天津市南开中学2025届高三5月模拟数学试题（含答案解析）

这是一份天津市南开中学2025届高三5月模拟数学试题（含答案解析），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分)
1. 设全集，集合，，则等于（ ）．
2. 若，则“”是“”成立的（ ）
3. 第九届亚冬会在哈尔滨举行，参加自由式滑雪女子大跳台决赛的六位选手的得分如下：119.50，134.75，154.75，159.50，162.75，175.50，则该组数据的第40百分位数为（ ）
4. 若，，则实数、、的大小顺序为（ ）
5. 已知函数同时满足性质:①;②当时,,则函数可能为( )
6. 已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度，再把所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则（ ）
7. 如图所示的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解几章算术・商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第一、二层的每一个球均分别与其下一层相邻的三个球相切．现将“三角垛”放置在地面上，若每个球的半径均为1，则第一层的球的表面上的点到地面的最大距离为（ ）．
8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点分别在的左支和右支上，且满足，，，则的离心率为（ ）
9. “……《春天的21840种可能》，但这比起你们的未来，都还远远不及，因为你们未来的可能是无穷尽．”这是毕业典礼上老师送给同学们的一段寄语，H老师借“21840”与“无穷尽”命题如下：设集合，，为数列的前项和，若取中每个数字的概率相同．记为事件“等于奇数”的概率，当趋近于无穷大时，的近似值为，则（ ）．
二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分)
10. 已知i是虚数单位，化简的结果为______．
11. 在的展开式中，的系数为________．（用数字作答）
12. 已知抛物线：的焦点为，设点在抛物线上，若以线段为直径的圆过点，则______.
13. 2044年，当同学们重返母校参加140周年校庆时，惊喜地发现，南院正门外真的出现了一家“南德琐艾奶茶店”，这里正出售6款饮品，分别为林林清风、金晓惠兰、明明如月、幽幽谭香、天天爆柠、雅韵冰酿．甲、乙两位同学分别选购3款不同饮品，则甲选购的饮品中有“林林清风”的概率为________；在甲选购了“林林清风”这款饮品的条件下，甲、乙二人所选饮品中恰有1款相同的概率为________．
14. “天津之眼”摩天轮是天津的地标建筑，闪耀着这座城市的宏伟与浪漫．下图是抽象自“天津之眼”的几何图形，圆是以1为半径的圆，，是关于直线对称的两点，且，，为圆上两个动点，满足，且是以为始边按逆时针方向旋转所成角的终边与圆的交点．
（1）当点运动到满足，且点在点上方时，则在上的投影向量的模为________；
（2）当点，在圆上运动时，的取值范围是________．
15. 设，已知函数，，若方程有两个实数解，则实数的取值范围为________．
三、解答题(本大题共 5 小题，每小题 14 分，共 70 分)
16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．满足．
(1)求角B的大小；
(2)设，．
（ⅰ）求c的值；
（ⅱ）求的值．
17. 如图，在三棱柱中，平面，且，，，分别为，，，的中点，．

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离．
18. 若数列满足，则称数列为“平方递推数列”.已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数.
(1)证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；
(2)设，数列的前项和为；
①求；
②若恒成立，求实数的最大值.
19. 已知椭圆，直线经过椭圆的左顶点和下顶点．
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)设过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，直线与直线的交点分别为，线段的中点分别为．若直线经过坐标原点，求的取值范围．
20. 已知函数.
(1)求证：；
(2)若，求的取值范围；
(3)求证：.
天津市南开中学2025届高三5月模拟数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、计数原理与概率统计、函数与导数、三角函数与解三角形、空间向量与立体几何、平面解析几何、数列、复数、平面向量
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
A．
B．
C．
D．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
A．134.75
B．144.75
C．154.75
D．159.50
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．1
D．0
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．，
B．，
C．，
D．，
题型
数量
单选题
9
填空题
6
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
7
适中
8
较难
2
困难
2
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
并集的概念及运算；补集的概念及运算
2
0.94
判断命题的充分不必要条件；解不含参数的一元二次不等式；分式不等式
3
0.85
总体百分位数的估计
4
0.65
比较指数幂的大小；比较对数式的大小；研究对数函数的单调性
5
0.85
定义法判断或证明函数的单调性；函数奇偶性的定义与判断
6
0.65
由图象确定正（余）弦型函数解析式；求图象变化前（后）的解析式
7
0.65
正棱锥及其有关计算
8
0.65
双曲线定义的理解；求双曲线的离心率或离心率的取值范围；余弦定理解三角形
9
0.65
由递推数列研究数列的有关性质；计算古典概型问题的概率
二、填空题
10
0.85
复数代数形式的乘法运算；复数的除法运算
11
0.85
求指定项的系数；两个二项式乘积展开式的系数问题
12
0.85
根据抛物线方程求焦点或准线；直线与抛物线交点相关问题；抛物线的焦半径公式
13
0.65
计算古典概型问题的概率；计算条件概率
14
0.4
数量积的运算律；求投影向量；用定义求向量的数量积
15
0.4
根据函数零点的个数求参数范围
三、解答题
16
0.85
正弦定理边角互化的应用；余弦定理解三角形；用和、差角的正弦公式化简、求值；二倍角的余弦公式
17
0.65
面面角的向量求法；点到平面距离的向量求法；证明线面垂直
18
0.65
错位相减法求和；数列新定义；数列不等式恒成立问题
19
0.15
求椭圆的离心率或离心率的取值范围；根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围；根据a、b、c求椭圆标准方程
20
0.15
利用导数证明不等式；利用导数研究不等式恒成立问题
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,2
2
等式与不等式
2
3
计数原理与概率统计
3,9,11,13
4
函数与导数
4,5,15,20
5
三角函数与解三角形
6,8,16
6
空间向量与立体几何
7,17
7
平面解析几何
8,12,19
8
数列
9,18
9
复数
10
10
平面向量
14