河南省南阳市第一中学校2025届高三下第三次模拟考试数学试题（含答案解析）

这是一份河南省南阳市第一中学校2025届高三下第三次模拟考试数学试题（含答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知集合，，则（ ）
2. 已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）
3. 已知均为单位向量.若，则与夹角的大小是（ ）
4. 已知且，则二项式的展开式中，常数项为（ ）
5. 已知函数在区间内恰有一个极值，则的取值范围是（ ）
6. 设双曲线的右顶点为，，分别在两条渐近线上，且，，则该双曲线的离心率为（ ）
7. 已知函数与存在公切线，则实数的最小值为（ ）
8. 某厂家对其软件进行加密升级，现对软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列为，它的第项为.若序列的所有项都是3，且，，则（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 如图，正方体棱长为，是直线上的一个动点，则下列结论中正确的是（ ）
10. 已知是定义在上的奇函数，，是奇函数，且，则下列说法中正确的有（ ）
11. 如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 已知函数，，若恒成立，则的最小值是______．
13. 已知的内角，，C的对边分别为且，，，且，若，则的取值范围是__________．
14. 设是1，2，3，4，5的一个排列，若对一切恒成立，就称该排列是“交替”的，则“交替”的排列共有_______种．（结果用数字表示）
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 已知正项数列中，，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足求数列的前项和．
16. 已知函数，其中．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)当时，若在区间上的最小值为，求a的值．
17. 某学校校庆时统计连续天进入学校参加活动的校友数（单位：千人）如下：
(1)由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明（保留小数点后两位）；（若，则认为与的线性相关性很强），并求出关于的线性回归方程；
(2)校庆期间学校开放号门、号门和号门供校友出入，校友从号门、号门和号门进入学校的概率分别为、、，且出学校与进学校选择相同门的概率为，选择与入校不同两门的概率各为.假设校友从号门、号门、号门出入学校互不影响，现有甲、乙、丙、丁名校友于月日回母校参加活动，设为人中从号门出学校的人数，求的分布列、期望及方差.
附：参考数据：，，，，.
参考公式：回归直线方程，其中，.
相关系数.
18. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，，为线段中点，连接．
(1)证明：平面；
(2)求M到平面的距离；
(3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19. 如图，双曲线的左､右焦点，分别为双曲线的左､右顶点，过点的直线分别交双曲线的左､右两支于两点，交双曲线的右支于点（与点不重合），且与的周长之差为2.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线交双曲线的右支于两点.
①记直线的斜率为，直线的斜率为，求的值；
②试探究：是否为定值？并说明理由.
河南省南阳市第一中学校2025届高三第三次模拟考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、等式与不等式、复数、平面向量、计数原理与概率统计、三角函数与解三角形、平面解析几何、数列、空间向量与立体几何
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．1
D．24
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．3
D．9
A．的最小值为
B．的最小值为
C．三棱锥的体积不变
D．以点为球心，为半径的球面与面的交线长
A．为偶函数
B．
C．
D．
A．点在曲线上
B．点在上，则
C．点在椭圆上，若，则
D．过作轴的垂线交于两点，则
日期
月日
月日
月日
月日
月日
第天
参观人数
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
2
较易
3
适中
12
较难
2
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
交集的概念及运算；具体函数的定义域；解不含参数的一元二次不等式；由对数函数的单调性解不等式
2
0.94
虚数单位i及其性质；复数的除法运算；求复数的实部与虚部；共轭复数的概念及计算
3
0.65
用定义求向量的数量积；数量积的运算律；向量夹角的计算
4
0.65
求指定项的系数；根据正态曲线的对称性求参数
5
0.85
正弦函数图象的应用；根据极值点求参数；利用正弦型函数的单调性求参数
6
0.65
余弦定理解三角形；求双曲线的离心率或离心率的取值范围
7
0.65
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题；用导数判断或证明已知函数的单调性；由导数求函数的最值（不含参）
8
0.4
根据数列递推公式写出数列的项；等比数列通项公式的基本量计算
二、多选题
9
0.65
棱柱的展开图及最短距离问题；锥体体积的有关计算；球的截面的性质及计算；证明线面垂直
10
0.65
判断或证明函数的对称性；简单复合函数的导数；奇偶函数对称性的应用；由函数对称性求函数值或参数
11
0.65
椭圆定义及辨析；圆锥曲线新定义；椭圆的对称性
三、填空题
12
0.65
由导数求函数的最值（不含参）；利用导数研究不等式恒成立问题
13
0.85
正弦定理边角互化的应用；基本不等式求和的最小值
14
0.65
元素（位置）有限制的排列问题
四、解答题
15
0.65
求等比数列前n项和；裂项相消法求和；写出等比数列的通项公式；分组（并项）法求和
16
0.85
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；已知函数最值求参数
17
0.65
求回归直线方程；二项分布的方差；相关系数的计算；利用全概率公式求概率
18
0.65
证明线面平行；面面角的向量求法；点到平面距离的向量求法
19
0.4
根据a、b、c求双曲线的标准方程；双曲线中的定值问题；根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围；根据韦达定理求参数
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1
2
函数与导数
1,5,7,10,12,16
3
等式与不等式
1,13
4
复数
2
5
平面向量
3
6
计数原理与概率统计
4,14,17
7
三角函数与解三角形
5,6,13
8
平面解析几何
6,11,19
9
数列
8,15
10
空间向量与立体几何
9,18