2024-2025学年云南省德宏州高一下学期期中考试数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年云南省德宏州高一下学期期中考试数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z=21−i，则z在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.若e1,e2是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是( )
A. e1−2e2,2e2−e1B. 2e1+3e2,2e2+3e1
C. 3e1+2e2,4e2+6e1D. e1−2e2,e2−12e1
3.若|a|=1，|b|=2，|a+b|= 7，则a与b的夹角的余弦值为( )
A. −12B. 12C. − 32D. 32
4.已知向量a,b的夹角为π3且|a|=2|，b=(1,1)，则a在b上投影向量的坐标为( )
A. 2, 2B. 12,12C. 22, 22D. (1,1)
5.▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a= 2,cs B=2 23,3sin A= 2sin C，则b=( )
A. 3B. 3C. 2D. 2
6.已知正三棱台的上底边长为 3，下底边长为4 3，侧棱长为5，则该正三棱台的体积为( )
A. 63 3B. 63C. 21 3D. 21
7.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=3，acsB=(2c−b)csA，则△ABC面积的最大值为( )
A. 9 34B. 9 32C. 94D. 92
8.已知正三棱锥的底面边长为6，侧面积为18 3，则该三棱锥的外接球的表面积为( )
A. 49πB. 49π3C. 48πD. 36π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 用斜二测画法画出边长为2的等边三角形的直观图，则直观图的面积为 64
B. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
C. 两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D. 以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
10.已知点A(1,2),B(3,1),C(4,m+1)(m∈R)，则下列说法正确的是( )
A. |AB|= 5B. 若AB⊥BC，则m=−2
C. 若AB//BC，则m=−12D. 若BA与BC的夹角为锐角，则m>2
11.如图所示，设在▵ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c， 3(a⋅csC+c⋅csA)=2b⋅sinB，且∠CAB=π3.若点D是▵ABC外一点，DC=1、DA=3，下列说法中，错误的命题是( )
A. 四边形ABCD周长的最小值为8
B. 四边形ABCD周长的最大值为12
C. 四边形ABCD面积的最小值为 3
D. 四边形ABCD面积的最大值为5 32+3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数z满足1−iz=3−4i，则z= ．
13.若一个圆锥的侧面展开图是面积为8π的半圆面，则该圆锥的体积为
14.已知a,b,c分别为▵ABC三个内角A,B,C的对边，bcsC=(2a−c)csB.若b= 3，则c+2a的最大值 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
向量a=(4,2)，b=(−1,2)
(1)求向量a+b的模长；
(2)若向量c=(3,−1)，且a+kb⊥c，求实数k的值．
16.(本小题15分)
已知复数z=i2020+1−i2(其中i为虚数单位)，若复数z的共轭复数为z，且z⋅z1=4+3i．
(1)求复数z；
(2)求复数z1；
(3)若z1是关于x的方程x2−px+q=0的一个根，求实数p，q的值，并求出方程x2−px+q=0的另一个复数根．
17.(本小题15分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且( 3c−2b)csA+ 3acsC=0．
(1)求角A；
(2)若a=b，且BC边上的中线AM的长为2 7，求边a的值．
18.(本小题17分)
已知向量a,b是平面内一组基底，且a=1,b= 3,a与b的夹角为锐角α，OA=a+b,OB=3a+5b,OC=−a−3b．
(1)求证A,B,C三点共线；
(2)设c=a+b，若c+ta,t∈R的最小值是32，求锐角α的值．
19.(本小题17分)
已知a、b、c分别为▵ABC内角A、B、C的对边，已知a=1且acsB−bcs2A=c．
(1)求角A的大小；
(2)若▵ABC的面积为 34，求b+c的值；
(3)求▵ABC周长的取值范围．
答案解析
1.【答案】D
【解析】【分析】根据复数的除法运算求出复数z的代数形式，然后可得z在复平面对应的点的位置．
【详解】由题意得z=21−i=2(1+i)(1−i)(1+i)=2i+22=1+i，所以z=1−i，
所以复数z对应的点的坐标为(1,−1)，位于第四象限．
故选：D．
2.【答案】B
【解析】【分析】根据向量共线建立方程，由基底的定义，可得答案．
【详解】对于A，e1−2e2=−2e2−e1，所以两向量共线，即不能构成一组基底，故A错误；
对于B，设2e1+3e2=λ2e2+3e1则2=3λ3=2λ，显然无解，则向量2e1+3e2与向量2e2+3e1不共线，即能构成一组基底，故B正确；
对于C，3e1+2e2=124e2+6e1，所以两向量共线，即不能构成一组基底，故C错误；
对于D，e1−2e2=−2e2−12e1，所以两向量共线，即不能构成一组基底，故D错误．
故选：B．
3.【答案】B
【解析】【分析】由题意把|a→+b→|= 7两边平方，结合数量积的定义可得
【详解】|a→|=1，|b→|=2，a→与b→的夹角θ，
∴|a→+b→|2=a→2+2a→⋅b→+b→2=7，
∴12+2×1×2×csθ+22=7，
解得csθ=12
故选：B．
4.【答案】C
【解析】【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义，结合向量坐标运算求解作答．
【详解】依题意，a在b上投影向量为(|a|csθ)b|b|，其中θ=〈a,b〉，
所以a在b上投影向量的坐标为(2csπ3)×1 2(1,1)=( 22, 22)．
故选：C
5.【答案】A
【解析】解：由正弦定理得 2c=3a=3 2，得c=3，
由余弦定理b2=a2+c2−2accs B，得b2=2+9−2× 2×3×2 23=3，即b= 3．
故选：A．
6.【答案】C
【解析】【分析】直接运用三角形面积公式，结合正三棱台的几何性质、棱台体积公式进行求解即可．
【详解】如图所示，O′，O分别是上，下底面的中心，连接OO′，O′B′，OB，
在平面BOO′B′内作B′E⊥BO于E，
因为正三棱台的上底边长为 3，下底边长为4 3，
所以上底面面积为12× 3× 3× 32=3 34，
上底面三角形外接圆半径为B′O′=12× 3 32=1，
下底面面积为12×4 3×4 3× 32=12 3，
下底面三角形外接圆半径为BO=12×4 3 32=4，
于是该正三棱台的高为 B′B2−BE2= 52−(4−1)2=4，
因此该正三棱台的体积为13×3 34+ 3 34×12 3+12 3×4=21 3，
故选：C
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查正、余弦定理的应用，考查解三角形，属中档题．
由已知及正弦定理可得csA=12，从而得到A的值，再由余弦定理和基本不等式可得a2=
b2+c2−2bccsA≥2bc−2bccsA=bc，解出bc的范围，再根据S△ABC=12bcsinA求出面积的最大值．
【解答】
解：由题意有：acsB=(2c−b)csA，
由正弦定理可得：
sin AcsB=2sinCcsA−sin BcsA，
即sin(A+B)=sinC=2sinCcsA，
又sinC≠0，所以csA=12，
又A∈(0,π)，所以A=π3，
由余弦定理，有a2=b2+c2−2bccsA，
即9=b2+c2−2bccsA≥2bc−2bccsA=bc，
即bc≤9，当且仅当b=c=3时取等号，
S△ABC=12bcsinA≤12×9× 32=9 34，
故△ABC的最大值为9 34．
故选：A．
8.【答案】A
【解析】解：在正三棱锥P−ABC中，正▵ABC的边长为6，如下图所示：
取线段AB的中点D，连接PD，则PD⊥AB，
因为正三棱锥P−ABC的侧面积为18 3，
则S△PAB=12AB⋅PD=3PD=6 3，可得PD=2 3，
所以PA= PD2+AD2= 12+9= 21，
CD=ACsin60∘=6× 32=3 3，
设点P在底面ABC的射影为点O，
则O为正▵ABC的中心，且OC=23CD=2 3，
PO= PC2−OC2= 21−12=3，
设正三棱锥P−ABC的外接球球心为H，则H在直线PO上，
设球H的半径为R，则OH=PO−R=3−R，
由勾股定理可得OH2+OC2=CH2，即3−R2+12=R2，解得R=72，
因此该正三棱锥的外接球的表面积为4πR2=4π×722=49π．
故选：A．
9.【答案】AB
【解析】【分析】根据斜二测画法的原则，结合棱柱、棱台、圆锥定义进行逐一判断即可．
【详解】A：如图所示：∠A′O′C′=π4,C′D′⊥A′B′，因为▵ABC是边长为2的等边三角形，
所以OC= 22−12= 3，根据斜二测画法可知，A′B′=AB=2,O′C′=12OC= 32，
因此直观图的面积为12×2× 32×sinπ4= 32× 22= 64，故本选项说法正确；

B：根据棱柱的定义可知棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，故本选项说法正确；
C：根据棱台的定义可知，此时必须还要看侧棱的延长线是否交于一点，因此本选项说法不正确；
D：当按照直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体是两个共同底面的圆锥组成的几何体，故本选项说法不正确，
故选：AB
10.【答案】ACD
【解析】【分析】根据向量模的计算公式，可得判定A正确；根据向量垂直的坐标表示，列出方程，求得m的值，可判定B错误；根据共线向量的坐标表示，可判定C正确；根据向量的数量积的运算公式，可判定D正确．
【详解】因为A(1,2),B(3,1),C(4,m+1)，可得AB=(2,−1),BC=(1,m)
对于A，由AB=(2,−1)，可得AB= 22+(−1)2= 5，故A正确；
对于B，由AB⊥BC，可得AB⋅BC=2×1+(−1)×m=0，解得m=2，故B错误；
对于C，由AB//BC，可得2m=−1×1，解得m=−12，故C正确；
对于D，由BA与BC的夹角为锐角，则满足BA⋅BC>0且向量BA与BC不共线，
则满足BA⋅BC=−2+m>0且m≠−12，解得m>2，故D正确．
故选：ACD．
11.【答案】ABC
【解析】【分析】利用正弦定理对已知化简变形可求出B=π3，从而可得▵ABC为正三角形，再由DC=1、DA=3，可求出▵ACD的周长的取值范围，从而可求出四边形ABCD周长的取值范围，则可判断AB，利用面积公式和余弦定理可表示出四边形ABCD面积，从而可求出其范围，进而可判断CD
【详解】在▵ABC中，A+B+C=π，由正弦定理得： 3(sinA⋅csC+sinC⋅csA)=2sin2B，
∴ 3sinB=2sin2B，∵B∈(0,π)，
∴sinB≠0，∴sinB= 32，
又∵∠CAB=π3，∴B=π3，
∴C=π−A−B=π3，∴▵ABC为正三角形，
∵DC=1、DA=3，∴2