2025年广东省广州市天河区天省实验学校中考数学三模试卷（含答案）

这是一份2025年广东省广州市天河区天省实验学校中考数学三模试卷（含答案），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若将下面的四个有理数表示在数轴上，则位于最左边的是（ ）
A. B. -1C. D. 3
2.下列计算正确的是（ ）
A. b2+b2=b4B. （-2b）3=-6b3C. （b-3）2=b2-9D. b6÷b3=b3
3.如图，一张纸片上有一个不规则的图案（图中的小马），小雅想知道该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为10cm的正方形将该图案围起来，然后在适当位置随机地向正方形区域内掷点，通过大量重复试验，发现点落在图案部分的频率稳定在0.65左右，由此她估计此不规则图案的面积为（ ）
A. 65cm2B. 55cm2C. 45cm2D. 35cm2
4.在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交AB于点C，测出AB=16cm,CD=4cm,则圆形工件的半径为（ ）
A. 20cm
B. 14cm
C. 10cm
D. 8cm
5.代数式与的值相等，则x的值为（ ）
A. -3B. 2C. 3D. 6
6.已知矩形ABCD中，AB=a,BC=b,若以AB为直径的圆与边CD有交点，则a与b满足的关系为（ ）
A. a≥2bB. a＞2bC. a＞bD. a≥b
7.下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 平行四边形是轴对称图形
B. 对角线互相垂直且平分的四边形是矩形
C. 相似三角形的面积比等于相似比
D. 在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，则△ABC是直角三角形
8.反比例函数的图象如图所示，则一次函数y=kx+b的图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
9.我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺，问几何日相逢？瓜、瓠各长几何？大意是：已知墙高9尺，长在墙头的瓜蔓每天向下长7寸；同时，长在墙下的葫芦每天向上长1尺，问经过多少天两蔓相遇，此时瓜蔓、葫芦蔓的长度各为多少？（注：1尺=10寸）设两蔓相遇时瓜蔓的长度为x寸，葫芦蔓的长度为y寸，则下列方程组正确的是（ ）
A. B. C. D.
10.已知A（-3，-2），B（1，-2），抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论错误的是（ ）
A. c≥-2
B. 当x＞2时，y随x的增大而增大
C. 当四边形ABCD为平行四边形时，
D. 若点D横坐标的最小值为-5，则点C横坐标的最大值为5
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.代数式有意义时，x应满足的条件为______.
12.分解因式：2mx2-18m= ______.
13.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为DC的中点，若OE=3，则菱形的周长为______.
14.若关于x,y的二元一次方程组的解满足x+y=-2，且关于z的一元二次方程z2-4z+2n=0有两个相等的实数根，则m+n的值为______.
15.如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体侧面展开图的圆心角的度数为______°.
16.如图，正方形ABCD的边长为4，点P为射线BC上一动点，连接PA、PD，在PA上取一点E，使∠ADE=∠APD，连接BE.
（1）求∠AEB= ______°；
（2）则的最小值为______.
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
解不等式组：.
18.(本小题4分)
如图，∠B=∠C=90°，过点D作DM⊥AB，垂足为M，E在BC边上，AD=AE，AB=BC.求证：∠ADM=∠EAB.
19.(本小题6分)
2025年，是中国共产党成立第104周年，意义非凡.阳光中学为了解本校学生党史知识的掌握情况，组织了有关党史知识的竞答活动，并随机抽取了30名同学的成绩，形成了如下的调查报告.请根据调查报告，解答下列问题：
（1）上述表格中，n=______，所抽取学生成绩的中位数落在______组；
（2）若该校有1200名学生参加了此次竞答活动，估计成绩不低于90分的学生有______名；
（4）若此次活动共有4名同学满分，其中3名女生，1名男生，从中随机抽取两位同学参加市级比赛，求抽到的学生正好是一男一女的概率.
20.(本小题6分)
数学活动课上，老师在黑板上写了两个代数式A：2x+2，B：x2-1，请同学们利用两个代数式提出问题，并解决问题.
（1）嘉嘉：求A+B的最小值；
（2）琪琪：若的值为正整数，求整数x的值.
21.(本小题8分)
某商铺老板为了防止商品久晒受损，在门前安装了一个遮阳棚.如图所示，遮阳篷AB长为1.56米，与墙面AD的夹角∠BAD=67.4°，靠墙端A离地高AD为2.4米，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度BC=0.2米.
（1）如图1，求遮阳棚上的B点到墙面AD的距离；
（2）如图2，当太阳光线EF与地面DG的夹角为53°时，求阴影DF的长.（参考数据：sin67.4°≈，cs67.4°≈，tan67.4°≈，sin53°≈，cs53°≈，tan53°=）
22.(本小题10分)
下面是勤学小组项目化学习的方案，请仔细阅读并帮助其完成方案.
项目主题：探秘饮水机工作程序
项目背景：我校在教学楼内安装了某型号饮水机.我们组的同学们以探秘饮水机工作程序为主题展开了项目化学习.
驱动问题：该饮水机中水温随通电时间的变化如何变化？
设计方案：查阅资料，收集数据；数据分析，建立模型；求解模型，解决问题.实施方案：
（1）查阅资料得知该型号饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动加热，平均每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降，直至降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程.
按照方案展开调查，收集了如下数据.
（2）分析数据：观察上述表格中的数据，并在右面的平面直角坐标系中描点连线，由此可知饮水机加热过程中水温y（℃）是通电时间x（min）的______函数，水温下降过程中水温y（℃）是通电时间x（min）的______函数.（选填“一次”或“反比例”或“其它”）
（3）解决问题：
①第一次加热过程中y与x的函数表达式为______；第一次水温下降过程中y与x的函数表达式为______.
②调查了解到40℃以上的水需求较大，该饮水机工作的一个周期内水温不低于40℃的时间最多为______min.
23.(本小题10分)
作图与证明
如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，过点B作⊙O的切线，与AC的延长线交于点D，切点为B.
（1）实践与操作
利用尺规按下列要求作图，并在图中标出相应的字母.（保留作图痕迹，不写作法）
①作的中点.
②连接BE并延长与AD交于点F.
探究发现
（2）试猜想AB与AF有何数量关系，并证明你的结论.
（3）若，，求⊙O的直径.
24.(本小题12分)
已知抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a≠0，c＞1）与x轴相交于点A（-c,0）和点B，与y轴相交于点C，x轴上的点M的横坐标为m,且m＞-c,O为坐标原点.
（Ⅰ）若c=3，2a-b=0，且-c＜m＜0.
①求抛物线的解析式；
②过点M作MD⊥x轴与抛物线相交于点D，连接AD，DC，CM，△MAC的面积记为S1，△DAC的面积记为S2，当S1=S2时，求点M的坐标；
（Ⅱ）若点，射线CB上一点N，AM=CN，当CM+MN取得最小值为3时，求a的值.
25.(本小题12分)
在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上一点（不与端点重合），连接AD.将线段AD绕点A逆时针旋转α得到线段AE，连接DE.
（1）如图1，α=∠BAC=60°，∠CAE=20°，求∠ADB的度数；
（2）如图2，α=∠BAC=90°，BD＜CD，过点D作DG⊥BC，DG交CA的延长线于G，连接BG.点F是DE的中点，点H是BG的中点，连接FH，CF.用等式表示线段FH与CF的数量关系并证明；
（3）如图3，∠BAC=120°，α=60°，AB=8，连接BE，CE.点D从点B移动到点C过程中，将BE绕点B逆时针旋转60°得线段BM，连接EM，作MN⊥CA交CA的延长线于点N.当CE取最小值时，在直线AB上取一点P，连接PE，将△APE沿PE所在直线翻折到△ABC所在的平面内，得△QPE，连接BQ，MQ，NQ，当BQ取最大值时，请直接写出△MNQ的面积.
1.解：根据用数轴上的点表示有理数，左边的点表示的数小于右边的点表示的数可得：，
∴位于最左边的是-1．
故选：B．
2.解：A、b2+b2=2b2，原计算错误，不符合题意；
B、（-2b）3=-8b3，原计算错误，不符合题意；
C、（b-3）2=b2-6b+9，原计算错误，不符合题意；
D、b6÷b3=b3，正确，符合题意，
故选：D．
3.解：由题意知，不规则图案的面积为10×10×0.65=65（cm2），
故选：A．
4.解：∵CD垂直平分AB，
∴圆的圆心O在CD上，如图，连结OA，设⊙O的半径为r cm,则OD=（r-4）cm,
∵OD⊥AB，
∴AD=BD=AB=×16=8（cm），
在Rt△AOD中，82+（r-4）2=r2，
解得r=10，
即圆形工件的半径为10cm.
故选：C．
5.解：∵代数式与的值相等，
∴，
方程两边同时乘x（x-3），得x=2（x-3），
去括号，得x=2x-6，
解得：x=6，
检验：把x=6代入x（x-3）≠0，
∴分式方程的解为x=6．
故选：D．
6.解：∵AB=a,
∴以AB为直径的圆的半径=，
∵以AB为直径的圆与边CD有交点，
∴≥b,
∴a≥2b,
故选：A．
7.解：A、平行四边形无论沿哪一条直线对折，直线两侧的部分都不能完全重合，所以平行四边形不是轴对称图形，原说法错误，不符合题意；
B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，而不是矩形，原说法错误，不符合题意；
C、相似三角形的面积比等于相似比的平方，而不是相似比，原说法错误，不符合题意；
D、已知在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，设∠A=x,则∠B=2x,∠C=3x.因为三角形内角和为180°，所以x+2x+3x=180°，即6x=180°，解得x=30°．那么∠C=3x=90°，有一个角为90°的三角形是直角三角形，所以△ABC是直角三角形，正确，符合题意，
故选：D．
8.解：由反比例函数的图象可知：kb＞0，
当k＞0，b＞0时，
∴直线经过一、三、四象限，
当k＜0，b＜0时，
∴直线经过一、二、四象限，
故选：D．
9.解：由题意可得，
，
故选：D．
10.解：∵A（-3，-2），B（1，-2），
∴线段AB与y轴的交点坐标为（0，-2），
∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），
∴c≥-2（顶点在y轴上时取等号），
故A选项正确，不符合题意；
∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线的顶点在线段AB上运动，B（1，-2），
∴当x＞1时，一定有y随x的增大而增大，
∴当x＞2时，y随x的增大而增大，
故B选项正确，不符合题意；
令ax2+bx+c=0，C（x1，0），D（x2，0），
∴，．
∴CD2====．
∵抛物线的顶点在线段AB上运动，
∴抛物线的顶点的纵坐标为-2，
∴，
∴，
即，
∴．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD=AB=1-（-3）=4，
∴，
解得，
故C选项正确，不符合题意；
若点D的横坐标最小值为-5，则此时抛物线的顶点与点A重合，
∴抛物线的对称轴为直线x=-3，
∴C点的横坐标为2×（-3）-（-5）=-1，
∴CD=4．
可知抛物线的顶点与点B重合时，点C横坐标取得最大值，
此时抛物线的对称轴为直线x=1，
∴C点的横坐标为-1+[1-（-3）]=3，
即点C横坐标的最大值为3，
故D选项不正确，符合题意．
故选：D．
11.解：由题意得：x+1＞0，
解得：x＞-1，
故答案为：x＞-1．
12.解：2mx2-18m=2m（x2-9）=2m（x+3）（x-3），
故答案为：2m（x+3）（x-3）．
13.解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，BO=DO，
∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴BC=2OE=2×3=6，
∴菱形ABCD的周长=4×6=24；
故答案为：24．
14.解：，
①+②得3x+3y=m+1，
即x+y=，
∵x+y=-2，
∴=-2，
解得m=-7，
∵关于z的一元二次方程z2-4z+2n=0有两个相等的实数根，
∴Δ=（-4）2-4×2n=0，
解得n=2，
∴m+n=-7+2=-5．
故答案为：-5．
15.解：由三视图可知，该几何体为圆锥；
由三视图数据知圆锥的底面圆的直径为4、半径为2，高为4，
则母线长为=6，
所以该几何体的侧面展开图圆心角的度数为π×4÷（π×6）×180°=120°．
故答案为：120．
16.解：（1）如图1，∵∠DAE=∠PAD，∠ADE=∠APD，
∴△ADE∽△APD，
∴=，
∴AD2=AE•AP
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠ABC=90°，
∴AB2=AE•AP，
∴=，
∵∠BAE=∠PAB，
∴△ABE∽△APB，
∴∠AEB=∠ABP=90°；
故答案为：90；
（2）由（1）知：△ADE∽△APD，
∴=，
∴=，
∵AD=4，
∴DE最小时，的值最小，
∵∠ADE=90°
∴点E在以AB的圆上，
如图2，作△ABE的外接圆⊙O，连接OD，OE，
∴OE=AB=2，OD==2，
∴DE≥OD-OE=2-2，
∴DE的最小值为2-2，
∴的最小值=．
故答案为：．
17.解：，
解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x＜4，
∴原不等式组的解集为：x≤1．
18.证明：∵DM⊥AB，∠B=∠C=90°，
∴四边形BCDM是矩形，
∴BC=DM，
∵AB=BC，
∴DM=AB，
在Rt△ADM和Rt△EAB中，
，
∴Rt△ADM≌Rt△EAB（HL），
∠ADM=∠EAB．
19.解：（1）求表格中的 n值和中位数所在组，已知一共抽取了30 名同学的成绩，
那么3+7+n+7=30，即17+ n=30，
解得 n=30-17=13．将30个数据从小到大排列，30 是偶数，中位数是第15 个和第16 个数据的平均数．
前两组的频数之和为3+7= 0，前三组的频数之和为3+7+13=23，
所以第15 个和第16 个数据都在80≤x≤90 这一组，即中位数落在80≤x≤90 组．
故答案为：13，C；
（2）样本中成绩不低于90 分的学生有7人，占抽取人数的比例为.该校有1200 名学生参加活动，所以估计成绩不低于90 分的学生人数为1200×=280 名．
故答案为：280名；
（3）设3名女生分别为女1，女2，女3，1名男生为男．从4名同学中随机抽取2名同学的所有可能情况有：（女1，女2），（女1，女3），（女1，男），（女2，女3），（女2，男），（女3，男），共6种．其中正好是一男一女的情况有3种．所以抽到的学生正好是一男一女的概率为=．
20.解：（1）A+B=2x+2+x2-1=x2+2x+1=（x+1）2，
∵（x+1）2≥0，
∴A+B的最小值为0；
（2）===，
∵为正整数，
∴x-1=1或x-1=2，
解得x=2或x=3．
21.解：（1）如图，过点B作BK⊥AD于点K，
∵AB=1.56米，sin∠BAD=sin67.4°≈，
∴=≈，
∴BK=1.44．
答：遮阳棚上的B点到墙面AD的距离为1.44米；
（2）如上图，过点C作CH⊥DG于点H，
AK===0.6（米），
∴DK=AD-AK=2.4-0.6=1.8（米），
∴BH=DK=1.8（m），
∵BC=0.2m,
∴CH=1.8-0.2=1.6（m），
∵∠CFH=53°，
∴tan∠CFH==，
∴
∴FH=1.2，
∴BK=1.44米，
∴DH=BK=1.44米，
∴DF=DH-FH=1.44-1.2≈0.24（米），
∴阴影DF的长约为0.24米．
22.解：（2）画图如下：
由函数图象可知，饮水机加热过程中水温y（℃）是通电时间x（min）的一次函数，水温下降过程中水温y（℃）是通电时间x（min）的反比例函数，
故答案为：一次，反比例；
（3）①设一次函数表达式为y=kx+b,把（0，20），（4，60）代入得，
，
解得，
∴第一次加热过程中y与x的函数表达式为y=10x+20，
设反比例函数表达式为，把（8，100）代入得，，
∴m=800，
∴第一次水温下降过程中y与x的函数表达式为，
故答案为：y=10x+20，；
②把y=40代入y=10x+20得，40=10x+20，
解得x=2；
把y=40代入，
∴解得x=20；
∵20-2=18（min），
故答案为：18．
（2）根据表格数据描点连线即可画出图象，进而根据图象即可求解；
（3）①利用待定系数法解答即可；②分别求出y=40时一次函数和反比例函数对应的时间，相减即可求解；
本题考查了一次函数和反比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题的关键．
23.
24.解：（1）①∵c=3，
∴点A的坐标为（-3，0），抛物线解析式为y=ax2+bx+3，
∵2a-b=0，
∴b=2a.
∴y=ax2+2ax+3．
∵抛物线与x轴相交于点A，
∴9a-6a+3=0，
解得a=-1．
∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3；
②∵抛物线与y轴相交于点C，
∴当x=0时，y=3．
∴点C的坐标为（0，3）．
如图，过点C作CG⊥DM，与DM相交于点G．
∵S1=S2，
∴S△CDH+S△ADH=S△CHM+S△AHM．
∴．
∴，
∴DH=HM．
∴点H为DM的中点．
设直线AC的解析式为y=kx+3，
∴-3k+3=0，
解得k=1，
∴直线AC的解析式为y=x+3．
∵点M的横坐标为m,MD⊥x轴与抛物线相交于点D，
∴点M（m,0）（-3＜m＜0），D（m,-m2-2m+3），H（m,m+3），
可得方程，
解得m=-1或m=-3（舍），
∴点M的坐标为（-1，0）．
（Ⅱ）如图，在AC右侧作等边△ACQ，CQ与x轴相交于点T，连接MQ，NQ．
∴AQ=AC=QC，∠AQC=60°，
∵点A（-c,0），点C（0，c），点，
∴OA=c,OC=c,，
∴在Rt△OBC中，，
∴∠CBO=60°，
∵∠QTB=∠QAM+∠AQC=∠QCN+∠CBO，
∴∠QAM=∠QCN，
又∵AM=CN，
∴△AMQ≌△CNQ（SAS），
∴QM=QN，∠AQM=∠CQN，
∴∠MQN=∠CQN+∠MQC=∠AQM+∠MQC=∠AQC=60°，
∴△MQN是等边三角形，
∴MQ=MN=QN，
∴CM+MN=CM+MQ≥CQ．
当点C，M，Q在同一条直线上时，CM+MN取得最小值，即，
∴，
在Rt△AOC中，，
∴，
解得c=3．
∴A（-3，0），，C（0，3）．
设抛物线解析式为，
∴把C（0，3）代入，解得．
∴a的值为．
25.解：（1）∵AB=AC，∠BAC=α=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
由旋转得∠DAE=60°，
∴∠DAC=∠DAE=∠CAE=60°-20°=40°，
∴∠ADB=∠DAC+∠ACB=100°；
（2），证明如下：
如图，连接CE，DH，
∵α=∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABD=∠ACB=45°，
由旋转知AD=AE，∠DAE=90°，
∴∠BAC=∠DAE=90°，
即∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE=45°，
∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，
∵DG⊥BC，
∴∠CDG=∠BDG=∠DCE=90°，
∵∠ACB=45°，
∴∠CGD=∠ACB=45°，
∴DG=DC，
∴△BDG≌△ECD（SAS），
∴∠BGD=∠EDC，BG=DE，
∵点H是BG的中点，∠BDG=90°，
∴，
∴∠HDG=∠HGD，
∴∠HDG=∠EDC，
∴∠HDG+∠GDE=∠EDC+∠GDE，
即∠HDF=∠GDC=90°，
∵点F是DE的中点，∠DCE=90°，
∴，
∴DH=DF，
∴△HDF是等腰直角三角形，
∴，
即；
（3）如图，取BC中点U，AC中点V，连接AU，EV，UV，
∵AB=AC=8，∠BAC=120°，
∴∠ACU=30°，，AU⊥BC，
∴，
∵V是AC中点，
∴，
∴AU=AV，
由旋转知AD=AE，∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，∠DAE=∠CAU=60°，
∴∠DAU=∠EAV，
∴△ADU≌△AEV（SAS），
∴∠AVE=∠AUD=90°，
由点V为固定点，∠AVE=90°，得点E在过点V且垂直于AC的直线上运动，
由点到直线的最短距离可得，当CE取最小值时，即CE垂直于点E运动轨迹的直线，
即点E和点V重合时，CE最小，
此时如图，
由翻折可知AE=QE，
∴点Q的轨迹为以点E为圆心，AE=4为半径的圆，
由点到圆上一点的最大距离可知当B、E、Q依次共线时，BQ取最大值，
此时如图，连接MA，过点B作BS⊥CN于点S，过点Q作QR⊥CN于点R，
由旋转知BM=BE，∠MBE=60°，
∴△BEM是等边三角形，
∴∠BEM=60°，BE=EM，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠AED=60°，AE=DE，
∴∠BEM=∠AED=60°，
∴∠AEM=∠DEB，
∴△MAE≌△BDE（SAS），
∴MA=BD，∠MAE=∠BDE，
∵AB=AC=8，∠BAC=120°，∠DAE=60°，
∴∠ABC=∠ACB=30°，∠DAE=∠BAD=60°，
∴AD⊥BC，
∴AD=AB=4，，
∴，
∵E为AC中点，
∴DE=CE，
∴∠EDC=∠ACB=30°，
∴∠MAE=∠BDE=180°-∠EDC=150°，
∴∠MAN=180°-∠MAE=30°，
∴，AN=MN=6，
∵∠BAS=180°-∠BAC=60°，
∴∠ABS=30°，
∴AS=AB=4，，
∴SE=AS+AE=4+4=8，
∴，
∵BS⊥CN，QR⊥CN．
∴∠BSE=∠QRE=90°，
又∵∠BES=∠QER，
∴△BES∽△QER，
∴，
即，
解得，
∴，
∵MN⊥CA，QR⊥CN，
∴．
课题
阳光中学学生对党史知识掌握情况
调查方式
抽样调查
调查对象
阳光中学学生
数据的整理与描述
分组
成绩x（分）
频数
各组总分（分）
A
60≤x＜70
5
325
B
70≤x＜80
7
525
C
80≤x＜90
n
950
D
90≤x≤100
7
660
调查结论
……
通电时间x（min）
0
4
8
10
16
20
32
40
…
水温y（℃）
20
60
100
80
50
40
25
20
…