上海市宝山区2024--2025学年上学期九年级期中考试数学试卷

这是一份上海市宝山区2024--2025学年上学期九年级期中考试数学试卷，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如果两个相似三角形对应边之比是1∶2，那么它们的对应高之比是（ ）
A．1∶2；B．1∶4；C．1∶6；D．1∶8．
2．下列选项中的两个图形一定相似的是（ ）
A．两个等边三角形B．两个矩形C．两个菱形D．两个等腰三角形
3．如图，DE∥AB，如果CE∶AE =1∶2，DE=3，那么AB等于（ ）

A．6；B．9；C．12；D．13．
4．已知非零向量、，且有，下列说法中，不正确的是（ ）
A．B．C．与方向相反D．
5．如图，点、分别在的两边、的延长线上，下列条件能判定的是（ ）．
A．B．C．D．
6．如图，在△ABC中，点D在边BC上，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（ ）

A．；B．；C．；D．．
二、填空题
7．如果，那么锐角的度数是
8．如果，那么 ．
9．已知在中，，，，那么 .
10．已知线段，如果点P是线段的黄金分割点，且，那么的值为 ．
11．已知向量与单位向量方向相反，且，那么= （用向量的式子表示）
12．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F．如果，DF=15，那么线段DE的长是 ．
13．如图，的中线、交于点，点是的重心，点在边上，，那么 ．
14．如图，是边长为3的等边三角形，分别是边上的点，，如果，那么
15．矩形的一条对角线长为26，这条对角线与矩形一边夹角的正弦值为，那么该矩形的面积为 .
16．如图，在菱形中，对角线、交于点，点是的中点，联结．如果，，那么 ．
17．平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD中，，点E、F分别在边AB、CD上，如果EF是梯形ABCD的“比例中线”，那么的值为 ．
18．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanB=，点D是AB的中点，如果把△BCD沿直线CD翻折，使得点B落在同一平面内的B′处，联结A B′，那么A B′的长为 ．
三、解答题
19．计算：
20．如图，在平行四边形中，点在边上，且，联结并延长交边的延长线于点，设，．

（1）用表示，；
（2）先化简，再求作：（不要求写作法，但要写明结论）
21．如图，在中，，是边上的中线，，．
求：
(1)的长；
(2)的余切值．
22．如图，在中，点、分别在边、上，且，，，．

(1)如果，求线段的长；
(2)设的面积为2，求的面积．
23．如图，平行四边形中，，垂足为点，点是边中点，连接交线段于点，，连接．
(1)求证：；
(2)连接，求证：．
24．在平面直角坐标系中，放置一个矩形，使矩形的一个顶点和坐标原点重合，点和点分别在第一和第四象限内，若点和点的纵坐标满足“”，则称矩形具有“条件”．如图，矩形中，，．
(1)当矩形具有“条件0”，求此时点坐标；
(2)当矩形具有“条件1”，求此时与轴正半轴所夹角的正弦值；
(3)若矩形具有“条件”，当点在第一象限内，连接并延长交轴正半轴于点，连接，，若与相似，直接写出此时的值．
25．如图1，在中，是锐角，交边于点，点是边上一点，连接且满足，交边于点．
(1)如图2，当点是边中点时，求证：；
(2)当，且是直角三角形时，求此时的正切值；
(3)记的面积为，的面积为，的面积为，若是和的比例中项，求的值．
《上海市宝山区2024--2025学年上学期九年级期中考试数学试卷》参考答案
1．A
【分析】根据相似三角形的对应高的比、中线、角平分线的比都等于相似比作答即可．
【详解】∵两个相似三角形对应边之比是1∶2，
又∵相似三角形的对应高的比、中线、角平分线的比都等于相似比，
∴它们的对应高之比是：1∶2，
故选：A.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比、中线、角平分线的比都等于相似比．
2．A
【分析】本题考查的是相似图形的判断，掌握形状相同的图形称为相似图形是解题的关键．
根据相似图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A、两个等边三角形，三个角都是
∴它们是相似图形，符合题意；
B、两个矩形四个角都是，但对应边的比不一定相等
∴它们不是相似图形，不符合题意；
C、两个菱形角不一定相等
∴它们不是相似图形，不符合题意；
D、两个等腰三角形对应边的比不一定相等，
∴它们不是相似图形；
故选：A．
3．B
【分析】根据比例的性质得CE∶CA =1∶3，根据平行线分线段成比例定理的推论，即可求得答案.
【详解】∵CE∶AE =1∶2，
∴CE∶CA =1∶3，
∵DE∥AB，
∴
∵DE=3，
∴AB=3 DE=9
故选：B
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的推论及比例的性质，熟练运用“平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例”是解题的关键.
4．D
【分析】本题考查了平面向量的性质，解题的关键是熟练掌握平面向量的性质
根据平面向量的性质进行分析判断．
【详解】解∶ ，
，，，
故A、B、C正确，D错误，
故选∶D．
5．C
【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行线的判定的应用，主要考查学生的推理和辨析能力，注意：有两组对应边的比相等，且这两边的夹角相等的两三角形相似．
根据选项选出能推出，推出或的即可判断．
【详解】解：A、∵，，不符合两边对应成比例及夹角相等的相似三角形判定定理，无法判断与相似，即不能推出，故本选项错误；
B、，，
，
，，
即不能推出，故本选项错误；
C、∵，，
，
，
，故本选项正确；
D、由可知，不能推出，即不能推出，即不能推出两直线平行，故本选项错误；
故选：C．
6．A
【分析】抓住已知条件：GE∥BD， GF∥AC，利用平行线分线段成比例以及中间比代换，对各选项一一判断即可求解.
【详解】∵GE∥BD，∴
∵GF∥AC，∴
∴，A选项正确；
∵GE∥BD，∴
∵GF∥AC，∴
∴，B选项错误；
∵GE∥BD，∴
∵GF∥AC，∴
∴，C选项错误；
∵GE∥BD，∴，D选项错误；
故选：A
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用中间比是解题的关键.
7．/60度
【分析】此题考查了特殊角的三角函数值．利用特殊角的三角函数值计算即可得到锐角的度数．
【详解】解：∵，，
∴锐角的度数为．
故答案为：．
8．
【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质，求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：．
9．6
【分析】根据三角函数的定义即可求解．
【详解】∵ctB=，
∴AC= =3BC=6．
故答案是：6．
【点睛】此题考查锐角三角函数的定义及运用，解题关键在于掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，余切为邻边比对边．
10．/
【分析】本题考查了黄金分割的定义，把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值即为黄金分割；根据黄金分割点的定义求解，即可解题．
【详解】解：点P是线段的黄金分割点，且，，
，
即，
，
整理得或（不合题意，舍去）
，
故答案为：．
11．-3．
【详解】试题分析：由向量与单位向量方向相反，且||＝3，根据单位向量与相反向量的知识，即可求得答案．∵向量与单位向量方向相反，且||＝3，
∴=-3．
故答案为-3．
考点：平面向量．
12．6
【分析】由平行得比例，求出的长即可．
【详解】解：，
，
，
，
解得：，
故答案为：6.
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例性质是解本题的关键．
13．/
【分析】本题考查了三角形中线和重心的性质，相似三角形的判定和性质，由三角形中线性质可得，由重心的性质可得，再根据相似三角形的性质可得，进而即可求解，掌握重心的性质是解题的关键．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∵点是的重心，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】由等边三角形的性质得出∠B＝∠C＝60°，证明△ABD∽△DCE，由相似三角形的性质得出则可求出答案．
【详解】解：∵是边长为3的等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
15．240
【分析】由矩形的性质和三角函数求出AB，由勾股定理求出AD，即可得出矩形的面积．
【详解】解：如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AC=BD=26，
∵，
∴，
∴，
∴该矩形的面积为：；
故答案为：240.
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角函数；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理求出AB和AD是解决问题的关键．
16．
【分析】本题考查了求角的余弦根据、分别是、的中点，知是中位线得，连接，根据菱形的性质知与垂直平分，根据余弦的定义，即可求解.
【详解】解：在菱形中，是的中点，
也是对角线的交点，且与垂直平分，
、分别是、的中点，
∴，
∴
在中，，,
∴
故答案为：
17．/
【分析】先根据是的比例中项可求得，再过点D作的平行线构造平行四边形，可求得的长度，然后再利用即可求得的值．
【详解】如图，过点D作的平行线，交于点M、N．
∵
∴四边形、四边形、四边形均为平行四边形．
∴，
∵是梯形的比例中项，
∴．
∴
由得，
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例中项、平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是作的平行线构造平行四边形与相似三角形．
18．
【详解】分析：如图，作AE⊥BC于E，DK⊥BC于K，联结BB′交CD于H．只要证明∠AB′B=90°，求出AB、BB′，理由勾股定理即可解决问题；
详解：如图，作AE⊥BC于E，DK⊥BC于K，联结BB′交CD于H．
∵AB=AC，AE⊥BC，
∴BE=EC=4，
在Rt△ABE中，∵tanB=，
∴AE=6，AB==2，
∵DK∥AE，BD=AD，
∴BK=EK=2，
∴DK=AE=3，
在Rt△CDK中，CD=，
∵B、B′关于CD对称，
∴BB′⊥CD，BH=HB′
∵S△BDC=•BC•DK=•CD•BH，
∴BH=，
∴BB′=，
∵BD=AD=DB′，
∴∠AB′B=90°，
∴AB′=，
故答案为:
点睛：本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
19．
【分析】根据特殊角的三角函数值即可代入求解.
【详解】解：原式
【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值.
20．（1），;（2）原式，作图见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质得对边相等且平行，再根据向量，平行向量的概念，性质及向量的运算进行求解；
（2）根据平行四边形的性质得对边相等且平行，再根据向量的运算进行化简，根据化简结果的运算性质作图.
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD,AB∥CD,AD=BC,AD∥BC
∴ ,
∵AE=2ED,
∴DF=AB,AE=AD,
∵,
∴,，
∴；
（2）
，
;
如图，平行四边形ABCD，取AB的中点，则,，
∴,
∴

【点睛】本题考查向量的性质及运算，根据平行线得平行向量及向量的运算是解答此题的关键.
21．(1)7
(2)
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，勾股定理的应用；
（1）过点D作于点，先求解，再求解，即可；
（2）作，垂足为．求解，，可得，在中，利用余切的定义求解即可．
【详解】（1）解：过点D作于点，
在中，，，，
，
在中，，，
∴，则，
，
．
（2）作，垂足为．
是边上的中线，，
，
，
，
，
即在中，．
22．(1)
(2)
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
（1）通过证明，即可得到答案；
（2）由线段的数量关系求出面积关系即可得到答案．
【详解】（1）解：，，
，
且，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，由题意推出，以及平行四边形的性质得到，证明，即可得到结论；
（2）根据题意证明，再根据相似三角形的性质得到对应线段成比例即可证明结论．
【详解】（1）证明：，点是边中点，
，
，
，
，
，
，
平行四边形中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：由（1）得，
，
且，
，
，
，
，
，
，即，
,
是平行四边形，
,
.
24．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）过点作轴，过点作轴，可证得，得，由题意可知，即，则，令，，由勾股定理即可求解；
（2）由题意可得，即，则，设，则，由勾股定理可得，解得（舍去），即，再根据正弦的定义即可求解；
（3）由题意可知，分别两种情况：当时，则，，当时，则，分别求出即可求解．
【详解】（1）解：过点作轴，过点作轴，则，
在矩形中，，，，
则，而，
∴，
∴，
∴，即：，
当矩形具有“条件0”时，即：，
∴，即，
则，令，，
由勾股定理可得：，即：，
解得：（负值舍去），
∴，，
则此时点的坐标为；
（2）当矩形具有“条件1”时，即：，
∴，即，则，
设，则，
由勾股定理可得：，即：，
解得：（舍去），即，
∴，
则此时与轴正半轴所夹角的正弦值为；
（3）由题意可知：，
当时，则，，
此时，则，
∴，则，
∴，则，
∵，
∴，则，
∴，
∴；
当时，则，
此时，则，
∴，则，
∴，则，
∵，
∴，则，
∴，
∴；
综上，当与时，或．
【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，解直角三角形，勾股定理，解一元二次方程，添加辅助线构造相似三角形和直角三角形是解决问题的关键．
25．(1)见解析
(2)的正切值为或
(3)
【分析】（1）过点作，由平行线分线段成比例可得，，利用比例的性质可得，结合题意得，则，进而可证明结论；
（2）先证，，即可证明，得，则，由，设，，则，求得，则，，再分两种情况：当时，则， 当时，分别解直角三角形求解即可；
（3）由（2）可知，，，可知，设的面积为，则，由题意可知，，令，则，，求得的值，用表示出，，，，，则，结合即可求解．
【详解】（1）证明：过点作，
∴，，
∴
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，则，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，则，
由，设，，则，
∴，则，
∴，即：，
当时，则，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
∴；
当时，过点作垂直于的延长线于，
则，
∴，
∵，，，
∴，，
则，，
∴，，
则，
∴；
综上，当是直角三角形时，的正切值为或；
（3）由（2）可知，，，
∴，
设的面积为，则，
由题意可知，，
∴，令，则，
解得：（负值舍去），即：，
∴，，则，，
∴，
∵，
∴，则，
∴，
则，
∴．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，解直角三角形，勾股定理等知识点，添加辅助线构造直角三角形，利用线段比转化面积比是解决问题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6




答案
A
A
B
D
C
A