北京市2025年高二第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷（含答案及解析）

这是一份北京市2025年高二第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷（含答案及解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 18 小题，每小题 4 分，共 72 分)
1. 已知复数，，则（ ）
2. 已知，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
3. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）
4. 下列向量中，与向量共线的是（ ）
5. 不等式的解集是（ ）
6. 已知，，，则（ ）
7. 在平面直角坐标系中，角以为顶点.以为始边，终边经过点，则角可以是（ ）
8. 某农场种植的甲、乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续五年的产量（单位：kg）如下：
对于上表数据，下列结论正确的是（ ）
9. 已知菱形的边长为2，，则（ ）
10. 在中，，，，则（ ）
11. 已知函数.下列区间中包含的零点的是（ ）
12. （ ）
13. 若a，b是空间中的两条直线，则“a，b异面”是“a，b没有公共点”的（ ）
14. 某市持续扩大绿色生态空间，打造宜居城市，该市人均公园绿地面积从2020年的增长到2023年的.设年期间该市人均公园绿地面积的年平均增长率为.则（ ）
15. 函数的定义域是（ ）
16. 已知，且，则的最大值是（ ）
17. 若，则（ ）
18. 已知集合.若存在的个不同的非空子集，它们的并集是的真子集，则的最大值是（ ）
二、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
19. 某校美术社团在校园文化节期间制作了“金面罩”“锅神兽”“铜太阳神器”3枚三星堆文物图案印章，并为每位学生随机选择1枚盖章留念，则学生甲得到“金面罩”图案的概率为________；学生乙和学生丙都得到“铜神兽”图案的概率为________.
20. 如图，在三棱锥中，，，两两互相垂直，，则是________三角形.（填“锐角”“直角”或“钝角”）
21. 已知函数，.设函数，
给出下列三个结论：
①在区间上单调递增；
②的最大值为2；
③方程有两个不同的实数解.
其中所有正确结论的序号是________.
三、解答题(本大题共 4 小题，每小题 9 分，共 36 分)
22. 已知函数.
(1)写出的一个周期；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
23. 阅读下面题目及其解答过程．
以上题目的解答过程中，设置了①⑥六个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理．请选出符合逻辑推理的选项，并填写在答题卡的指定位置．(只需填写“A”或“B”)
24. 如图，在正方体中，点在上.
(1)求证：；
(2)求证：平面.
25. 已知集合，其中，若存在的非空子集A，满足（表示有限集合A中元素的个数），且A中所有元素之积与中所有元素之和相等，则称为“积和集合”.
(1)若，判断是否为“积和集合”；（结论无需证明）
(2)若是“积和集合”，写出的所有可能取值：
(3)若，判断是否为“积和集合”，并说明理由.
北京市2025年高二第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷
整体难度：较易
考试范围：复数、等式与不等式、函数与导数、平面向量、三角函数与解三角形、计数原理与概率统计、集合与常用逻辑用语、空间向量与立体几何、数列
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
第22题：
第23题：
第24题：
第25题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．或
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
甲水稻产量
900
920
900
850
910
乙水箱产量
890
960
950
850
860
A．甲水稻产量每年都比乙水稻产量小
B．甲水稻产量的中位数为900，乙水稻产量的中位数为860
C．甲水稻产量的方差比乙水稻产量的方差小
D．甲水稻产量的极差比乙水稻产量的极差大
A．4
B．2
C．1
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．2
D．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．1
D．
A．
B．
C．
D．
A．5
B．6
C．7
D．8
已知函数为定义在上的奇函数，当时， ，
（1） 求的值；
（2） 求不等式的解集.
解：（1） 因为当时， 所以 ① .
因为是奇函数， 所以 ② .
（2）当时， ③ ，所以恒成立.
当时，，所以 ④ .
因为是奇函数，所以 ⑤ .
所以.
由， 解得.
综上，不等式的解集为 ⑥ .
空格序号
选项
①
A. B.
②
A. B.
③
A. B.
④
A. B.
⑤
A. B.
⑥
A. B.
题型
数量
单选题
18
填空题
3
解答题
4
难度
题数
容易
8
较易
14
适中
2
较难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
复数加减法的代数运算
2
0.94
由不等式的性质证明不等式
3
0.85
根据解析式直接判断函数的单调性
4
0.94
由坐标判断向量是否共线
5
0.94
解不含参数的一元二次不等式
6
0.85
由幂函数的单调性比较大小
7
0.85
由终边或终边上的点求三角函数值；找出终边相同的角；确定已知角所在象限
8
0.85
计算几个数据的极差、方差、标准差；计算几个数的中位数
9
0.85
用定义求向量的数量积
10
0.85
正弦定理解三角形
11
0.94
求函数的零点
12
0.94
对数的运算
13
0.85
判断命题的充分不必要条件；异面直线的概念及辨析
14
0.94
幂函数模型的应用
15
0.94
具体函数的定义域
16
0.85
基本不等式求积的最大值
17
0.85
用和、差角的正弦公式化简、求值
18
0.65
判断集合的子集（真子集）的个数
二、填空题
19
0.85
计算古典概型问题的概率；独立事件的乘法公式
20
0.85
正棱锥及其有关计算；棱锥的结构特征和分类
21
0.65
对数函数y=lg2x的图像和性质
三、解答题
22
0.85
求含sinx(型)函数的值域和最值；求正弦（型）函数的最小正周期
23
0.85
函数奇偶性的应用；由指数函数的单调性解不等式；求函数值；由奇偶性求函数解析式
24
0.85
证明线面平行；线面垂直证明线线垂直
25
0.4
集合新定义；求等差数列前n项和
序号
知识点
对应题号
1
复数
1
2
等式与不等式
2,5,16
3
函数与导数
3,6,11,12,14,15,21,23
4
平面向量
4,9
5
三角函数与解三角形
7,10,17,22
6
计数原理与概率统计
8,19
7
集合与常用逻辑用语
13,18,25
8
空间向量与立体几何
13,20,24
9
数列
25