2024~2025学年广东省清远市高三上学期1月期末数学试卷【有解析】

这是一份2024~2025学年广东省清远市高三上学期1月期末数学试卷【有解析】，共22页。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷共150分，考试时间120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据复数运算求得正确答案.
【详解】
.
故选：D
2. 已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】先解二次不等式得出集合，然后利用集合交集运算得出集合，最后判断元素与集合间的关系.
【详解】由，
又，
所以，
所以，故选项A错误，
，故选项B正确，
，故选项C错误，
，故选项D错误，
故选：B.
3. 已知为定义在上的偶函数，则的解析式可以为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】根据函数的奇偶性确定正确答案.
【详解】由于为定义在上的偶函数，
所以，
所以，所以是奇函数.
在四个选项中，A选项是奇函数，BCD选项都不是奇函数.
故选：A
4. 古希腊的数学家阿基米德早在2200多年前利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.如图，某种椭圆形镜子按照实际面积定价，每平方米200元，小张要买的镜子的外轮廓是长轴长为1.8米且离心率为的椭圆，则小张要买的镜子的价格约为（ ）
A. 1356元B. 341元C. 339元D. 344元
【正确答案】C
【分析】设镜子的外轮廓对应的椭圆的长半轴长与短半轴长分别为a米，b米，进而结合题意得 再计算面积即镜子的价格。
【详解】解：设镜子对应的椭圆的长半轴长与短半轴长分别为a米，b米，
因为长轴长为1.8米且离心半为 ，
解得
，即，
元
故选：C.
5. 已知函数的图象关于点对称，且在上单调，则的取值集合为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据已知条件列式，由此求得的取值集合.
【详解】关于点对称，所以，
所以①；
，而在上单调，
所以，②；
由①②得的取值集合为.
故选：C
6. 在三棱锥中，“三棱锥为正三棱锥”是“且”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【分析】验证充分性可根据正三棱锥的几何性质通过线面垂直的判定及性质判断线线垂直，必要性验证借助直四棱柱构造三棱锥满足，，结合直四棱柱的性质判断三棱锥是否为正三棱锥即可.
【详解】解：充分性：如图，在中，为中点，连接
若三棱锥正三棱锥，则为正三角形，且，
因为为中点，所以，又平面
所以平面，又平面，则，
同理可得，故充分性成立；
必要性：如图，
在直四棱柱中，底面为菱形，且，但
由直四棱柱及底面为菱形，易得，又，
则直四棱柱的侧面均为正方形，易得，且，
由于，则不为正三角形，故三棱锥不为正三棱锥，故必要性不成立；
综上，“三棱锥为正三棱锥”是“且”的充分不必要条件.
故选：A.
7. 已知P，Q为圆上的两个动点，点，且，则坐标原点О到直线PQ的距离的最大值为（ ）
A. B. C. D. 2
【正确答案】C
【分析】设的中点为，求得点的轨迹，由此求得正确答案.
【详解】设的中点为，由，得，
设，由，
得，即，
即，
所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆.
则点到直线的距离的最大值为.
故选：C
8. 如图，已知OAB是半径为2km的扇形，，C是弧AB上的动点，过点C作，垂足为H，某地区欲建一个风景区，该风景区由和矩形组成，且，则该风景区面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】设，其中.利用表示风景区面积，求出最大值即可.
【详解】设，其中，则.
又，则.
则风景区面积.
又，
则，
当且仅当，即时取等号.
故选：A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 某市经济开发区的经济发展取得阶段性成效，为深入了解该区的发展情况，现对该区两企业进行连续11个月的调研，得到两企业这11个月利润增长指数折线图（如下图所示），下列说法正确的是（ ）
A. 这11个月甲企业月利润增长指数的平均数超过82%
B. 这11个月的乙企业月利润增长指数的第70百分位数小于82%
C. 这11个月的甲企业月利润增长指数较乙企业更稳定
D. 在这11个月中任选2个月，则这2个月乙企业月利润增长指数都小于82%的概率为
【正确答案】AC
【分析】根据折线图估算AC，对于B项把月利润增长指数从小到大排列，计算%=7.7可求,对于D项用古典概型的概率解决.
【详解】显然甲企业大部分月份位于%以上，故利润增长均数大于%，A正确；
乙企业润增长指数按从小到大排列分别是第2，1，3，4，8，5，6，7，9，11，10
又因为%=7.7,所以从小到大排列的第8个月份，即7月份是第70百分位，从折线图可知，7月份利润增长均数大于%，故B错误；
观察折现图发现甲企业的数据更集中，所以甲企业月利润增长指数较乙企业更稳定，故C正确；
（2个月乙企业月利润增长指数都小于82%）,故D错误.
故选：AC
10. 我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何?”其大意是：现有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走里，九天他共行走了一千二百六十里，求的值.关于该问题，下列结论正确的是（ ）
A.
B. 此人第三天行走了一百二十里
C. 此人前七天共行走了九百一十里
D. 此人有连续的三天共行走了三百九十里
【正确答案】BCD
【分析】根据等差数列的知识进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由题意设此人第一天走里，第天走里，是等差数列，
，，A选项错误.
里，B选项正确.
里，C选项正确.
，所以D选项正确.
故选：BCD
11. 已知棱长为2的正方体的中心为，用过点的平面去截正方体，则（ ）
A. 所得的截面可以是五边形B. 所得的截面可以是六边形
C. 该截面的面积可以为D. 所得的截面可以是非正方形的菱形
【正确答案】BCD
【分析】利用正方体的对称性逐一判断即可.
【详解】过正方体中心的平面截正方体所得的截面至少与四个交，所以可能是四边形、五边形、六边形，
又根据正方体对称性，截面不会是五边形，但可以是正六边形和非正方形的菱形（如图）故A错误，BD正确；
因为四边形的面积为，当截面过中心且平行与底面时，截面为矩形（此时也是正方形），且面积为，若这个截面绕着中心旋转，转到与四边形重合，此时面积为，所以在转动过程一定存在截面面积为，C正确．
故选：BCD．
12. 设，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】ACD
【分析】逐项分析，构造函数结合导数判断单调性来确定与，与，与，与大小关系.
【详解】解：，，，，
对于A，设，则，令，则恒成立，
所以在上单调递增，则恒成立，所以在上单调递增，
则，即，所以，故A正确；
对于B，设，则，故在上单调递增，
则，整理得，所以，故B不正确；
对于D，设，则，
当时，，所以在上单调递增，
所以有，即，所以，则，故D正确；
由前面可知，所以，故C正确.
故选：ACD.
本题主要考查构造函数结合导数比较指对幂大小问题，属于难题.解决本题的关键是处理好指对幂式子中自变量的位置，结合作差法比较大小，构造差函数，给定定义域求导确定函数单调性最后比较函数值大小即可判断，例如比较，大小，将转换得，可构造差函数，求解导数结合导函数的性质即可确定在的单调性，从而可得函数值大小，即可判断大小关系.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在平行四边形中，是线段的中点，若，则_________.
【正确答案】
【分析】根据平面向量线性运算直接求解即可.
【详解】
四边形为平行四边形，为中点，为中点，
，，，
.
故答案为.
14. 的展开式中常数项为_________.
【正确答案】
【分析】根据的展开式的通项公式求出的系数即得的展开式中常数项.
【详解】的展开式的通项为，
令，解得，
所以的展开式中常数项为.
故答案为.
15. 已知P为双曲线C：上异于顶点，的任意一点，直线，的斜率分别为，，写出满足C的焦距小于8且的C的一个标准方程：_________.
【正确答案】（答案不唯一）
【分析】首先设点，，，根据条件转化为关于的不等式组，再写出满足条件的一个标准方程.
【详解】设，，，
，
所以，取，则，，
所以满足条件的双曲线的标准方程是.
故（答案不唯一）
16. 设函数若关于的方程有四个实根，，，且，则_________，的最小值为_________.
【正确答案】 ①. ②.
【分析】画出的图象，结合图象求得，，，的关系式，根据基本不等式求得正确答案.
【详解】画出的图象如下图所示.
由图可知，其中.
因为，即，
整理得
且，
所以，
当且仅当时等号成立，此时，
又因为
，
当且仅当时等号成立，此时.
所以的最小值为.
故；
解决含有绝对值的对数函数的问题，可结合函数图象来进行研究.求解最值问题，可考虑利用基本不等式或二次函数的性质来进行求解.二次函数的图象具有对称性.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. a，b，c分别为内角A，B，C的对边.已知.
（1）求；
（2）若，，求的周长.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用正弦定理边换角，再用和差公式化简，代入倍角公式即可求解；
（2）利用余弦定理的变形公式代入即可求解.
【小问1详解】
，
由正弦定理得：
，，
，
，
即.
【小问2详解】
，，
①，
又②，③，
联立①②③解得：，，
.
即的周长为：16.
18. 2022年卡塔尔世界杯于北京时间11月20日在卡塔尔正式开赛，该比赛吸引了全世界亿万球迷观看.为了了解喜爱观看世界杯是否与性别有关，某体育台随机抽取200名观众进行统计，得到如下2×2列联表.
（1）试根据小概率值独立性检验，能否认为喜爱观看世界杯与性别有关联?
（2）在喜爱观看世界杯的观众中，按性别用分层抽样的方式抽取8人，再从这8人中随机抽取人参加某电视台的访谈节目，设参加访谈节目的女性观众与男性观众的人数之差为，求的分布列.
附：，其中.
【正确答案】（1）喜爱观看世界杯与性别有关联
（2）分布列详见解析
【分析】（1）计算的值，由此作出判断.
（2）根据分布列的求法求得的分布列.
【小问1详解】
零假设为喜爱观看世界杯与性别无关联.
根据列表中的数据，经计算得到
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
所以喜爱观看世界杯与性别有关联.
【小问2详解】
按照分层抽样的方式抽取人，其中男观众人，女观众人，
的可能取值为，
，
所以的分布列为：
19. 在四棱锥中，平面底面ABCD，底面ABCD是菱形，E是PD的中点，，，.
（1）证明：平面EAC.
（2）若四棱锥的体积为，求直线EC与平面PAB所成角的正弦值.
【正确答案】（1）证明详见解析
（2）
【分析】（1）通过构造中位线的方法来证得平面EAC.
（2）根据四棱锥的体积求得，建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线EC与平面PAB所成角的正弦值.
【小问1详解】
连接交于，连接，
因为四边形是菱形，所以是的中点，
又是的中点，所以，
因为平面平面，
所以平面.
【小问2详解】
取的中点，连接，则，
因为平面平面且交线为，平面，
所以平面.
设，则，解得.
因为底面是菱形，，所以，且.
以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，
，
设平面的法向量为，
则，
故可设，
则，
所以直线EC与平面PAB所成角的正弦值为.
20. 已知数列的前项和为，，是公比为的等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由是公比为的等比数列，可得，再根据与的关系可求得的通项公式；
（2）根据（1）中结果得，按照分组求和方法结合裂项求和与等比数列求和公式即可得.
【小问1详解】
解：因为是公比为的等比数列，其首项为，
所以，则①，
当时，②，则①减去②得：，
即，整理得，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
故.
【小问2详解】
解：由（1）可得，
所以
.
21. 已知抛物线：，F为抛物线的焦点，且直线与抛物线交于A，B两点.
（1）若直线的方程为，求的面积；
（2）设线段AB的中点为T，已知点P是不同于A，B的一点，若，，且M，N均在抛物线上，证明：直线PT垂直于y轴.
【正确答案】（1）
（2）证明详见解析
【分析】（1）结合弦长公式以及点到直线的距离公式求得的面积；
（2）通过求的纵坐标来求进行证明.
【小问1详解】
设，
抛物线的焦点为，直线与轴交于点，
由消去并化简得，
，
所以，
到直线的距离，
所以三角形的面积为.
【小问2详解】
设，，
由于，所以，
解得，同理可得，
由于均在抛物线上，
所以，
可得是方程的两个不同实根，
即是方程的两个不同实根，所以，
则线段的中点的纵坐标为，
又因为点的纵坐标也是，所以直线垂直于轴.
22. 已知函数的图象在点处的切线斜率为0.
（1）求在上的单调区间；
（2）设是的导函数，函数，若对恒成立，求的取值范围.
【正确答案】（1）见解析 （2）
【分析】（1）求导得到导函数，设，根据单调性得到当时，，当时，，再计算单调区间即可.
（2）求导得到导函数，题目转化为对恒成立，分别根据必要性和充分性得到答案.
【小问1详解】
，函数的图象在点处的切线斜率为0
可得，即则
设，则对恒成立.
所以在上单调递增，又，所以当时，
当，并且函数在上单调递增,
当上，
当上，，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
【小问2详解】
，
，所以恒成立．
若对恒成立，则对恒成立．
设，，，
则．
当时，在上恒成立，所以在上单调递增，
所以当时，，满足题意.
当时，且时，，，则，不满足题意.
当时，令则
因为，所以在区间上有无穷多个零点.
设最小的零点为，则当时，，所以在上单调递增，
所以，即在上恒成立，
所以当时，，可得，不满足题意，
综上可知，的取值范围为
关键点点睛：分离参量是解决恒成立或者能成立的重要解题方法.而且分离常量常常与函数的最值结合.
男
女
合计
喜爱看世界杯
60
20
80
不喜爱看世界杯
40
80
120
合计
100
100
200
0.1
0.05
0.01
0.005
0001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828