内蒙古赤峰市红山区2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题（解析版）

这是一份内蒙古赤峰市红山区2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得，，则.
故选：B.
2. 一组数据1，1，3，4，5，5，6，7的第25百分位数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 6
【答案】B
【解析】由题意知，该组数据共有8个，则
所以第25百分位数为.
故选：B.
3. 平行直线与之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，，
解得，所以，
故两平行直线间的距离．
故选：C．
4. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（ ）
A. 6里B. 5里C. 4里D. 3里
【答案】A
【解析】记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，
由，得，解得：，.
故选：A．
5. 如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
.
故选：B.
6. 已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】圆：和：的圆心和半径分别为，
由可知圆内含于圆内.
设动圆半径为，
由题意可得，，
两式相加可得PC1+PC2=r1+r2=10>C1C2=6，
故点P的轨迹为以为焦点的椭圆，其中，
所以，
所以椭圆方程为.
故选：C.
7. 过抛物线的焦点F的直线l与抛物线C交于点A，B，若若直线l的斜率为k，则k=（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】当在轴上方时，过分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，过作于，设，则，
所以，
所以，
同理可得当在轴下方时，的值为，
故选：C.
8. 我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在封闭的鳖臑内有一个体积为V的球，若平面，，，则V的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】球与三棱锥的四个面均相切时球的体积最大，由平面，平面，
可得，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以，所以，
设此时球的半径为R，则，
即，解得，
所以球的体积V的最大值为.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 口袋中装有大小质地完全相同白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（ ）
A. B. 与互斥
C. 与相互独立D. 与互为对立
【答案】ACD
【解析】设2个白球为，2个黑球为，
则样本空间为：，共12个基本事件.
事件，共4个基本事件；
事件，共6个基本事件；
事件，共6个基本事件；
事件，共8个基本事件，
对于A，由，故A正确；
对于B，因为，所以事件B与C不互斥，故B错误；
对于C，因为，，，
则，故事件A与B相互独立，故C正确；
对于D，因为，，所以事件A与D互为对立，故D正确．
故选：ACD．
10. 已知曲线，则（ ）
A. 当时，曲线是椭圆
B. 当时，曲线是以直线为渐近线的双曲线
C. 存在实数，使得过点
D. 当时，直线总与曲线相交
【答案】ABC
【解析】当时，，所以方程表示曲线是椭圆，故A正确；
当时，方程为，所以，其渐近线方程为，即，故B正确；
令，整理得且，此方程有解，故C正确；
当时，曲线为双曲线，直线为的一条渐近线，此时无交点，故D错误.
故选：ABC.
11. 已知圆，直线，点P在直线l上运动，直线，分别切圆C于点A，B.则下列说法正确的是（ ）
A. 四边形的面积最小值为
B. M为圆C上一动点，则最小值为
C. 最短时，弦直线方程为
D. 最短时，弦长为
【答案】ACD
【解析】对于A，由切线长定理可得，
又因为，所以，
所以四边形的面积，
因为，
当时，取最小值，且，
所以四边形的面积的最小值为，故A正确；
对于B，因为，
所以最小值为，故B错误；
对于C，由题意可知点，，在以为直径的圆上，设，
其圆的方程为：，
化简为，
与方程相减可得：，
则直线的方程为，当最短时，，
则，
解得，故直线的方程为，故C正确；
对于D，当最短时，圆心C到直线的距离，
所以弦长为，故D正确.
故选：ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. 已知复数，则__________.
【答案】
【解析】依题意，，则，
所以.
13. 已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为______
【答案】
【解析】由投影向量的定义可知，，
故答案为：
14. “杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数，依次构成的数列的第项，则的值为__________.

【答案】
【解析】根据题意：，，，,
利用叠加法：，
由，.
所以，
则.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知中角的对边分别为，．
（1）求；
（2）若，且的面积为，求周长．
解：（1）由和正弦定理可得，
，
因为，所以，
所以，，，
，；
（2），，
又，
，
，
的周长为.
16. 在等差数列中，，，数列的前项和为，且.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
解：（1）设等差数列的公差为，
则，解得，
所以，，
数列的前项和为，且，
当时，则有，
当时，由可得，
上述两个等式作差可得，即，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，则.
（2）因为，则，①
可得，②
①②得
，
故.
17. 某地区为了解市民的心理健康状况，随机抽取了位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分百分制按国家制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图．已知调查评分在中的市民有200人．心理测评评价标准
（1）求的值及频率分布直方图中的值；
（2）该地区主管部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于0.75，则只管发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由．（每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数调查评分）
（3）在抽取的心理等级为的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导．据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在的市民的心理等级转为的概率为，调查评分在的市民的心理等级转为的概率为，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3人中，经心理疏导后恰有一人的心理等级转为的概率．
解：（1）由已知条件可得，
又因为每组的小矩形的面积之和为1.
所以，解得；
（2）由频率分布直方图可得，
.
估计市民心理健康调查评分的平均值为80.7，
所以市民心理健康指数平均值为.
所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动.
（3）由（1）知：，则调查评分在中的人数是调查评分在中人数的，
若按分层抽样抽取3人，则调查评分在中有1人，在中有2人，
设事件“在抽取的3人中，经心理疏导后恰有一人的心理等级转为B”.
因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立，
所以.
故经心理疏导后恰有一人的心理等级转为B的概率为.
18. 如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点．

（1）证明：平面；
（2）若，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
（1）证明：取的中点N，连接，如图所示：为棱的中点，

，
，
∴四边形是平行四边形，，
又平面平面平面．
（2）解：，
∵平面平面，平面平面平面，
平面，
又平面，而，
∴以点D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图：则，
为棱的中点，


（i），
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
平面的一个法向量为，
，
根据图形得二面角为钝角，则二面角余弦值为
（ii）假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是，
设，
则，
由（2）知平面的一个法向量为，
，
∴点Q到平面的距离是，
．
19. “曲线”：由半椭圆与半椭圆组成，其中，.如图，设点是相应椭圆的焦点，和分别是“曲线”与轴的交点，为线段的中点.
（1）若等边三角形的重心坐标为，求“曲线”的方程；
（2）设是“曲线”的半椭圆上任意的一点.求证：当取得最小值时，在点或处；
（3）作垂直于轴的直线与“曲线”交于两点，求线段中点的轨迹方程.
（1）解：因为等边的重心坐标为，
.
在半椭圆中，
由，，
解得，
因此“曲线”的方程为.
（2）证明：设Px,y，则，.
，开口向下，
对称轴为：，
当或时，取得最小值时，即在点或处.
（3）解：由题可知，直线的斜率，则设直线，
设在上，
当时，.
设在半椭圆上，
当时，.
的中点为,
即线段中点的轨迹方程为：.调查评分
心理等级
A