云南省德宏州2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

这是一份云南省德宏州2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知 = 3 − 4，则− ()
⋅ =
7
A.B. 5C. 7D. 25
2.已知向量̅→ = (1,2)，̅→ = (2, )，且̅→ ⊥ ̅→，则 =()
A. 4B. 1C. −1D. −4
若，是不相同的直线，，是不重合的平面，则下列命题为真命题的是()
A. 若//，//，则//B. 若//， ⊂ ，则//
C. 若//，//，则//D. 若//， ⊂ ，则//
在△ ?中，点满足̅̅̅̅→ = 4̅̅?̅̅→，则()
A. ̅̅̅̅→ = 1 ̅̅̅→ + 3 ̅̅?̅̅→B. ̅̅̅̅→ = 3 ̅̅̅→ + 1 ̅̅?̅̅→
4444
C. ̅̅̅̅→ = 1 ̅̅̅→ + 4 ̅̅?̅̅→D. ̅̅̅̅→ = 4 ̅̅̅→ + 1 ̅̅?̅̅→
5555
在△ ?中，内角、?所对的边分别是、，且?? = ???，则△ ?是()
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
在平行六面体? − 1?111中∠? = 90°，? = = 1 = 1，
∠?1 = ∠1 = 60°.取棱?11的中点，则|̅̅̅̅→| =()
3
A. 15
2
C. 10
B. 15
2
3
D. 10
甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为()
2
A. 1
B. 3
C. 2
D. 3
5
3
4
8.如图，，?是海面上位于东西方向相距(3 + 3)海里的两个观测点，现位于
点北偏东 45°、?点北偏西 60°的点有一艘船发出求救信号，位于?点南偏西 60°且与?点相距 4 3海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为 30 海里/小时，则该救援船到达点最快所需时间为( )
A. 0.2 小时B. 0.3 小时C. 0.5 小时D. 1 小时
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.给定数 5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，则这组数据的()
A. 中位数为 3B.
8
方差为
5
C. 众数为 3D. 85%分位数为 4.5
从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是()
“至少有一个黑球”与“都是黑球”
“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
“至少有一个黑球”与“都是红球”
11.如图，在矩形?中，? = 2 3，? = 4，?为?中点，现分别沿?，?将△ ??、△ ?翻折，使点?，重合，记为点，翻折后得到三棱锥 − ?，则()
3
三棱锥 − ?的体积为8 2
6
直线与直线?所成角的余弦值为 3
3
直线与平面?所成角的正弦值为1
2
三棱锥 − ?外接球的半径为 22
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.有一批产品，其中一等品 10 件，二等品 25 件，次品 5 件，现用按比例分层随机抽样的方法从这批产
品中抽出 16 件进行质量分析，则抽取的一等品有件.
1312
.已知圆锥的底面半径为 ，侧面展开图是圆心角为 3 的扇形，则该圆锥的表
面积为．
14.如图，扇形??的弧的中点为，动点，分别在线段?，??上，且? = ?.
若? = 1，∠?? = 120°，则̅̅̅̅→ ⋅ ̅̅̅̅̅→的取值范围是．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 12 分)
如图所示，在四棱锥 − ??中，四边形??是正方形，点，分别是线段?，?的中点．
(1)求证：//平面?；
(2)是线段?的中点，证明：平面//平面．
16.(本小题 12 分)
某校高二年组组了一次专题培，从参加考试的学生中出 100 名学生，将其成(均为整数)分成为[50,60)，
[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)分为 5 组，得到如图所示的率分布直方图：
求分数值不低于 70 分的人数；
计这次考试的平均数和中位数(保留两位小数)；
已知分数在[50,60)内的男性与女性的比为 3：4，为提高他们的成绩，现从分数在[50,60)的人中随机抽取 2 人进行补课，求这 2 人中只有一位男性的概率．
17.(本小题 12 分)
猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动．在一次元宵节猜灯谜活动中，共有 20 道
灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了 12 道，乙同学猜对了 8 道，丙同学猜对了道．假设每道灯谜被
猜对的可能性都相等．
任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；
任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为
18.(本小题 12 分)
22求
，
25
的值．
在△ ?中，角，?，的对边分别是，，?，向量̅̅→ = (2 + ?, ?)，向量̅→ = (??, 2? + )，且满足̅̅→ ⋅ ̅→ = 2?．
求角的大小；
若△ ?外接圆的半径是 1，求当函数(?) = ??2? − 4????取最大值时△ ?的周长．
19.(本小题 12 分)
如图，?是⊙ ?的直径，? = 2，点是⊙ ?上的动点， ⊥平面?，过点作? ⊥ ，过点?作? ⊥ ?，连接．
(1)求证：? ⊥ ?；
(2)求证：平面? ⊥平面?；
当为弧?的中点时，直线与平面?所成角为 45°，求四棱锥 − ??的体积．
参考答案
1.D
2.C
3.D
4.C
5.A
?B
D
A
?AB
10.A?
11.ABD
12.4
13.
14.[ 3 , 1 ]
8 2
15.证明：(1)在四棱锥 − ??中，四边形??是正方形，点，分别是线段?，?的中点，连接?必与?相交于中点，
∴ //，
∵ ⊄面?， ⊂平面?，
∴ //面?，得证；
(2)由点，分别为?，?中点，可得：//??//，
∵ ⊄面， ⊂平面，
∴ //平面，
又∵由(1)可知//平面，
且 ∩ = ，， ⊂平面，
∴平面//平面，得证．
16.解：(1)由频率分布直方图可知满意度分数不低于 70 分的人数为：
(0.035 + 0.030 + 0.008) × 10 × 100 = 73 人，
所以分数不低于 70 分的人数为 73 人．
平均分：55 × 0.07 + 65 × 0.2 + 75 × 0.35 + 85 × 0.3 + 95 × 0.08 = 76.2．中位数：( − 70) × 0.035 = 0.23， = 70.66．
(3)[50,60)的样本内共有学生 0.007 × 10 × 100 = 7 人，3 名男性，4 名女性，设三名男性分别表示为，?，，四名女性分别表示为，?，，，
则从 7 名学生中随机抽取 2 名的所有可能结果为：
{, ?}，{, }，{, }，{, ?}，{, }，{, }，{?, }，{?, }，
{?, ?}，{?, }，{?, }{, }，{, ?}，{, }，{, }{, ?}，{, }，
{, }{?, }，{?, }{, }，共 21 种．
设事件为“抽取 2 人中只有一位男性”，则中所含的结果为：
{, }，{, ?}，{, }，{, }{?, }，{?, ?}，{?, }，{?, }{, }，{, ?}，{, }，{, }，共 12 种．
事件发生的概率为() = 12 = 4
．
217
17.解：(1)设 =“任选一道灯谜甲猜对”，? =“任选一道灯谜乙猜对”， =“任选一道灯谜丙猜对”，
则() = 12 = 3(?) = 8 = 2() = ，
，
205
−2−3
，
20520
−
5
5
0
故() = ，(?) = ，() = 1 − 2 ，
所以任选一道灯谜，求，乙两位同学恰有一个人猜对的概率为3 × 3 + 2 × 2 = 13．
(2)设 =“甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对”，则() = 1 − 2 × 3 × (1 − ) = 22
555525
55
解得 = 10，
，
2025
即的值为 10．
18.解：(1)向量̅̅→ = (2 + ?, ?)，向量̅→ = (??, 2? + )，
由已知̅̅→ ⋅ ̅→ = 2?，得 2? = (2 + ?)?? + (2? + )?，再根据正弦定理有，22 = (2 + ?) + (2? + )?，
即2 = 2 + ?2 + ?．
，
2
由余弦定理得，2 = 2 + ?2 − 2???，?? =− 1
3 ．
因为 ∈ (0, )，所以 = 2
(2)由(1)知(?) = ??2? + 2?? = 1 − 2?2? + 2?? =− 2(?? − 1 )2 + 3．
22
3
因为 0 < ? < ，
2
所以?? ∈ (0, 3 )．
因此当?? = 1(?)3
时，
2
此时 = 2? =3，
= ? = 2?? = 1．
有最大值2．
故△ ?的周长是 2 +3．
19.(1)证明：因为 ⊥平面?，? ⊂平面?，所以 ⊥ ?，
又因为?是⊙ ?的直径，点是⊙ ?上的动点，可得? ⊥ ，因为 ∩ = ，
所以? ⊥平面，? ⊂平面，所以? ⊥ ?；
(2)证明：过点作? ⊥ ，过点?作? ⊥ ?，由(1)可得 ∩ ? = ，
所以? ⊥平面?，
而? ⊂平面?，所以? ⊥ ?，
? ∩ ? = ?，
所以? ⊥平面?，而? ⊂平面?，
所以平面? ⊥平面?；
解：由(2)可得? ⊥平面??，
则直线与平面?所成角为 45°，可得∠ = 45°，可得 = ，
因为当为弧?的中点时，? = 2，
可得 = ? =2，
可得到平面??的距离为? = 1 = 1 ⋅2 = 1，
22
因为 ⊥ ?， = ?，所以为?的中点，所以?为△ ?的中位线，
所以?//?，且? = 1 ? = 2，
22
由(1)可得四边形??为直角梯形，? = ? = 1，
= 1 (? + ?) ⋅ ? = 1 ( 2 +2) ⋅ 1 = 3 2，
梯形??2
224
所以−?? = 1
⋅ ? = 1 × 3 2 × 1 = 2．
3 梯形??344