【九上BS数学】安徽省宿州市泗县2024-2025年九年级上学期第一次月考数学试卷

这是一份【九上BS数学】安徽省宿州市泗县2024-2025年九年级上学期第一次月考数学试卷，共25页。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 若方程是关于x的一元二次方程，则？部分可能是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，在矩形中，若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，公路互相垂直，公路的中点M与拐点C被湖隔开，若测得的长为，则M、C两点间的距离为（ ）．
A. B. C. D.
4. 若是一元二次方程的根，则（ ）
A 5B. 7C. D.
5. 如图，四边形是菱形，，，于点，则的长为（ ）
A. B. C. D.
6. 老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式，用配方法求解一元二次方程，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，…，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（ ）．
A. 小明B. 小丽C. 小红D. 小亮
7. 春节期间电影《热辣滚烫》上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为 x，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 数学课上，老师在投影屏上出示下面的抢答题，需要同学们回答横线上符号可以代表的内容．
如图，四边形是平行四边形，
①当※时，平行四边形是矩形． ②当时，平行四边形是矩形．
③当▲时，平行四边形菱形． ④当时，平行四边形是正方形．
则回答不正确的是（ ）
A. ※可以代表B. ◎可以代表
C. ▲可以代表D. 可以代表
9. 在解关于x的一元二次方程时，嘉嘉将抄成了，因此解得两个相等的实数根，则原方程（ ）
A. 没有实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 无法判断根的情况
10. 如图，，矩形的顶点，分别在边，上，当在上运动时，点随之在上运动，矩形的形状保持不变，其中，，运动过程中，点到点的最大距离是（ ）
A. 24B. 25C. D. 26
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是________．
12. 如图，在直角坐标系中，菱形的顶点P坐标是，则顶点N的坐标是______．
13. 甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，木工师傅拿尺子要他们帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测：
甲：量得窗框两组对边分别相等；
乙：量得窗框对角线相等；
丙：量得窗框一组邻边相等：
丁：量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线相等．
检测后，他们都判断说窗框是矩形，则检测方法正确的同学是________．
14. 对于两个互不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b两个数中最大的数．按照这个规定解决下列问题：
（1）方程的解为________；
（2）方程的解为________．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 按要求解下列一元二次方程：
（1）（配方法）；
（2）（因式分解法）．
16. 如图所示，在中，，平分，于，于，求证：四边形是正方形．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点E（尺规作图的痕迹已保留），连接．求证：四边形为菱形．
嘉淇将上题总结为如下不完整的已知和求证．
求证：四边形为菱形．
（1）在方框中填空，补全已知条件；
（2）嘉淇的想法是：利用平行四边形的性质判定四边形为平行四边形，再判定四边形为菱形，请按嘉淇的想法写出证明．
18. 小明同学解方程的过程如下：
解：∵，，，…第一步
∴，…第二步
∴，……第三步
∴，……第四步
（1）小明的解答过程存在错误，他是从第________步开始出错的；
（2）请写出本题正确的解答过程．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 在正方形中，对角线，E为上一点，连接．
（1）求证：．
（2）延长交于F，当时，求的度数．
20. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：不论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若，是该方程两个实数根，且，求a的值．
21. 如图，矩形中，的平分线分别交边于点E、F．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）当为多少度时，四边形是菱形？请说明理由．
22. 根据以下销售情况，解决销售任务．
23. 如图，在中，，，垂足为是的外角的平分线，于E，连接交于F．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）试判断线段与的关系，并证明你的结论；
（3）当四边形是一个正方形时，试判断的形状，并证明．
2024－2025学年第一学期教学质量检测一
九年级数学 北师大版
（考试时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 若方程是关于x的一元二次方程，则？部分可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得？部分一定是只含有未知数x，且未知数x的最高次为2的整式，据此可得答案．
【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴？部分一定是只含有未知数x，且未知数x的最高次为2的整式，
∴四个选项中只有D选项符合题意，
故选：D．
2. 如图，在矩形中，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先根据矩形对角线相等且互相平分得到，再由等边对等角得到，据此利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：如图所示，设交于O，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
3. 如图，公路互相垂直，公路的中点M与拐点C被湖隔开，若测得的长为，则M、C两点间的距离为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质是解题的关键．
连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，据此解答即可．
【详解】解：如图：连接，
∵公路的中点M，
∴，
∵，
∴，
∴M，C两点间的距离为．
故选B．
4. 若是一元二次方程的根，则（ ）
A. 5B. 7C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，当关于x的一元二次方程有解时，则，由此根据题意可得，再代值计算即可．
【详解】解：∵是一元二次方程根，
∴，
∴，
故选：D．
5. 如图，四边形是菱形，，，于点，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．根据菱形的性质得出、的长，在中求出，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于，即可得出的长度．
【详解】解：四边形菱形，
，，，
，
，
，
故选：C
6. 老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式，用配方法求解一元二次方程，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，…，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（ ）．
A. 小明B. 小丽C. 小红D. 小亮
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用配方法解一元二次方程成为解题的关键．
先用配方法解老师出示的一元二次方程即可判断出错的同学．
【详解】解：，
方程左右两边同时除以2可得：，即小明正确；
由等式的性质可得，
所以，
∴，故小红出错．
故选C．
7. 春节期间电影《热辣滚烫》上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为 x，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，设平均每天票房的增长率为 x，则第二天的票房为亿元，第三天的票房为亿元，再根据3天的累计票房为亿元列出方程即可．
【详解】解：设平均每天票房的增长率为 x，则第二天的票房为亿元，第三天的票房为亿元，
由题意得，，
故选：D．
8. 数学课上，老师在投影屏上出示下面的抢答题，需要同学们回答横线上符号可以代表的内容．
如图，四边形是平行四边形，
①当※时，平行四边形是矩形． ②当时，平行四边形是矩形．
③当▲时，平行四边形菱形． ④当时，平行四边形是正方形．
则回答不正确的是（ ）
A. ※可以代表B. ◎可以代表
C. ▲可以代表D. 可以代表
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形，菱形，正方形的判定定理，熟知矩形，菱形，正方形的判定定理是解题的关键.
【详解】解：①∵四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是矩形，故①回答正确，不符合题意；
②∵四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是矩形，故②回答正确，不符合题意；
③∵四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是菱形，故③回答正确，不符合题意；
④∵四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是菱形，不一定是正方形，故④回答错误，符合题意；
故选：D。
9. 在解关于x的一元二次方程时，嘉嘉将抄成了，因此解得两个相等的实数根，则原方程（ ）
A. 没有实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 无法判断根的情况
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，根据题意可得关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则由判别式可得k的值，再利用判别式判断原方程的解的个数即可．
【详解】解：由题意得，关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴原方程为，
∴Δ=−42−4×−4=32>0，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
10. 如图，，矩形的顶点，分别在边，上，当在上运动时，点随之在上运动，矩形的形状保持不变，其中，，运动过程中，点到点的最大距离是（ ）
A. 24B. 25C. D. 26
【答案】B
【解析】
【分析】取的中点，连接、、，由三角形的三边关系可知当、、三点共线时，点到点的距离最大，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，然后由勾股定理求出的长，即可得出答案．
【详解】解：取的中点，连接、、，如图所示：
，
当、、三点共线时，点到点的距离最大，此时，，
，
是直角三角形，
点是的中点，，
，
四边形是矩形，
，由勾股定理得，
的最大值为，
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质、三角形的三边关系、矩形的性质、勾股定理等知识，根据三角形的三边关系判断出点、、三点共线时，点到点的距离最大是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是________．
【答案】
【解析】
【分析】先把x=2代入原方程即可解出m的值，再用两根之和求解即可
【详解】把x=2代入原方程得22＋5×2－m=0，解得m=14，
∴原方程为
解得x1=-7,x2=2,
故另一个解为.
故答案为：．
【点睛】此题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是先求出原方程，再进行求解．
12. 如图，在直角坐标系中，菱形的顶点P坐标是，则顶点N的坐标是______．
【答案】8,4
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理等知识点，解此题的关键是，求出菱形的边长．延长交y轴于A，根据菱形的性质得到N的纵坐标和P的纵坐标相同，都是4，由勾股定理求出菱形的边长，即可得到N的横坐标，即可得到答案．
【详解】解：延长交y轴于A，

∵菱形，
∴轴，，
∵点P坐标是，
∴，，点N的纵坐标为4，
∴，
∴，
∴，
即N的横坐标是8，
∴．
故答案为：8,4．
13. 甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，木工师傅拿尺子要他们帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测：
甲：量得窗框两组对边分别相等；
乙：量得窗框对角线相等；
丙：量得窗框的一组邻边相等：
丁：量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线相等．
检测后，他们都判断说窗框是矩形，则检测方法正确的同学是________．
【答案】丁
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，熟知矩形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：两组对边分别相等的四边形不一定是矩形，故甲说法错误；
对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线也相等，故乙说法错误；
一组邻边相等的四边形不一定是矩形，故丙说法错误；
两组对边相等的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，故丁说法正确；
故答案为：丁．
14. 对于两个互不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b两个数中最大的数．按照这个规定解决下列问题：
（1）方程的解为________；
（2）方程的解为________．
【答案】 ①. ②. 或
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义：
（1）根据新定义可得方程，解方程即可得到答案；
（2）当时，由新定义可得方程，解方程即可得到答案；当时，由新定义可得方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
故答案为：．
（2）当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得或（舍去）；
当时，
∵，
∴，
∴，
解得或（舍去）；
综上所述，或；
故答案为：或．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 按要求解下列一元二次方程：
（1）（配方法）；
（2）（因式分解法）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）先把二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行平方，进而解方程即可；
（2）先移项，然后利用提公因式法分解因式，进而解方程即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得．
16. 如图所示，在中，，平分，于，于，求证：四边形是正方形．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查正方形的判定、角平分线的性质和矩形的判定．本题的关键是要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．根据有三个角是直角的四边形是矩形判定四边形是矩形，再根据正方形的判定方法即可得出结论．
【详解】证明：平分，，，
，，
又，
四边形是矩形，
，
矩形是正方形．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点E（尺规作图的痕迹已保留），连接．求证：四边形为菱形．
嘉淇将上题总结为如下不完整的已知和求证．
求证：四边形为菱形．
（1）方框中填空，补全已知条件；
（2）嘉淇的想法是：利用平行四边形的性质判定四边形为平行四边形，再判定四边形为菱形，请按嘉淇的想法写出证明．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，角平分线的尺规作图，菱形的判定：
（1）根据作图方法可得，根据角平分线的定义可得，据此可得答案；
（2）先由平行四边形的性质得到，则由平行线的性质和角平分线的定义可证明，则，进而可知，据此证明四边形是平行四边形，即可证明四边形是菱形．
【小问1详解】
解：根据题意可知，已知：如图，在平行四边形，， ，
故答案为：；
【小问2详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
18. 小明同学解方程的过程如下：
解：∵，，，…第一步
∴，…第二步
∴，……第三步
∴，……第四步
（1）小明的解答过程存在错误，他是从第________步开始出错的；
（2）请写出本题正确的解答过程．
【答案】（1）一 （2）过程见解析，
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）观察解题过程可知，他是从第一步开始出错的，原因是没有先把原方程化为一般式，导致c的值错误；
（2）先把原方程化为一般式，再利用公式法解方程即可．
【小问1详解】
解：观察解题过程可知，他是从第一步开始出错的，原因是没有先把原方程化为一般式，导致c的值错误，
故答案为：一．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 在正方形中，为对角线，E为上一点，连接．
（1）求证：．
（2）延长交于F，当时，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质进行推理是解题的关键．
（1）根据正方形的性质得出，根据即可证出结论；
（2）由等腰三角形的性质可得，再根据平行线的性质求出，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵，且，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
20. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：不论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若，是该方程的两个实数根，且，求a的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，．
（）计算一元二次方程根的判别式进而即可求解；
（）利用根与系数的关系，，求解即可．
【小问1详解】
证明：
，
∴方程总有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
解：题意得，，
∵，
∴，
∴，
解得：．
21. 如图，矩形中，的平分线分别交边于点E、F．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）当为多少度时，四边形是菱形？请说明理由．
【答案】（1）详见解析
（2）当时，四边形是菱形，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查矩形的性质、平行四边形、菱形，熟练掌握矩形的性质、平行四边形的判定与菱形的判定是解题的关键．
（1）由矩形可得，结合平分、平分得，即可知，根据即可得证；
（2）当时，四边形是菱形，由角平分线知、，结合可得，即，即可得证．
【小问1详解】
证明：四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵平分、平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
当时，四边形菱形，
∵平分，
∴，
∵四边形是矩形，
，
，
，
，
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
22. 根据以下销售情况，解决销售任务．
【答案】任务1：1750；任务2：120
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，一元二次方程的实际应用：
（1）根据利润（原售价进价降价）销售量其他成本列式求解即可；
（2）设每件衬衫应该降价x元，利润（原售价进价降价）销售量其他成本列出方程求解即可．
【详解】解：任务1：元，
∴当每件衬衫降价5元时，平均每天盈利1750元；
任务2：设每件衬衫应该降价x元，
由题意得，，
整理得：，
解得或，
∵要尽快减少库存，
∴，
∴元，
答：每件衬衫售价应定120元．
23. 如图，在中，，，垂足为是的外角的平分线，于E，连接交于F．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）试判断线段与的关系，并证明你的结论；
（3）当四边形是一个正方形时，试判断的形状，并证明．
【答案】（1）四边形为矩形．理由见解析
（2），，证明见解析
（3）当四边形是一个正方形，是等腰直角三角形，证明见解析
【解析】
【分析】（1）先证明，再结合矩形的判定方法可得结论；
（2）利用矩形的性质证明是的中点，结合三角形的中位线的性质可得结论；
（3）有正方形的性质得到，根据等边对等角得到，则即可得到是等腰直角三角形．
【小问1详解】
解：四边形为矩形．理由如下：
∵，
，
又平分，
，
，
，
又∵，
，
四边形为矩形；
【小问2详解】
解：，，证明如下：
四边形为矩形，对角线与相交于点，
是的中点，
∵，
是的中点，
为的中位线，
，．
【小问3详解】
解：当四边形是一个正方形，是等腰直角三角形，证明如下：
∵矩形是正方形．
，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义，矩形的判定与性质，三角形的中位线的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键．已知：如图，在平行四边形， ________， ________．
销售情况分析
素材1
某商场购进了一批名牌衬衫，进价为每件100元，销售价为每件150元，平均每天可售出20件．
素材2
为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．
素材3
这批衬衫平均每天要扣除其它成本50元．
市场调查
经调查发现，如果每件衬衫售价每降价1元，商场平均每天可多售出4件．
任务解决
任务1
当每件衬衫降价5元时，平均每天盈利多少元？
任务2
若商场平均每天盈利2750元，每件衬衫售价应定为多少元？
已知：如图，在平行四边形， ________， ________．
销售情况分析
素材1
某商场购进了一批名牌衬衫，进价为每件100元，销售价为每件150元，平均每天可售出20件．
素材2
为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．
素材3
这批衬衫平均每天要扣除其它成本50元．
市场调查
经调查发现，如果每件衬衫售价每降价1元，商场平均每天可多售出4件．
任务解决
任务1
当每件衬衫降价5元时，平均每天盈利多少元？
任务2
若商场平均每天盈利2750元，每件衬衫售价应定为多少元？