ln（x+1）+1]，
令f′（x）＝0得：x=−1+1e，
当x∈(−1，−1+1e)时，f′（x）＜0，
x∈(−1+1e，+∞)时，f′（x）＞0，
∴f（x）在(−1，−1+1e)单调递减，(−1+1e，+∞)单调递增，
∴x=−1+1e时，f(x)min=−4e．
（2）∵函数f（x）＝（4x+a）ln（x+1），g（x）＝x2+bx．
∴f′(x)=4ln(x+1)+4x+ax+1，g′（x）＝2x+b，
由f′（0）＝g′（0）得：b＝a，
∴h（x）＝f（x）﹣g（x）＝（4x+a）ln（x+1）﹣（x2+ax），
问题即：F(x)=ℎ′(x)=4ln(x+1)+4x+ax+1−2x−a有且仅有三个变号零点，
F′(x)=F′(x)=4ln′(x+1)+(4x+ax+1)′−(2x+a)′=4x+1+4−a(x+1)2−2=−2x2+a−6(x+1)2，
当a≥6时，F′（x）≤0，∴F（x）在（﹣1，+∞）单调递减，又F（0）＝0，
∴此时F（x）在（﹣1，+∞）有且仅有一个变号零点0，不合题意；
当a≤4时，∴F′（x）在（﹣1，+∞）有唯一零点x0＞0．F（x）在（﹣1，x0）递增，（x0，+∞）递减，
∴此时F（x）在（﹣1，+∞）至多有两个变号零点，不合题意；
当4＜a＜6时，﹣[2×（﹣1）2+a﹣6]＜0，F′（0）＞0，F′（1）＜0，
∴F′（x）在（﹣1，+∞）有两个零点：﹣1＜x1＜0＜x2，
且x∈（﹣1，x1）时，F′（x）＜0，x∈（x1，x2）时，F′（x）＞0，x∈（x2，+∞）时，F′（x）＜0，
∴F（x）在（﹣1，x1）递减，（x1，x2）递增，（x2，+∞）递减，
又F（0）＝0，∴F（x1）＜0，F（x2）＞0，
又4＜a＜6时，4x+ax+1−a=(4−a)x+1x＜0，
∵y＝2x的增长速度大于y＝4ln（x+1）的增长速度，
∴∃n0＞0，4ln（n0+1）＜2n0，于是F（n0）＜0，
又4＜a＜6，﹣1＜x＜0，∴F(x)=4ln(x+1)+a−4x+1+4−2x−a＞4ln(x+1)+a−4x+1−2，
令x+1=1em，则4ln(x+1)+a−4x+1−2=(a−4)em−4(m+2)，
∵y＝（a﹣4）ex的增长速度大于y＝4x+2的增长速度，
∴∃m0＞0，(a−4)em0＞4m0+2，于是F（m0）＞0，
∴F（x）在（﹣1，x1），（x2，+∞）各有一个零点x3，x4，
∴此时F（x）有三个零点：x3，0，x4，合题意，
∴4＜a＜6，
故a的取值范围是（4，6）．
【点评】本题考查导数的应用，属于难题．
青年人
中年人
老年人
对短视频剪接成长视频的APP有需求
2a+4b
200
a
对短视频剪接成长视频的APP无需求
a+b
150
4b
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
D
D
A
A
A
B
青年人
中年人
老年人
对短视频剪接成长视频的APP有需求
2a+4b
200
a
对短视频剪接成长视频的APP无需求
a+b
150
4b
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
青年人
中老年人
合计
对短视频剪接成长视频的APP有需求
300
250
550
对短视频剪接成长视频的APP无需求
100
350
450
合计
400
600
1000