2024~2025学年江苏省常州市高三上册第一次月考数学学情调研试卷[有解析]

这是一份2024~2025学年江苏省常州市高三上册第一次月考数学学情调研试卷[有解析]，共28页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.
3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数满足，则（ ）
A. 1B. C. D. 2
3. 已知，，，若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
5. 沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为，细沙全部在上部，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下的沙，则该沙漏的一个沙时大约是（ ）
A. 1895秒B. 1896秒C. 1985秒D. 2528秒
6. 在三个地区暴发了流感，这三个地区分别有人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一人，则这个人患流感的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
8. 在圆幂定理中有一个切割线定理：如图1所示，QR为圆O的切线，R为切点，QCD为割线，则．如图2所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P是圆上的任意一点，过点作直线BT垂直AP于点T，则的最小值是（ ）
A B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 点为图象的一个对称中心
C. 若在上有两个实数根，则
D. 若导函数为，则函数的最大值为
10. 在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（ ）
A. 当平面时，不可能垂直
B. 若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为
C. 当时，正方体经过点、P、C的截面面积的取值范围为[，]
D. 当时，的最小值为
11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A. 在上是增函数
B. ，不等式恒成立，则正实数的最小值为
C. 若有两个零点，则
D. 若，且，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设是一个随机试验中的两个事件，若，则______．
13. 高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，若函数，则函数的值域为___________.
14. 已知函数，若，，且，则的最小值是______
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设三角形内角、、的对边分别为、、且．
（1）求角的大小；
（2）若，边上的高为，求三角形的周长．
16. 为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据：
（1）依据的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
（2）从这200人中随机选择1人，已知选到的学生经常参加体育锻炼，求他是男生的概率；
（3）为了提高学生体育锻炼的积极性，集团设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动的某次排球训练课上，甲乙丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.求第次传球后球在甲手中的概率.
附：
17. 如图，圆柱的轴截面为正方形，点在底面圆周上，且为上的一点，且为线段上一动点（不与重合）
（1）若，设平面面，求证：；
（2）当平面与平面夹角为，试确定点的位置.
18. 已知点在抛物线上，为抛物线上两个动点，不垂直轴，为焦点，且满足．
（1）求值及的方程；
（2）证明：线段的垂直平分线过定点；
（3）设（1）中定点为，当的面积最大时，求直线的方程．
19. 已知函数.
（1）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围；
（2）证明.
2024-2025学年江苏省常州市高三上学期第一次月考数学学情
调研试题
注 意 事 项
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.
3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】由对数函数的性质求出集合B，再集合交集的概念求解可得答案.
【详解】由题意得，又因为，所以，
所以，
故选：C.
2. 若复数满足，则（ ）
A. 1B. C. D. 2
【正确答案】A
【分析】根据复数代数形式的运算法则化简复数，再根据复数模的计算公式计算即可.
【详解】由题意可知，复数满足，
则可转化为，
所以.
故选：A.
3. 已知，，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】首先根据平面向量平行的坐标表示可知，再根据余弦二倍角公式化简、解方程可得,进而可得，再根据两角差的正切公式即可求出结果.
【详解】因为，
所以，
，
，
所以或，
又，所以，
所以，
所以，
故选：B.
4. 函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】原不等式变形为，再利用分段函数的单调性即可得到不等式，解出即可.
【详解】当时，，因为在上单调递增，此时单调递增，
当时，易知单调递增，且当时，，
则在R上单调递增，
因为，则，
所以由得，
所以，解得.
故选：A.
5. 沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为，细沙全部在上部，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下的沙，则该沙漏的一个沙时大约是（ ）
A. 1895秒B. 1896秒C. 1985秒D. 2528秒
【正确答案】C
【分析】由圆锥的体积公式计算细沙体积和沙堆体积，根据细沙体积不变即可求解．
【详解】沙漏中的细沙对应的圆锥底面半径为，高为，
所以细沙体积为
所以该沙漏的一个沙时为秒，
故选：C
6. 在三个地区暴发了流感，这三个地区分别有的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一人，则这个人患流感的概率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】考虑患流感的这个人可能来至于哪个地区，结合互斥事件的概率计算可得答案.
【详解】由题意得，从这三个地区中任意选取一人，则这个人可能来至于三个地区中患流感的人当中，
故这个人患流感的概率为，
故选：D
7. 已知，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】首先证明此函数为偶函数，再利用其导函数得到其单调性，利用其是偶函数得到，，通过指数函数单调性得，再根据幂函数性质证明出，同取对数得到，则有，再利用单调性即可得到大小关系.
【详解】因为，定义域关于原点对称，
，
所以为上的偶函数，
当时,，设，
则，，，
所以即在上单调递减,所以,
所以在上单调递减,又因为为偶函数,
所以在上单调递增，
又因为,,
又因为,
因为,，所以,
所以，即,
所以,
所以
即.
故选：D
关键点点睛：本题首先证明函数的奇偶性与单调性，对于其单调性的求解需要二次求导，其次就是利用函数的奇偶性对进行一定的变形得，,然后就是比较的大小关系，需要结合指数函数的单调性以及幂函数的单调性进行合理放缩，对于这种较为接近的数字比较大小问题，通常需要利用函数的单调性以及寻找合适的中间量放缩.
8. 在圆幂定理中有一个切割线定理：如图1所示，QR为圆O的切线，R为切点，QCD为割线，则．如图2所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P是圆上的任意一点，过点作直线BT垂直AP于点T，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】先利用和余弦定理得到，可得，即可求，进而求得，再利用基本不等式即可得到答案
【详解】连接，
在中，因为是的中点，
所以，平方得，
将代入可得，
因为，所以，
所以，
在，，
所以，
当且仅当即时，取等号,
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 最小正周期为
B. 点为图象的一个对称中心
C. 若在上有两个实数根，则
D. 若的导函数为，则函数的最大值为
【正确答案】ACD
【分析】对于A，直接由周期公式即可判断；对于B，直接代入检验即可；对于C，画出图形，通过数形结合即可判断；对于D，求得后结合辅助角公式即可得解.
【详解】由题意可得，故A正确；
，所以不是图象的一个对称中心，故B错误；
令，由得，
根据题意可转化为直线与曲线，有两个交点，
数形结合可得，故C正确；
设f'x为的导函数，
则，其中，
当且仅当，即当且仅当时等号成立，故D正确，
故选：ACD．
10. 在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（ ）
A. 当平面时，不可能垂直
B. 若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为
C. 当时，正方体经过点、P、C的截面面积的取值范围为[，]
D. 当时，的最小值为
【正确答案】BD
【分析】对A，作出如图空间直角坐标系，由向量法结合向量垂直判断即可；
对B，由几何关系得出与平面所成线面角，可得，则点P的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆；
对C，由得点P在上，利用几何关系可得的面积最值在端点及中点位置；
对D，将平面与平面沿展成平面图形，线段即为的最小值，利用余弦定理即可求.
【详解】对A，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
所以，，
则，，设平面的一个法向量为，
所以，令，则，即平面的一个法向量为，若平面，则，即，
由，则，即P为中点时，有平面，且，A错；
对B，因为平面，连接，则即为与平面所成角，
若与平面所成角为，则，所以，
即点P的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，于是点P的轨迹长度为，B对；
对C，因为，所以点P一定在上，又因为当或1时，的面积取最大值，此时截面面积为，
设的中点为H，由图形的变化可得当点P在DH和运动时，所得截面对称相同，于是当时，的面积取最小值，此时截面面积为，C错；
对D，如图，将平面与平面沿展成平面图形，
线段即为的最小值，
利用余弦定理可知，
所以，D对.
故选：BD
（1）容易建系的几何体一般可通过建系快速解决长度、角度等问题. 本题A中，通过线面平行得线与该面的法向量垂直，即可得参数间的关系，即可进一步讨论线线垂直的问题；
（2）B中轨迹问题，关键结合正方体的线面垂直性质得出线面角，即可得出所求轨迹为圆弧；
（3）C中截面问题，关键结合正方体的对称性，转化为三角形面积的和，再进一步转换成讨论高的范围问题；
（4）D中求不同表面线段和问题，一般展开成平面讨论.
11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A. 在上是增函数
B. ，不等式恒成立，则正实数的最小值为
C. 若有两个零点，则
D. 若，且，则的最大值为
【正确答案】ABD
【分析】A选项中，令，利用导数可求得单调性，根据复合函数单调性的基本原则可知A正确；B选项中，利用导数可求得在上单调递增，由此可将恒成立的不等式化为，令，利用导数可求得，由可知B正确；C选项中，利用导数可求得的单调性，由此确定，若，可等价转化为，令，利用导数可求得单调性，从而得到，知，可得C错误；D选项中，采用同构法将已知等式化为，从而可确定，结合单调性得到，由此化简得到，令，利用导数可求得最大值，知D正确.
【详解】对于A，当时，，令，则，，
，当时，恒成立，在上单调递增；
在上单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上为增函数，A正确；
对于B，当时，，又为正实数，，
，当时，恒成立，在上单调递增，
则由得：，即，
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
，则正实数的最小值为，B正确；
对于C，，当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；，则；
不妨设，则必有，
若，则，等价于，
又，则等价于；
令，则，
，，，，即，
在上单调递增，，即，
，可知不成立，C错误；
对于D，由，得：，即，
由C知：在上单调递减，在上单调递增；
，，则，，
，即，；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
即的最大值为，D正确.
故选：ABD.
方法点睛：本题C选项考查了导数中的极值点偏移问题；处理极值点偏移中的类似于（）的问题的基本步骤如下：
①求导确定的单调性，得到的范围；
②构造函数，求导后可得恒正或恒负；
③得到与的大小关系后，将置换为；
④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设是一个随机试验中的两个事件，若，则______．
【正确答案】
【分析】运用条件概率和并事件的概率公式即可解决.
【详解】，将代入可以求得，
，将，代入，求得
故答案为.
13. 高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，若函数，则函数的值域为___________.
【正确答案】
【分析】分离常数，求出函数的值域，再根据高斯函数的定义即可得出答案.
【详解】解：，
则，即，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，
综上，函数的值域为.
故答案为.
14. 已知函数，若，，且，则的最小值是______
【正确答案】8
【分析】由函数奇偶性的定义可知为奇函数，根据单调性可知，然后结合基本不等式即可求解.
【详解】函数的定义域为，且，
所以为奇函数，又，所以函数单调递增，
又，所以，
所以，即，
所以，
当且仅当，即，，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设三角形的内角、、的对边分别为、、且．
（1）求角的大小；
（2）若，边上的高为，求三角形的周长．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用内角和为化简，利用二倍角公式化简，再利用辅助角公式化简即可求得；
（2）由面积公式和余弦定理，联立方程组求解三角形即可.
【小问1详解】
因为，，为的内角，所以，
因为，所以可化为：，
即，即，
因为，解得：，即．
小问2详解】
由三角形面积公式得，代入得：，
所以，由余弦定理得：，
解得：或舍去，即，
所以的周长为.
16. 为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据：
（1）依据的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
（2）从这200人中随机选择1人，已知选到的学生经常参加体育锻炼，求他是男生的概率；
（3）为了提高学生体育锻炼的积极性，集团设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动的某次排球训练课上，甲乙丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.求第次传球后球在甲手中的概率.
附：
【正确答案】（1）可以认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，理由见解析
（2）
（3）
【分析】（1）计算卡方，与6.635比较后得到结论；
（2）利用事件，利用条件概率求出答案；
（3）设n次传球后球在甲手中的概率为，，得到，利用构造法得到，即数列是以为首项，为公比的等比数列，从而求出通项公式，得到答案.
【小问1详解】
，
故依据的独立性检验，可以认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
【小问2详解】
设从这200人中随机选择1人，设选到经常锻炼的学生为事件A，选到的学生为男生为事件B，
则，
则已知选到的学生经常参加体育锻炼，他是男生的概率；
【小问3详解】
设n次传球后球在甲手中的概率为，，
则有，，
设，则，
所以，解得：，
所以，其中，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
故，
故第次传球后球在甲手中的概率为.
17. 如图，圆柱的轴截面为正方形，点在底面圆周上，且为上的一点，且为线段上一动点（不与重合）
（1）若，设平面面，求证：；
（2）当平面与平面夹角为，试确定点的位置.
【正确答案】（1）证明见解析；
（2）为中点.
【分析】（1）由线面垂直、圆的性质有、，再由线面垂直的判定及性质得，进而有面，最后由线面垂直的性质、射影定理及线面平行的判定和性质证结论；
（2）构建空间直角坐标系求的坐标，设，可得，再分别求出面、面的法向量，结合已知面面角的大小求参数，即可确定点的位置.
【小问1详解】
由题知面面，则，
由为底面圆的直径，则，
由，面，
面，
又∵面，∴，
又，面，
面，
又∵面，故.
由，在中，由射影定理：，
故面面,
∴面，又面面，面，
∴.
【小问2详解】
由（1）知，以为原点为轴正方向，过的母线为轴正方向建立空间直角坐标系，不妨设，
则，
设，，
设面的法向量为，则，
令，则，
又平面的一个法向量
设平面与平面的夹角为，则，
解得或，
其中时重合，不合题意，
故当平面与平面夹角为时，此时为中点.
18. 已知点在抛物线上，为抛物线上两个动点，不垂直轴，为焦点，且满足．
（1）求的值及的方程；
（2）证明：线段的垂直平分线过定点；
（3）设（1）中定点为，当的面积最大时，求直线的方程．
【正确答案】（1），抛物线方程为.
（2）证明见解析 （3）
【分析】（1）将的坐标代入抛物线方程可求出的值，从而可求出的方程；
（2）设直线的方程为：，将直线方程代入抛物线方程化简，再利用根与系数的关系，结合抛物线的定义和已知条件可得，再结合中点坐标公式可求出的垂直平分线方程，从而可求得答案；
（3）利用弦长公式求出，再利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，从而可表示出的面积，化简换元后利用导数可求出其最大值，从而可求出直线的方程．
【小问1详解】
将点代入抛物线方程，可得，解得，
所以抛物线方程为；
【小问2详解】
设直线的方程为：，
联立方程，消去得，，
由，得，
由韦达定理得，
根据抛物线定义：，可得，
此时，解得或，
设中点坐标为，则，
可得的垂直平分线方程为：，
将代入整理得：，
故的垂直平分线过定点；
【小问3详解】
由（1）可得，
且点到直线的距离，
则的面积为，
可得，

设，设，则
令，解得；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减．
所以当时，的面积取最大值，此时，即．
此时.
方法点睛：圆锥曲线中的最值问题求解方法：先把目标式表示出来，根据目标式的特点选择合适的方法进行求解，常用方法有：①二次函数法：利用换元法，目标式化成二次型，结合二次函数求解；②基本不等式法：把目标式化成能使用基本不等式的结构，利用基本不等式求解；③导数法：求解导数，利用导数求解最值.
19. 已知函数.
（1）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围；
（2）证明.
【正确答案】（1）
（2）证明见解析
【分析】（1）求导，结合导函数特征，分与两种情况，结合，得到实数a的取值范围；
（2）在第一问的基础上，取，得到在上恒成立，令，则，从而，再用裂项相消法求和，不等式得证.
【小问1详解】
，，，，
，
时，，
∴，函数在上单调递增，
∴恒成立，满足条件.
时，对于方程，其，方程有两个不相等的实数根，
，，
，
当时，，此时函数单调递减，
，则，不满足条件，舍去.
综上可得：实数a的取值范围是.
【小问2详解】
证明：由（1）可知：取时，函数在上单调递增，
∴在上恒成立，
令，则，
∴，
∴，
∴.
导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.
性别
锻炼
不经常
经常
女生
40
60
男生
20
80
0.010
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
性别
锻炼
不经常
经常
女生
40
60
男生
20
80
0.010
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828