2024~2025学年上海市嘉定区高三上册第一次月考数学阶段性试卷（附解析）

这是一份2024~2025学年上海市嘉定区高三上册第一次月考数学阶段性试卷（附解析），共20页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设集合则=_________
【正确答案】
【分析】根据交集的定义求解即可.
【详解】集合则.
故
2. 已知关于的二次不等式的解集为，则不等式的解集为_____________.（用集合或区间表示）
【正确答案】或
【分析】由题意可知的两根分别为从而可得，代入求解即可.
【详解】解：由题意可知的两根分别为，
由韦达定理可得，
所以不等式即为，
即，解得或.
所以原不等式的解集为：或.
故或
3. 已知集合，若，则__________．
【正确答案】
【分析】根据题意结合元素与集合之间的关系结合集合的互异性分析求解.
【详解】因为，且，
则或，解得.
故答案为.
4. 已知幂函数的图象关于轴对称，则实数的值是______．
【正确答案】2
【分析】根据函数为幂函数求出的值，再通过的图象关于轴对称来确定的值.
【详解】由为幂函数，则，解得，或，
当时，，其图象关于轴对称，
当时，，其图象关于对称，
因此，
故2.
5. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______．
【正确答案】
【分析】根据二次函数的对称性得出对称轴与的关系即可求解.
【详解】因为函数的对称轴为，图象开口向上，
所以函数在上单调递增，
因为函数在区间上单调递增，
所以，
解得.
故答案为.
6. 若，则 的值为__________.
【正确答案】
【分析】弦化切，代入即可.
【详解】
故答案：
7. 正实数a、b，若a与b的几何平均值为2，那么a与4b的算术平均值的最小值为________．
【正确答案】4
【分析】根据几何平均数求出，再利用基本不等式“积定，和最小”求解．
【详解】因为，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
故4．
8. 已知函数是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则______.
【正确答案】
【分析】由题意可得且，直接计算即可求解.
【详解】设函数的最小正周期为，则.
因为是定义在上的偶函数，所以，
所以.
故
9. 写出使得函数的值域为的一个定义域_________．
【正确答案】（答案不唯一）
【分析】求出当和2时所对应值，再根据二次函数的性质即可得到答案.
【详解】由得，
即，得，
由得，即或，
则根据二次函数的性质可举例定义域为.
故答案为.
10. 已知函数有两个极值点，则的取值范围是____________.
【正确答案】
【分析】求定义域，求导，依题得到在区间上有两个不相等的实根，由根的判别式和韦达定理得到不等式组，求得，化简并计算得到，构造，，求导得到函数单调性，即可推得所求式的范围.
【详解】由，可得
由题意得方程在区间上有两个不相等的实根，
故Δ=4−8a>0x1+x2=1a>0x1⋅x2=12a>0,解得，
又
.
设，则，
故在上单调递增，则，
即的取值范围是.
故答案为.
11. 设，若时，均有成立，则实数的取值集合为_____
【正确答案】
【分析】可得时，不等式不恒成立，当，必定是方程的一个正根，由此可求出.
【详解】当时，，则，由于的图象开口向上，
则不恒成立，
当时，由可解得，
而方程有两个不相等的实数根且异号，
所以，必定是方程的一个正根，
则，，则可解得，
故实数的取值集合为.
故答案为.
关键点点睛：
本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是先判断，再得出当，必定是方程的一个正根.
12. 已知方程有四个不同的实数根，满足，且在区间和上各存在唯一整数，则实数的取值范围为__________．
【正确答案】
【分析】方法一可以化为．令，易得ℎx为偶函数，所以只需考虑时，有两个零点，且在区间上存在唯一的整数．若，则．令，根据导数得到的单调性，根据在区间上存在唯一的整数，列出不等式组即可．
方法二：由，得．令，易得均为奇函数，所以只需考虑时，与的图象有两个交点且在区间上存在唯一的整数，通过求导得到的单调性，根据直线过特殊点时的值即可得到的取值范围．
方法三：．令，作图象，利用数形结合可得的取值范围．
【详解】方法一．
令，则．所以ℎx为偶函数．
所以只需考虑时，有两个零点，且在区间上存在唯一的整数即可．
当时，令，得．
令，则．
当时，，所以在上单调递增；
当时，0，所以上单调递减．
因为在区间上存在唯一的整数，
所以，即．
所以的取值范围为．
方法二：．
令，则，所以为奇函数．
因为也是奇函数，
所以只需考虑时，与的图象有两个交点，且在区间上存在唯一的整数．
易知，当x∈0,1时，，所以在0,1上单调递增；
当x∈1,+∞时，，所以在1,+∞上单调递减．
当直线过点时，；
当直线过点时，．
因为与ℎx的图象有两个交点，且在区间上存在唯一的整数，
所以，所以的取值范围为．
方法三：由，得．
令，两函数均为偶函数，
所以只需考虑时，ℎx与φx的图象有两个交点，
且在区间上存在唯一整数．
如图，作的部分图象，根据图象易得，
所以解得，
所以取值范围为．
故
方法点睛：已知函数零点个数求参数的常用方法
（1）分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
（2）分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．
（3）将函数的化为的形式，将函数的零点个数转化为y=fx与y=gx图象交点的个数问题.
二、选择题：（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据三角函数的定义可先得，再根据诱导公式计算即可.
【详解】由正弦函数的定义可知，
再利用诱导公式知.
故选：B
14. 已知，使成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式性质求解即得.
【详解】对于A，，A不是；
对于B，当时，由，得，B不是；
对于C，，可能有，如，C不是；
对于D，由，得，则；若，则，D是.
故选：D
15. 已知三次函数的图象如图，则不正确的是（ ）
A.
B.
C. 的解集为
D. 若，则
【正确答案】D
【分析】由图象初步确定三次函数的解析式，然后根据解析式分析函数的性质逐项判断即可.
【详解】因为函数为三次函数，可设，.
由图可知：；.
所以设，.
所以，由，.
所以，，
又当x∈−1,1时，f'x>0.
对A: ,，因为，所以，故A正确；
对B：因为，而，
所以成立，故B正确；
对C：，
因为，所以或，
所以：不等式的解集为，故C正确；
对D：因为，
由，
所以，所以，所以，即.故D错误.
故选：D.
16. 已知集合，对于集合中的任意元素和，记.若集合，，均满足，则中元素个数最多为（ ）
A. 10B. 11C. 1023D. 1024
【正确答案】B
【分析】分析可得当和同时为时，，当和至少有一个为时，，要使，则的所有元素的位置至多有个，讨论即可得到集合的元素个数的最值．
【详解】依题意，对于中元素和，
当和同时为时，，
当和至少有一个为时，，
要使得的一个子集中任两个不同元素、，均满足，
设集合中的元素记为，
则的所有元素的位置至多有个，
若位置为，其它位置为的元素有个，
若全为的有个，
综上中元素最多有个．
故选：B．
关键点点睛：本题关键是分析出的所有元素的位置至多有个，从而确定中元素个数的最大值.
三、解答题:（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17. 已知，为第二象限角．
（1）求的值；
（2）求的值．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据同角三角函数结合已知得出，即可根据二倍角的正弦公式代入数值得出答案；
（2）根据两角和差的余弦公式代入数值得出答案.
【小问1详解】
，为第二象限角，
，
则；
【小问2详解】
.
18. 已知函数.
（1）证明函数在上严格增；
（2）若函数在定义域上为奇函数，求不等式的解集.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）利用函数的单调性定义证明即得；
（2）根据函数的奇偶性求出值，再求出方程的解，分别利用函数在和上的单调性即可求得不等式的解集.
【小问1详解】
因，任取，且，
由
，
因，则，，故，
即.
故函数在上严格增；
【小问2详解】
因为函数在定义域上为奇函数，则，
所以．
所以，即，
所以，
由得：，即，
所以或，
解得或，
所以不等式的解集为.
19. 问题：正实数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题：
（1）若正实数x，y满足，求的最小值；
（2）若实数a，b，x，y满足，求证：；
（3）求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值.
【正确答案】（1）
（2）证明见解析 （3）时，取得最小值．
【分析】（1）利用“1”的代换凑配出积为定值，从而求得和的最小值；
（2）利用已知，，然后由基本不等式进行放缩：，再利用不等式的性质得出大小．并得出等号成立的条件．
（3）令，，构造，即以，即，然后利用（2）的结论可得．
【小问1详解】
因为,，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是．
【小问2详解】
，
又，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，当且仅当且同号时等号成立．此时满足.
【小问3详解】
令，，由得，
，
又，所以，
构造，
由，可得，因此，
由（2）知，
取等号时，且同正，
结合，解得，即，．
所以时，取得最小值．
本题考查用基本不等式求最小值，考查方法的类比：“1”的代换．解题关键是“1”的代换，即利用，从而借助基本不等式得出大小关系，同时考查新知识（新结论）的应用，考查了学生的灵活运用数学知识的能力．对学生的创新性思维要求较高，本题属于难题．
20. 已知，函数.
（1）当时，求函数的定义域；
（2）若关于的方程的解集中有且只有一个元素，求实数的取值范围；
（3）设，若，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）或，
（3）.
【分析】（1）根据对数的性质列不等式即可求解，
（2）将问题转化为有且仅有一正根.即可利用二次型函数的性质分类求解，
（3）利用单调性的定义即可求解函数单调性，进而利用单调性求解最值，将问题进一步转化为二次函数的性质求解最值即可.
【小问1详解】
时，
所以得，
所以函数的定义域为.
【小问2详解】
方程，即，即.
∴，化为：，方程的解集中有且只有一个元素，等价于有且仅有一正根.
（1）若，化为，解得，符合题意；
（2）若，此时.
①令，得，解得，符合题意；
②当，即时，方程有两个解，设为，.
则，.
当时，，此时方程有一正、一负根，符合题意.
当时，，，此时方程有两个正根，不符合题意.
综上，实数的取值范围为或，
【小问3详解】
.
当时，.
因为，，所以.
所以，所以，
所以.
所以在上单调递减，
所以函数在区间上的最大值与最小值分别为，.
即：，
即：，因为，，
整理得：，令.
因时，存在，
故只需.
因为，对称轴方程，所以在上单调递增，
所以，故，得.
故实数的取值范围为.
方法点睛：处理多变量函数最值问题的方法有：（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化.
21. 设函数，直线是曲线在点处的切线．
（1）当时，求的单调区间.
（2）求证：不经过点.
（3）当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？
（参考数据：，，）
【正确答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）证明见解析 （3）2
【分析】（1）直接代入，再利用导数研究其单调性即可；
（2）写出切线方程，将代入再设新函数，利用导数研究其零点即可；
（3）分别写出面积表达式，代入得到，再设新函数研究其零点即可.
【小问1详解】
，
当时，f'x