【九上HK数学】安徽省铜陵市枞阳县2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

这是一份【九上HK数学】安徽省铜陵市枞阳县2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷，共25页。
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 下列函数是二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
2. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
3. 把抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，则平移后抛物线的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
4. 二次函数的图象的对称轴是（ ）
A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线
5. 下列二次函数解析式中，其图象与y轴的交点在x轴下方的是（ ）
A B. C. D.
6. 在函数的图象上，当随的增大而减小时，的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 二次函数（为常数，且）中的与的部分对应值如下表：
则代数式的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图1是抛物线形石拱桥，当水面离拱顶时，水面宽．建立如图2所示的平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点的坐标是，与轴的一个交点的坐标为，直线经过两点．下列结论错误的是（ ）
A. B. 方程有两个相等的实数根
C. 当时，D. 抛物线与轴的另一个交点是
10. 如图，函数和（是常数，且）在同一平面直角坐标系中图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若二次函数的图象经过原点，则的值为______．
12. 把二次函数由一般式化成顶点式为，则的值为______．
13. 若抛物线图像与一次函数的图像有两个交点，分别为，，则关于的方程的解为______．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点为上一点，过点作，且，连接．
（1）当点为的中点时，的长为______．
（2）当点在上移动时，的最小值为______．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 已知二次函数的图象经过点，求该二次函数的表达式．
16. 已知抛物线与直线的图象交于两点（点在点的左侧），试分别求两点的横坐标．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 已知抛物线．
（1）求该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；
（2）当为何值时，随的增大而减小，当为何值时，随的增大而增大？
18. 如图是学校校园内一堵围墙边上的一块空地，现准备用木栏围成一个矩形菜园作为学生的实践基地．已知矩形菜园的一边靠墙（墙足够长），另三边一共用了木栏．请设计一个修建方案，使得矩形菜园的面积最大．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 已知二次函数的图像的顶点为．
（1）求，的值；
（2）当时，求的取值范围．
20. 已知二次函数（是常数）．
（1）若该函数的图象与轴有两个不同的交点，求的取值范围．
（2）若该二次函数的图象与轴的其中一个交点坐标为，求一元二次方程的解．
六、（本题满分12分）
21. 如图，点在轴的正半轴上，且，点在轴的正半轴上，且，直线AB与抛物线在第一象限内相交于点，连接，已知．
（1）求的值；
（2）若将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，恰好经过点，试确定值．
七、（本题满分12分）
22. 又到了板栗飘香季节，为提高大家购买的积极性，销售板栗的顺发果业每天拿出元现金，作为红包发给购买者．已知板栗每日销售量与销售单价（元）满足关系：．当每日销售量低于时，成本价格为元；当每日销售量不低于时，成本价格为元；在销售中销售单价不低于成本价格且不高于元．设销售板栗的日获利为（元）．
（1）当日销售量不低于时，的取值范围是______；
（2）请求出日获利与销售单价之间的函数关系式；
（3）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
八、（本题满分14分）
23. 如图，抛物线与轴交于，两点，交轴于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点是第一象限内抛物线上的一点，过点作直线轴于点，交直线AB于点．
①当时，求点的坐标；
②当取得最大值时，求点的坐标．
九年级数学
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 下列函数是二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数进行判定即可求解．
【详解】解：A、，不是二次函数，不符合题意；
B、，是二次函数，符合题意；
C、，是一次函数，不符合题意；
D、，不是二次函数，不符合题意；
故选：B ．
2. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查二次函数的性质，解题关键在于掌握二次函数的顶点坐标为．利用抛物线顶点式的特点即可求得答案．
【详解】解：抛物线解析式为，
抛物线顶点坐标为，
故选：C．
3. 把抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，则平移后抛物线的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了抛物线的平移，熟练掌握抛物线的平移规律：“左加右减，上加下减”是解题的关键．根据二次函数的图象平移的法则进行解答即可．
【详解】解：抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，平移后抛物线的表达式是，
故选：A．
4. 二次函数的图象的对称轴是（ ）
A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质，根据顶点式可得顶点坐标为，即对称轴为，由此即可求解．
【详解】解：已知二次函数，
∴顶点坐标为，
∴对称轴为x=2，
故选：D ．
5. 下列二次函数解析式中，其图象与y轴的交点在x轴下方的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令，即可求出各二次函数图象与y轴交点，即可求解．
【详解】解：A：令，，交点在x轴上方，不符合题意；
B：令，，交点在x轴下方，符合题意；
C：令，，交点在x轴上方，不符合题意；
D：令，，交点在坐标原点，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查了二次函数图象与y轴的交点坐标．注意计算的准确性．
6. 在函数的图象上，当随的增大而减小时，的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数顶点式可得顶点坐标为，图像开口向下，根据函数的增减性即可求解．
【详解】解：已知，
∴二次函数图象的开口向下，顶点坐标为，
∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
∴当 随 的增大而减小时， 的取值范围为，
故选：A ．
7. 二次函数（为常数，且）中的与的部分对应值如下表：
则代数式的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据表格可得二次函数的对称轴为，图形经过，把x=1代入二次函数可得，由此即可求解．
【详解】解：当x=0时，；当时，；
∴二次函数图象的对称轴为，
∴，
当x=1时，，
∴，
故选：B ．
8. 如图1是抛物线形石拱桥，当水面离拱顶时，水面宽．建立如图2所示的平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据图示，二次函数图象经过，顶点坐标为，设二次函数解析式为，把顶点坐标代入计算即可求解．
【详解】解：根据题意，二次函数图象经过，顶点坐标为，设二次函数解析式为，
∴，
解得，，
∴二次函数解析式为，
故选：A ．
9. 如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点的坐标是，与轴的一个交点的坐标为，直线经过两点．下列结论错误的是（ ）
A. B. 方程有两个相等的实数根
C. 当时，D. 抛物线与轴的另一个交点是
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象的性质，根据二次函数图象可得判定A选项；根据二次函数的顶点坐标可判定B选项；根据图示信息可判定C选项；根据对称轴与二次函数与轴的交点可得另一个交点，判定D选项；由此即可求解．
【详解】解：根据二次函数图象开口向下，与轴的交于正半轴，
∴，
∵顶点坐标为，
∴对称轴，
∴，
∴，故A选项错误，符合题意；
∵二次函数的顶点坐标为，即当x=1时，，
∴有两个相等的实数根，，故B选项正确，不符合题意；
根据图示可得，当时，，故C选项正确，不符合题意；
∵二次函数的对称轴为x=1，与轴的一个交点坐标为，
∴另一个交点的横坐标为，
∴抛物线与轴的另一个交点是，故D选项正确，不符合题意；
故选：A ．
10. 如图，函数和（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数，一次函数图象的性质，根据题意，分类讨论，当a>0时；当时；结合二次函数图象，一次函数图象经过的象限判定即可求解．
【详解】解：当a>0时，则，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限；
二次函数的图象开口向上，对称轴为，即对称轴在轴的左边，当x=0时，，即与轴交于点；
∴A选项的图，一次函数图象正确，二次函数图象不正确，不符合题意；
B选项的图，一次函数图象不正确，二次函数图象正确，不符合题意；
C、D选项均不符合该种情况；
当时，，
∴一次函数图象经过第一、三、四象限；
二次函数图象开口向下，对称轴，即对称轴在轴右边，与轴交于点；
如图所示，
∴D选项的图符合题意，
故选：D ．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若二次函数的图象经过原点，则的值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据题意，把原点代入计算即可求解．
【详解】解：∵二次函数的图象经过原点，
∴，且
解得，，，
∴的值为，
故答案为： ．
12. 把二次函数由一般式化成顶点式为，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的一般式与顶点式的转化，熟练掌握配方法是解题的关键．把二次函数配方可得，推出，求出，最后根据即可求解．
【详解】解：，
二次函数由一般式化成顶点式为，
，
解得：，
，
故答案为：．
13. 若抛物线的图像与一次函数的图像有两个交点，分别为，，则关于的方程的解为______．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程，熟练掌握相关知识是解题的关键．由关于的方程可化为，根据二次函数与一次函数的交点坐标可直接求解方程的解．
【详解】解：抛物线的图像与一次函数的图像有两个交点，分别为，，
联立二次函数及一次函数解析式可得，即，
关于的方程的解为，；
故答案为：，．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点为上一点，过点作，且，连接．
（1）当点为的中点时，的长为______．
（2）当点在上移动时，的最小值为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）根据题意作图，可证，可得，由此即可求解；
（2）作点关于轴对称点，连接，可得为等腰三角形，可得点在直线上运动，当时，的值最小，作轴，由（1）的证明方法可得，设，可得，运用待定系数法求出直线的解析式，可得是等腰直角三角形，由此即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，且，
（1）当是的中点，如图所示，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，则，
∵，
∴，
∴，且，
在中，
，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
如图所示，作点关于轴的对称点，连接，
∴，
∵，
∴，即是等腰三角形，
∴点在上运动时，始终是等腰三角形，
∴点在直线上运动，
当时，的值最小，
如图所示，过点作轴于点，
∴在中，
，
∴，
∴，
设，则，
∴点，且，
设直线的解析式为y=kx+bk≠0，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
设直线与轴交于点，当时，，
∴，则，
∴，
∵，
∴，且，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
∴的最小值为；
故答案为：（1）；（2） ．
【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，待定系数法求解析式，轴对称等知识的综合运用，掌握全等三角形的判定和性质，一次函数图象的性质及运用是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 已知二次函数的图象经过点，求该二次函数的表达式．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，根据题意，把点代入计算即可求解．
【详解】解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
解得，，
∴二次函数解析式为．
16. 已知抛物线与直线的图象交于两点（点在点的左侧），试分别求两点的横坐标．
【答案】点的横坐标为−2，点的横坐标为
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数图象的交点，根据题意，联立方程组求解即可．
【详解】解：根据题意，联立方程组得，
，整理，得，
解得，或，
∴交点坐标为，
∵点在点 的左侧，
∴点的横坐标为−2，点的横坐标为．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 已知抛物线．
（1）求该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；
（2）当为何值时，随的增大而减小，当为何值时，随的增大而增大？
【答案】（1）该抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为
（2）当时，随的增大而减小，当时， 随的增大而增大
【解析】
【分析】（1）根据抛物线中二次项系数即可判断出抛物线的开口方向，根据对称轴方程及顶点坐标式即可得出其顶点坐标；
（2）由（1）中抛物线的对称轴方程及开口方向即可判断出y随x的随的增大而减小和增大而增大时x的值；
【小问1详解】
解：∵，，
∴该抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为．
【小问2详解】
∵抛物线的开口向下，
∴当时，随的增大而减小，当时， 随的增大而增大．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的图象与系数的关系、抛物线的顶点坐标、对称轴方程及函数的增减性是解答此题的关键
18. 如图是学校校园内一堵围墙边上的一块空地，现准备用木栏围成一个矩形菜园作为学生的实践基地．已知矩形菜园的一边靠墙（墙足够长），另三边一共用了木栏．请设计一个修建方案，使得矩形菜园的面积最大．
【答案】当长为，宽为时，矩形菜园的面积最大，最大值为
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．设，则，矩形菜园的面积为，根据矩形的面积公式得到关于、的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：设，则，设矩形菜园的面积为，
，
当时，最大，最大值为，
，
当长为，宽为时，矩形菜园的面积最大，最大值为．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 已知二次函数的图像的顶点为．
（1）求，的值；
（2）当时，求的取值范围．
【答案】（1），
（2）或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是掌握二次函数的图像与性质．
（1）根据题意可设二次函数的顶点式为，再将其化简即可求解；
（2）结合的函数图像，即可求解．
【小问1详解】
解：二次函数的图像的顶点为，
设该二次函数的顶点式为，化简得，
，；
【小问2详解】
当时，
，
，
，
，
，，
由图可知，当时，或．
20. 已知二次函数（是常数）．
（1）若该函数的图象与轴有两个不同的交点，求的取值范围．
（2）若该二次函数的图象与轴的其中一个交点坐标为，求一元二次方程的解．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的图形与轴有两个不同的交点，得b2－4ac＞0，计算即可．
（2）根据题意把x=－1代入=0求出m，得到关于x的一元二次方程，解方程得到答案．
【详解】（1）∵二次函数的图象与轴有两个不同的交点，
∴一元二次方程=0有两个不相等的实数根，
∴b2-4ac＞0，即0，解得；
（2）∵二次函数的图象与轴的其中一个交点坐标为(-1，0)，
∴，解得，
∴一元二次方程=0为0，解得，．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键，方程ax2+bx+c=0的两根就是抛物线y=ax2 +bx+c与x轴交点的横坐标．
六、（本题满分12分）
21. 如图，点在轴的正半轴上，且，点在轴的正半轴上，且，直线AB与抛物线在第一象限内相交于点，连接，已知．
（1）求的值；
（2）若将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，恰好经过点，试确定的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数，一次函数解析式，二次函数与几何图形的综合，二次函数图象的平移，
（1）根据的值确定，运用待定系数法可求出直线AB的解析式，根据题意，设，再根据，可求出，点，再运用待定系数法即可求解；
（2）根据二次函数图象平移规律“左加右减（横轴），上加下减（纵轴）”确定二次函数解析式，再把点代入计算即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
设直线AB的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线AB的解析式为，
∵二次函数与直线AB在第一象限交于点，
∴设，则点到轴的距离为，
∵，即，
∴，即，
解得，，
∴，
∴，
解得，；
【小问2详解】
解：由（1）可得二次函数的解析式为，
∴经过平移后的解析式为，
∵平移后的图象经过点，
∴，
解得，．
七、（本题满分12分）
22. 又到了板栗飘香的季节，为提高大家购买的积极性，销售板栗的顺发果业每天拿出元现金，作为红包发给购买者．已知板栗每日销售量与销售单价（元）满足关系：．当每日销售量低于时，成本价格为元；当每日销售量不低于时，成本价格为元；在销售中销售单价不低于成本价格且不高于元．设销售板栗的日获利为（元）．
（1）当日销售量不低于时，的取值范围是______；
（2）请求出日获利与销售单价之间的函数关系式；
（3）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
【答案】（1）
（2）
（3）当销售单价定为元时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为元
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确找出等量关系．
（1）根据题意可得不等式，解不等式即可得到答案；
（2）根据利润（售价成本价）销售量，进行求解即可；
（3）根据（2）所求，利用二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得：，
解得：，
当每日销售量不低于时，成本价格为元；在销售中销售单价不低于成本价格且不高于元．
，
故答案为：；
【小问2详解】
当时，即日销售量不低于时，；
∵，
∴，
当时，即每日销售量低于时，；
综上所述，日获利与销售单价之间的函数关系式为；
【小问3详解】
当时，，
，
当时，随的增大而增大，
当时，最大，最大值为（元）；
当时，，
当时，最大，最大值为元，
，
当销售单价定为元时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为元．
八、（本题满分14分）
23. 如图，抛物线与轴交于，两点，交轴于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点是第一象限内抛物线上的一点，过点作直线轴于点，交直线AB于点．
①当时，求点的坐标；
②当取得最大值时，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）①点的坐标为；②点的坐标为
【解析】
【分析】（1）把代入抛物线中，运用待定系数法即可求解；
（2）①根据二次函数图象的性质可得，运用待定系数法求出直线AB的解析式，设，则，，由此可得关于的代数，根据列式求解即可；②根据，运用二次函数图象的性质即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意，把代入抛物线中得，
，
解得，，
∴二次函数解析式为：；
【小问2详解】
解：由（1）可得二次函数解析式为，
∴令x=0时，，则，
设直线AB的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线AB的解析式为，
①∵点是第一象限内抛物线上点，
∴设，
∵轴交直线AB与点，
∴，
∴，，
当时，，整理得，，
∴，
解得，，（不符合题意，舍去），
当时，，则E1,4；
∴当时，点的坐标为；
②已知，
∵，
∴当时，有最大值，且最大值为，
此时，
∴点的坐标为．
【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数，二次函数解析式，解一元二次方程，二次函数图象的性质求最值的方法，掌握二次函数图象的性质，待定系数法求解析式，二次函数与线段的数量关系是解题的关键．x
0
1
3
y
3
5
3
x
0
1
3
y
3
5
3